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第35讲空间点 直线 平面之间的位置关系 1.在下列命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面互相平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线2.是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n不可能()A.垂直B.相交C.异面D.平行3.2018泸州一诊 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与BA1异面的棱的条数为()A.4B.5C.6D.74.2018云南保山普通高中检测 在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=5,E为PC的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为()A.1310B.155C.1339D.15395.在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为. 6.l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是()A.若l1l2,l2l3,则l1l3B.若l1l2,l2l3,则l1l3C.若l1l2l3,则l1,l2,l3共面D.若l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面7.若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.2018南京联考 在如图K35-1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,AD的中点,则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为()图K35-1A.147B.57C.105D.2559.如图K35-2所示,在四面体DABC中,E,F,G,H分别为AD,AB,CD,BC上的点,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定()A.在直线DB上B.在直线AB上C.在直线CB上D.以上都不对图K35-2图K35-310.已知四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥(如图K35-3),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个11.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2,a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是()A.(0,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(1,3)12.2018四川广安、眉山诊断 如图K35-4表示正方体表面的一种展开图,则其中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线且所成角为60的有对.图K35-413.如图K35-5所示,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点,已知BAC=2,AB=2,AC=23,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.图K35-514.如图K35-6,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD,BC=12AD,BEFA,BE=12FA,G,H分别是FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)证明:C,D,F,E四点共面.图K35-615.2018太原模拟 如图K35-7是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,给出下列结论:DE与MN平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.其中正确结论的个数是()图K35-7A.1B.2C.3D.416.若两条异面直线所成的角为60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”.在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对. 8课时作业(三十五)1.A解析 选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的,故选A.2.D解析 对于A,当m时,因为n,所以mn;对于B,当An时,mn=A;对于C,若An,则由异面直线的定义知m,n异面;对于D,若mn,则由于m,n,所以m,这与m=A矛盾,所以m,n不可能平行.故选D.3.C解析 如图,与直线BA1是异面直线的有直线DC,DA,D1C1,DD1,CC1,B1C1,共6条.故选C.4.C解析 如图所示,延长AD到H,使AD=DH,过P作PGAH,PG=AH,F为PG的中点,连接FD,GH,BF,FH,BH,则BFH为异面直线BE与PD所成的角或其补角.在BFH中,由余弦定理得cosBFH=13+9-202133=1339,故选C.5.2解析 如图所示,设ACBD=O,连接VO.因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥,所以VO平面ABCD,故BDVO.又四边形ABCD是正方形,所以BDAC,所以BD平面VAC,所以BDVA,即异面直线VA与BD所成角的大小为2.6.B解析 在A中,l1l2,l2l3,l1与l3可能平行,也可能相交或异面.在B中,l1l2,l2l3,则l1l3.在C中,l1l2l3时,三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱不共面.在D中,共点的三条直线不一定共面,如三棱锥中共顶点的三条棱不共面.故选B.7.D解析 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1.当取l4为B1C1时,l1l4;当取l4为BB1时,l1l4.故排除A,B,C,故选D.8.D解析 如图,过E点作EMAB,过M点作MNAD,取MN的中点G,连接GE,GD1.易知EGBF,则异面直线BF与D1E所成的角即为D1EG.不妨设正方体的棱长为2,则GE=5,D1G=2,D1E=3.在D1GE中,由余弦定理得cosD1EG=9+5-2235=255,故选D.9.A解析 直线EF和GH相交,设交点为M,EF平面ABD,HG平面CBD,M平面ABD,且M平面CBD,又平面ABD平面BCD=BD,MBD,EF与HG的交点在直线BD上.故选A.10.D解析 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线分别为m,n,直线m,n确定了一个平面,作与平行的平面,与四棱锥的各个侧面相交,则截得的四边形必为平行四边形,而这样的平面有无数多个.11.A解析 如图所示的四面体ABCD中,设AB=a,则由题意可得CD=2,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形.取CD的中点E,连接AE,BE,则AECD,BECD且AE=BE=12-(22)2=22,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得22+22a,0a2.故选A.12.3解析 观察平面图形翻折前后相对位置的变化,可知AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,且所成角为60,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行,故四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线且所成角为60的有3对.13.解:(1)SABC=12223=23,故三棱锥P-ABC的体积V=13SABCPA=13232=433.(2)如图所示,取PB的中点E,连接DE,AE,则DEBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,则cosADE=DE2+AD2-AE22DEAD=22+22-2222=34,即异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.14.证明:(1)因为G,H分别是FA,FD的中点,所以GHAD,GH=12AD,又因为BCAD,BC=12AD,所以BCGH,BC=GH,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)因为BEFA,BE=12FA,G为FA的中点,所以BEFG,BE=FG,所以四边形BGFE是平行四边形,所以BGEF.又由四边形BCHG是平行四边形,可得BGCH,所以EFCH,所以C,H,F,E四点共面.又DFH,FH平面CHFE,所以D平面CHFE,所以C,D,F,E四点共面.15.C解析 将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B,C)-DEF,如图所示.对于,M,N分别为EF,AE的中点,则MNAF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故错误;对于,易知BD与MN为异面直线,故正确;对于,依题意知GHAD,MNAF,DAF=60,故GH与MN成60角,故正确;对于,连接GF,则A点在平面DEF上的射影A1在GF上,DE平面AA1F,DEAF,而AFMN,DE与MN垂直,故正确.综上所述,正确结论的序号是.故选C.16.24解析 正方体如图所示,若要出现所成角为60的异面直线,则其中一条直线为面对角线,以AC为例,与之构成“黄金异面直线对”的直线有4条,分别是AB,BC,AD,CD,正方体的面对角线有12条,所以“黄金异面直线对”共有1242=24(对)(每一对被计算两次,所以要除以2).
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