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第44讲 直线与圆 圆与圆的位置关系 1.“-33k0,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则a2+b2的最小值为()A.14B.12C.32D.29.2018湖南十四校二联 已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A.6或-6B.5或-5C.6D.510.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是()A.(4,6)B.(4,6C.4,6)D.4,611.2018广东茂名模拟 从原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.12.2018安徽淮南一模 过动点P作圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.13.2018山东邹平模拟 一个圆的圆心C在直线x-y-1=0上,圆C与直线4x+3y+14=0相切,且在直线3x+4y+10=0上截得的弦长为6.(1)求圆C的方程;(2)过点(7,7)作圆C的切线,求切线的方程.14.如图K44-1所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).(1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求直线l的方程.(2)在圆C上是否存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12?若存在,求出点P的个数;若不存在,说明理由.图K44-115.2018四川绵阳三诊 已知圆C1:x2+y2=r2(r0),圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,给出下列结论:a(x1-x2)+b(y1-y2)=0;2ax1+2by1=a2+b2;x1+x2=a,y1+y2=b.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.316.2018安徽合肥二模 为保护环境,建设美丽乡村,某镇政府决定为A,B,C三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理A,B,C三个自然村的垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站M只能建在与A村相距5km,且与C村相距31km的地方.已知B村在A村的正东方向,相距3km,C村在B村的正北方向,相距33km,则垃圾处理站M与B村相距km.7课时作业(四十四)1.A解析 圆x2+y2-2x=0的圆心坐标为(1,0),半径r=1,若直线y=k(x+1)与圆x2+y2-2x=0有公共点,则圆心(1,0)到直线y=k(x+1)的距离d=|k-0+k|k2+11,解得-33k33,所以“-33kr1+r2,所以两圆的位置关系为相离,故选A.4.4解析 易知当弦ABPC(C为圆心)时,弦AB的长取得最小值.因为PC的斜率kCP=1-23-2=-1,所以直线l的斜率k=1,故直线l的倾斜角等于4.5.0或-4解析x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4,则圆心C的坐标为(2,0),半径为2.CMCN,圆心C到直线的距离d=|2+b|2=2,解得b=0或b=-4.6.B解析 由题知,圆心为C(0,0),半径r=1,由直线l与圆C相切,得圆心C到直线l的距离d=|-1|sin2+4cos2=1,解得cos=0,sin=1,则直线l的方程为x=1,故选B.7.A解析 方法一:设O(0,0),A(1,2),由题知,直线PQ与直线OA垂直,且过点A(1,2),故直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),整理得x+2y-5=0.方法二:易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+b,由x2+y2=9,y=kx+b,整理得(1+k2)x2+2kbx+b2-9=0,则=(2kb)2-4(1+k2)(b2-9)=4(9k2+9-b2)0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-2kb1+k2=2,y1+y2=k(x1+x2)+2b=4,得k=-12,满足条件.故直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.故选A.8.B解析 圆x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心坐标为(-1,2),半径r=2.由直线被圆截得的弦长为4,得直线2ax-by+2=0经过圆心,则-2a-2b+2=0,即a+b=1(a0,b0),a2+b2=(a+b)2-2ab1-2a+b22=1-12=12,当且仅当a=b=12时,a2+b2取得最小值,最小值为12.故选B.9.B解析直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,点O到直线AB的距离为|a|12+22=1,解得a=5,故选B.10.A解析 由圆的标准方程得圆心坐标为(3,-5),则圆心到直线4x-3y=2的距离为|12-3(-5)-2|16+9=255=5.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则|5-r|1,解得 4r6,故选A.11.12解析 将圆C的方程化为x2+(y-6)2=9,故圆心C的坐标为(0,6),半径r=3.如图,设OA,OB为圆C的两条切线,A,B为切点,由切线的性质可知CBO=CAO=90,且AC=BC=3,OC=6,则有ACB=ACO+BCO=60+60=120,所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12.12.125解析 设点P(x,y),则x2+y2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,所以点P的运动轨迹是直线3x+4y=12,所以圆心(3,4)到该直线的最短距离为135,则|PQ|min=(135)2-1=125.13.解:(1)由圆心C在直线x-y-1=0上,可设圆心C的坐标为(a,a-1),半径为r,由题意可得|4a+3(a-1)+14|5=r,r2=9+3a+4(a-1)+1052,解得a=2,r=5,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.(2)由题知,点(7,7)在圆C的外部,x=7是一条切线,设另一条切线的方程为y-7=k(x-7),即kx-y+7-7k=0,5=|2k-1+7-7k|k2+1=|6-5k|k2+1,解得k=1160,切线的方程为x=7或11x-60y+343=0.14.解:(1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心为C(2,0),半径为2.因为直线lAB,A(-1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为2-01-(-1)=1,设直线l的方程为x-y+m=0,则圆心C到直线l的距离d=|2-0+m|2=|2+m|2.因为|MN|=|AB|=22+22=22,又|CM|2=d2+|MN|22,所以4=(2+m)22+2,解得m=0或m=-4,故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0.(2)假设圆C上存在满足条件的点P,设P(x,y),则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,化简得x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2|(2-0)2+(0-1)22+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以满足条件的点P的个数为2.15.D解析 由题意得,两圆的公共弦所在直线的方程为2ax+2by-a2-b2=0,所以2ax1+2by1-a2-b2=0,正确;又2ax2+2by2-a2-b2=0,所以a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,正确;线段AB的中点在直线C1C2上,直线AB:2ax+2by-a2-b2=0,C1C2:bx-ay=0,由2ax+2by-a2-b2=0,bx-ay=0,解得x=a2,y=b2,故有x1+x2=a,y1+y2=b,正确.故选D.16.2或7解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(3,33).由题意得,处理站M在以A(0,0)为圆心,半径为5的圆A上,同时又在以C(3,33)为圆心,半径为31的圆C上,两圆的方程分别为x2+y2=25和(x-3)2+(y-33)2=31.由x2+y2=25,(x-3)2+(y-33)2=31,解得x=5,y=0或x=-52,y=532,垃圾处理站M的坐标为(5,0)或-52,532,|MB|=2或|MB|=(-52-3)2+(532)2=7,即垃圾处理站M与B村相距2km或7km.
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