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第58讲统计案例 1.2018福建宁德二检 图K58-1是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线,若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大,则应当去掉的点是()图K58-1A.DB.EC.FD.A2.某学习小组为研究学生使用智能手机对学习的影响,经过调查,得到如下22列联表:使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀81624学习成绩不优秀24630总计322254经计算K2的观测值k12.附表:P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表,下列结论正确的是()A.有99.5%的把握认为学习成绩优秀与使用智能手机有关B.有99.5%的把握认为学习成绩优秀与使用智能手机无关C.有99.9%的把握认为学习成绩优秀与使用智能手机有关D.有99.9%的把握认为学习成绩优秀与使用智能手机无关3.2018广州模拟 下列说法中正确的是()相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,|r|越接近于1,相关性越弱;回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心(x,y);随机误差e的方差D(e)的大小是用来衡量预报的精确度的;相关指数R2用来刻画回归的效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好.A.B.C.D.4.2018湖北孝感模拟 在用线性回归模型研究甲、乙、丙、丁4组不同数据线性相关性的过程中,计算得到甲、乙、丙、丁4组数据对应的R2的值分别为0.6,0.8,0.73,0.91,其中(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)组数据的模型的拟合效果最好.5.2018广东四校联考 如图K58-2是数据(xi,yi)(i=1,2,3,4)的散点图,经最小二乘法计算得,y与x之间的线性回归方程为y=bx+0.94,则b=.图K58-26.2018山西大同二检 某班主任对全班50名学生进行了关于作业量的调查,统计数据如下表:认为作业量大认为作业量不大总计男生18927女生81523总计262450若推断“学生的性别与认为作业量是否大有关”,则这种推断犯错误的概率不超过()A.0.01B.0.025C.0.001D.0.0057.2018湖南张家界三模 已知变量x,y之间的线性回归方程为y=-0.7x+10.3,且x,y之间的一组数据如下表所示,则下列说法中错误的是()x681012y6m32A. 变量x,y之间呈现负相关关系B.可以预测当x=20时,y=-3.7C.m=4D.回归直线必过点(9,4)8.2017太原二模 两个分类变量X和Y的22列联表如下:YXy1y2总计x1a10a+10x2c30c+30总计6040100对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=309.某同学用收集到的 6 组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)制作成如图K58-3所示的散点图(点旁的数据为该点坐标),并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为y=bx+a,相关系数为r.现给出以下3个结论:r0;直线l恰好过点D;b1.其中正确的结论是()图K58-3A.B.C.D.10.2018湖南永州模拟 已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334若某同学根据上表数据所得的线性回归方程为y=bx+a,根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是()A.bb,aaB.bb,aaC.baD.bb,ab,an;直线l1过点A3;i=15(yi-bxi-a)2i=15(yi-mxi-n)2;i=15|yi-bxi-a|i=15|yi-mxi-n|.(参考公式:b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx)其中真命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个9课时作业(五十八)1.B解析 因为点E到回归直线的距离最远,所以去掉点E, 余下的5个点所对应的数据的相关系数最大.故选B.2.C解析 由于K2的观测值k1210.828,故有99.9%的把握认为学习成绩优秀与使用智能手机有关.3.D解析 相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,|r|越接近于1,则相关性越强,所以错误;回归直线y=bx+a一定经过样本点的中心(x,y),正确;随机误差e的方差D(e)的大小是用来衡量预报的精确度的,正确;相关指数R2用来刻画回归的效果,R2越小,说明模型的拟合效果越不好,所以错误.故选D.4.