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第1课空间向量的应用一 1.若AB=CD+CE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内2.若平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面和平面的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合3.已知平面内有一个点M(1,-1,2),平面的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P在平面内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)4.已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面的一个法向量n=(-1,-1,-1),则不重合的两个平面与的位置关系是.5.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若ABBC,BP=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则x+y=.6.已知平面的一个法向量为(1,2,-2),平面的一个法向量为(-2,-4,k).若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-27.如图K40-1,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,点M在EF上,且AM平面BDE.以C为原点,CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点M的坐标为()图K40-1A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,18.如图K40-2所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,且A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()图K40-2A.相交B.平行C.垂直D.不能确定9.如图K40-3,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1FDE,则有()图K40-3A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E与B重合10.如图K40-4,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则直线AM与直线PM所成的角为()图K40-4A.60B.45C.90D.以上都不正确11.已知P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).给出下列结论:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正确结论的序号是.12.如图K40-5,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.图K40-513.2018酒泉期末 如图K40-6,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD平面B1CD1;(2)用向量法证明MN平面A1BD.图K40-614.如图K40-7,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点.(1)求证:EF平面PAD;(2)求证:平面PAB平面PDC.图K40-715.如图K40-8,正三角形ABC的边长为4,CD为AB边上的高,E,F分别是边AC,BC的中点,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由.(2)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?如果存在,求出BPBC的值;如果不存在,请说明理由.图K40-87课时作业(四十)A1.D解析AB=CD+CE,AB,CD,CE共面.则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.2.C解析 由(1,2,0)(2,-1,0)=12+2(-1)+00=0,知两平面的法向量互相垂直,所以两平面互相垂直.故选C.3.A解析 因为n=(6,-3,6)是平面的一个法向量,所以nMP,在选项A中,MP=(1,4,1),则nMP=0,所以点P在平面内. 故选A.4.解析 设平面的一个法向量为m=(x,y,z),由mAB=0,得y-z=0,即y=z,由mAC=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,则m=(1,1,1).m=-n,mn,又平面与平面不重合,.5.257解析 由条件得3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-3z=0,解得x=407,y=-157,z=4,x+y=407-157=257.6.C解析,两平面的法向量平行,-21=-42=k-2,解得k=4.7.C解析 设AC与BD相交于点O,连接OE,由AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,得AMEO,又O是正方形ABCD中两对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(2,2,1),由中点坐标公式,知点M的坐标为22,22,1.8.B解析 以C1为原点,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,A1M=AN=2a3,Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,MN=-a3,0,2a3.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),C1D1=(0,a,0),MNC1D1=0,MNC1D1.C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.9.A解析 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z),D1FDE=02+12-2z=0,z=1,B1E=EB.10.C解析 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.依题意,可得P(0,1,3),A(22,0,0),M(2,2,0),PM=(2,1,-3),AM=(-2,2,0),PMAM=(2,1,-3)(-2,2,0)=0,即PMAM,直线AM与直线PM所成的角为90.11.解析ABAP=0,ADAP=0,ABAP,ADAP,则正确.又AB与AD不平行,AP是平面ABCD的法向量,则正确.由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),BD与AP不平行,故错误.12.1解析 以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),B1E=(x-1,0,1),FB=(1,1,y),B1E平面ABF,FBB1E=(1,1,y)(x-1,0,1)=0,则x+y=1.13.证明:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),2x+2z=0,2x+2y=0,令z=1,则n=(-1,1,1).同理可得平面B1CD1的一个法向量为m=(-1,1,1),则mn,平面A1BD平面B1CD1.(2)M,N分别为AB,B1C的中点,M(2,1,0),N(1,2,1),则MN=(-1,1,1),MNn,MN平面A1BD.14.证明:(1)如图,取AD的中点O,连接OP,OF.因为PA=PD,所以POAD.因为侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD.又O,F分别为AD,BD的中点,所以OFAB.又四边形ABCD是正方形,所以OFAD.因为PA=PD=22AD,所以PAPD,OP=OA=a2.以O为原点,OA,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则Aa2,0,0,F0,a2,0,D-a2,0,0,P0,0,a2,C-a2,a,0.因为E为PC的中点,所以E-a4,a2,a4.易知平面PAD的一个法向量为OF=0,a2,0,因为EF=a4,0,-a4,且OFEF=0,a2,0a4,0,-a4=0,所以EF平面PAD.(2)因为PA=a2,0,-a2,CD=(0,-a,0),所以PACD=a2,0,-a2(0,-a,0)=0,所以PACD,所以PACD.又PAPD,PDCD=D,所以PA平面PDC.因为PA平面PAB,所以平面PAB平面PDC.15.解:(1)AB平面DEF,理由如下:在ABC中,由E,F分别是AC,BC的中点,得EFAB.又因为AB平面DEF,EF平面DEF,所以AB平面DEF.(2)以D为坐标原点,DB,DC,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图所示),则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,23,0),E(0,3,1),故DE=(0,3,1).假设存在点P(x,y,0)满足条件,则AP=(x,y,-2),所以APDE=3y-2=0,所以y=233.又BP=(x-2,y,0),PC=(-x,23-y,0),BPPC,所以(x-2)(23-y)=-xy,所以3x+y=23.把y=233代入上式得x=43,所以BP=13BC,所以在线段BC上存在点P,使APDE,此时BPBC=13.
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