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专题07 二次函数与幂函数一、【知识精讲】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0，当时，恒有f(x)0.二、【典例精练】考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1) 幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是减函数(2)若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.cabC.bcaD.bab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.【解法小结】1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0，01的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.考点二二次函数的解析式【例2】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【解析】法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0).由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0).因为f(2)f(1)，所以抛物线的对称轴为x，所以m.又根据题意，函数有最大值8，所以n8，所以yf(x)a8.因为f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三(利用“零点式”解题)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值8，即8.解得a4或a0(舍).故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.【解法小结】求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三二次函数的图象及应用【例3】 (1)对数函数ylogax(a0且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图象可能是()(2) (2017浙江卷)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关【答案】(1)A(2)B【解析】(1)若0a1，则ylogax在(0，)上是增函数，y(a1)x2x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.(2)设x1，x2分别是函数f(x)在0，1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关.【解法小结】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.考点四二次函数的性质角度1二次函数的单调性与最值【例41】(1)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时，有最大值2，则a的值为_(2)设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是_【答案】(1)1或2(2)0,2【解析】(1)函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.当a1时，f(x)maxf(1)a，所以a2.综上可知，a1或a2.(2)依题意a0，二次函数f(x)ax22axc图象的对称轴是直线x1，因为函数f(x)在区间0,1上单调递减，所以a0，即函数图象的开口向上，所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.角度2二次函数的恒成立问题【例42】(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_【答案】(1)(2)(，1)【解析】(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有fm0,fm+10,即m2+m2-10m+12+mm+1-10,解得mk在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k0时图象经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；1时曲线下凹，01时曲线上凸，0时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【易错注意点】1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况.三、【名校新题】1.(2019济宁联考)下列命题正确的是()A.yx0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数yx是奇函数，则yx是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限【答案】D【解析】A中，点(0，1)不在直线上，A错；B中，yx，当0时，图象不过原点，B错；C中，当0时，yx在(，0)，(0，)上为减函数，C错.幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D正确.2.(2019衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)x22x1 B.f(x)x21C.f(x)2xD.f(x)2x1【答案】A【解析】由存在非零的实数a，使得f(x)f(ax)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x0.只有选项A中，f(x)x22x1关于x1对称.3.(2019杭州模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在0,1内的最大值为5，则a的值为()A.B1或C1或 D5或【答案】D【解析】f(x)424a，对称轴为直线x.当1，即a2时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a1(舍去)当01，即0a2时，f(x)maxf4a.令4a5，得a.当0，即a0时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，得a5或a1(舍去)综上所述，a或5.4.(2019安阳模拟)已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】f(x)x24xa(x2)2a4，函数f(x)x24xa在0，1上单调递增，当x0时，f(x)取得最小值，当x1时，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321.5(2019安徽名校联考)幂函数yx|m1|与yx(mZ)在(0，)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A0 B1和2C2 D0和3【答案】C【解析】由题意可得解得m2.6.(2019巢湖月考)已知p：|m1|1，q：幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】p：由|m1|1得2m0，幂函数y(m2m1)xm在(0，)上单调递减，m2m11，且m0，解得m1.p是q的必要不充分条件.7.(2019武汉模拟)幂函数yx，当取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yxa，yxb的图象三等分，即有BMMNNA，那么a()A.0 B.1 C.D.2【答案】【解析】BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，将两点坐标分别代入yxa，yxb，得alog，blog，alog0.8.（2019济南统考）若函数y=x2-3x-4的定义域为0.m，值域为-254,-4，则m的取值范围是（ ）A.0.4 B.32,4C.32,+ D.32,3【答案】D【解析】y=x2-3x-4=x-322-254,函数在0，32内单调减，在32,+单调增，且x=32时，ymin=-254,x=0时，y=-4,由二次函数的对称性知：x=3时，y=-4.故根据已知函数值域，所求m32,39. (2019银川模拟)已知幂函数f(x)x，若f(a1)f(102a)，则a的取值范围是_【答案】(3,5)【解析】由题意得，幂函数f(x)x的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上单调递减，由f(a1)f(102a)，得解得3a0，且14ab0，4ab1，且b0.故a4b22，当且仅当a4b，即a1，b时等号成立.所以a4b的取值范围是2，).11. (2018浙江名校协作体考试)y的值域为0，)，则a的取值范围是_【答案】0,2【解析】当a0时，y，值域为0，)，满足条件；当a0时，要使y的值域为0，)，只需解得0a2.综上，0a2.12.已知奇函数yf(x)定义域是R，当x0时，f(x)x(1x).(1)求出函数yf(x)的解析式；(2)写出函数yf(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)【解析】(1)当x0，所以f(x)x(1x).又因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x(1x).综上f(x)(2)函数yf(x)的单调递增区间是.13.已知幂函数f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上单调递增，函数g(x)2xk.(1)求m的值；(2)当x1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：xA，q：xB，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.【解析】(1)依题意得：(m1)21m0或m2，当m2时，f(x)x2在(0，)上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0.(2)由(1)得，f(x)x2，当x1，2)时，f(x)1，4)，即A1，4)，当x1，2)时，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)，因p是q成立的必要条件，则BA，则即得0k1.故实数k的取值范围是0，1.14.已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1，1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)ax2bx1(a0)，则f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，又f(0)1，所以c1.因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1，1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1).11
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