丁解析 相关指数R2越大,则模型的拟合效果越好,所以丁组数据的模型的拟合效果最好.5.0.83解析x=0+1+3+44=2,y=0.9+1.9+3.2+4.44=2.6,将(2,2.6)代入y=bx+0.94,解得b=0.83.6.B解析 根据表中数据得K2的观测值k=50(1815-89)2272324265.0595.024,所以若推断“学生的性别与认为作业量是否大有关”,则这种推断犯错误的概率不超过0.025.故选B.7.C解析 由-0.70,所以正确;因为x=0+1+2+3+5+76=3,y=1.5+2+2.3+3+5+4.26=3,所以回归直线l必过样本点的中心(3,3),即直线l恰好过点D,所以正确;因为直线l的斜率接近于直线AD的斜率,且kAD=3-1.53=0.51,所以错误.故选A.10.C解析 由两组数据(1,0)和(2,2)可得直线方程为y=2x-2,即b=2,a=-2.利用线性回归方程的公式与表格中的数据可得b=i=16xiyi-6xyi=16xi2-6x2=58-67213691-6(72)2=57,a=y-bx=136-5772=-13,所以ba.故选C.11.68解析 设所求数据为a,由数据表格可得x=10+20+30+40+505=30,y=62+a+75+81+895=307+a5,代入回归方程得307+a5=0.6730+54.9,解得a=68.12.12解析 设男生人数为x,由题意可得22列联表如下:喜欢韩剧不喜欢韩剧总计男生x65x6x女生x3x6x2总计x2x3x2若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,则K2的观测值k3.841,即k=3x2(x6x6-5x6x3)2xx2x2x=3x83.841,解得x10.243.又因为x6,x2为整数,所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,则男生至少有12人.13.解:(1)由题意可知x=145+130+120+105+1005=120,y=110+90+102+78+705=90,i=15(xi-x)(yi-y)=(145-120)(110-90)+(130-120)(90-90)+(120-120)(102-90)+(105-120)(78-90)+(100-120)(70-90)=500+0+0+180+400=1080,i=15(xi-x)2=(145-120)2+(130-120)2+(120-120)2+(105-120)2+(100-120)2=625+100+0+225+400=1350,故b=10801350=0.8,a=90-1200.8=-6, 故线性回归方程为y=0.8x-6.(2)将x=110代入回归方程,得y=0.8110-6=82,即估计该同学的物理成绩为82分.(3)由题意可知,该班数学优秀的人数及物理优秀的人数分别为30,36.由表知,抽出的5人中,数学优秀但物理不优秀的有1人,故全班数学优秀但物理不优秀的有1+5=6(人).于是可以得到22列联表如下:物理优秀物理不优秀总计数学优秀24630数学不优秀121830总计362460于是K2的观测值k=60(2418-126)230303624=106.635,因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下,可以认为数学优秀与物理优秀有关.14.解:(1)由题得,t=1+2+3+4+5+66=3.5,y=6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7,i=16(ti-t)(yi-y)=(-2.5)(-0.4)+(-1.5)(-0.3)+0+0.50.1+1.50.2+2.50.4=2.8,i=16(ti-t)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,所以b=2.817.5=0.16,又a=y-bt,所以a=7-0.163.5=6.44,所以y关于t的线性回归方程为y=0.16t+6.44.(2)由(1)知y=0.16t+6.44,当t=7时,y=0.167+6.44=7.56,即预测该地区2019年该农产品的产量为7.56万吨.当年产量为y万吨时,销售额S=(4.5-0.3y)y103=(-0.3y2+4.5y)103(万元),当y=7.5时,函数S取得最大值,又y6.6,6.7,7,7.1,7.2,7.4,7.56,所以当y=7.56,即t=7时,销售额最大.15.B解析 因为OA1+OA2+OA8=(x1+x2+x8,y1+y2+y8)=(8x,8y)=(6,2),所以8x=6,8y=2,解得x=34,y=14,代入回归直线方程,得14=1234+a,解得a=-18,故选B.16.B解析 由所给的数据计算可得x=3,y=2,b=(0-3)(0-2)+(6-3)(4-2)(0-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2=0.6,a=2-0.63=0.2,所以回归直线l1的方程为y=0.6x+0.2.直线l2的方程为y=x,所以m=1,n=0.显然mb,an,为真命题;直线l1过点A3,即回归直线过样本点的中心,为真命题;i=15(yi-bxi-a)2=0.8,i=15(yi-mxi-n)2=9,为假命题;i=15|yi-bxi-a|=1.6,i=15|yi-mxi-n|=5,为假命题.综上可得,真命题有2个.故选B.
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