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1数列数列 制作：星哥制作：星哥2目录目录一、什么是数列？有哪些点？一、什么是数列？有哪些点？二、两个模型及规律二、两个模型及规律三、规律的高级应用三、规律的高级应用3一、什么是数列？有哪些点？一、什么是数列？有哪些点？naaaa.,321代表一个数列，简记代表一个数列，简记 na是数列的第是数列的第 1 项，也称首项项，也称首项1a是数列的第是数列的第 n 项，也称通项项，也称通项na4一、什么是数列？有哪些点？一、什么是数列？有哪些点？nS代表数列代表数列 的前的前n项和项和 nannaaaaS.3215一、什么是数列？有哪些点？一、什么是数列？有哪些点？)2()1(111nSSanSannnnSna和和 的关系的关系6二、两个模型及规律二、两个模型及规律模型一：等差数列模型一：等差数列定义：如果数列中的任意相邻两项，定义：如果数列中的任意相邻两项，后一项与前一项的差是定值时，后一项与前一项的差是定值时，这个这个数列就叫等差数列，这个定值叫公差，数列就叫等差数列，这个定值叫公差，记作记作d。7模型一：等差数列模型一：等差数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式8模型一：等差数列模型一：等差数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式迭代迭代叠加法叠加法已知任意两项求公差已知任意两项求公差等差数列的判定等差数列的判定9模型一：等差数列模型一：等差数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式等差性质等差性质倒序相加倒序相加等差中项等差中项等差数列的判定等差数列的判定新等差数列新等差数列10模型一：等差数列模型一：等差数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式等差数列的判定等差数列的判定和与项之间的转换和与项之间的转换和的最值的求解和的最值的求解含绝对值的和的求解含绝对值的和的求解裂项相消求和裂项相消求和新等差数列新等差数列11模型一：等差数列模型一：等差数列递推公式：递推公式：),2(1Nnndaann 迭代：迭代：daann21 或：或：daann112模型一：等差数列模型一：等差数列daadaadaadaannnn1223211.叠加得叠加得dnaan)1(113模型一：等差数列模型一：等差数列已知任意两项求公差：已知任意两项求公差：dnmaanm)(),(Nnm等差数列的判定：等差数列的判定：daann1若若 满足满足 ，则，则是一个等差数列是一个等差数列 na na14模型一：等差数列模型一：等差数列通项公式：通项公式：dnaan)1(1等差性质：当等差性质：当 时时qpnmqpnmaaaa15模型一：等差数列模型一：等差数列等差中项：当等差中项：当 时时 pnm2pnmaaa2等差中项：当等差中项：当 三个数成三个数成等差数列时，等差数列时，cba,bca216模型一：等差数列模型一：等差数列等差数列的判定：等差数列的判定：当当 的表达式是一个与的表达式是一个与n有关的有关的一次函数时，则一次函数时，则 是等差数列是等差数列na na17模型一：等差数列模型一：等差数列新等差数列：新等差数列：若若 是等差数列是等差数列则则 是等差数列是等差数列 是等差数列是等差数列 nacmanckna18模型一：等差数列模型一：等差数列nnaaaaS.321121.aaaaSnnnn倒序相加倒序相加)(21nnaanS19模型一：等差数列模型一：等差数列求和公式：求和公式：2)(1nnaanS 或：或：dnnnaSn2)1(120模型一：等差数列模型一：等差数列等差数列的判定：等差数列的判定：当当 的表达式是一个与的表达式是一个与n有关的特有关的特殊二次函数时，则殊二次函数时，则 是一个等差是一个等差数列，且二次项系数是公差的一半。数列，且二次项系数是公差的一半。nS na21模型一：等差数列模型一：等差数列新等差数列：新等差数列：当当 是一个等差数列时，则是一个等差数列时，则 也构成一个也构成一个等差数列等差数列 na.,232nnnnnSSSSS22模型一：等差数列模型一：等差数列和与项之间的转换：和与项之间的转换：nnanS)12(12)(Nn1212nSann)(Nn23模型一：等差数列模型一：等差数列和的最值的求解：和的最值的求解：当等差数列当等差数列 的的 大于大于0，小于小于0时，时，na1adnS有最大值有最大值001nnaa列列 求出求出n值，再求值，再求nS24模型一：等差数列模型一：等差数列和的最值的求解：和的最值的求解：当等差数列当等差数列 的的 小于小于0，大于大于0时，时，na1adnS有最小值有最小值001nnaa列列 求出求出n值，再求值，再求nS25模型一：等差数列模型一：等差数列含绝对值的和的求解：含绝对值的和的求解：当等差数列当等差数列 的的 小于小于0，大于大于0时，时，na1adknnSSaaaa2.321指所有负数项的和指所有负数项的和kS26模型一：等差数列模型一：等差数列裂项相消求和：裂项相消求和：当当 的通项的通项 的表达式是一个分式，而的表达式是一个分式，而 且分母是一个特殊的二次函数时，可以裂项。且分母是一个特殊的二次函数时，可以裂项。nana关联：关联：的表达式是一个与的表达式是一个与n有关的二次函有关的二次函数数nS27模型一：等差数列模型一：等差数列裂项相消求和：裂项相消求和：111)1(112nnnnnnan28模型一：等差数列模型一：等差数列裂项相消求和：裂项相消求和：)111(.)4131()3121()2111(nnSn1111nnn29二、两个模型及规律二、两个模型及规律模型二：等比数列模型二：等比数列定义：如果数列中的任意相邻两项，定义：如果数列中的任意相邻两项，后一项与前一项的比是定值时，后一项与前一项的比是定值时，这个这个数列就叫等比数列，这个定值叫公比，数列就叫等比数列，这个定值叫公比，记作记作q。特殊：特殊：0,01qa30模型二：等比数列模型二：等比数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式31模型二：等比数列模型二：等比数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式迭代迭代累乘法累乘法已知任意两项求公比已知任意两项求公比等比数列的判定等比数列的判定32模型二：等比数列模型二：等比数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式等比性质等比性质错位相减错位相减等比中项等比中项等比数列的判定等比数列的判定新等比数列新等比数列33模型二：等比数列模型二：等比数列定义定义递推公式递推公式通项公式通项公式求和公式求和公式等比数列的判定等比数列的判定新等比数列新等比数列和的比值与和的比值与q的联系的联系34模型二：等比数列模型二：等比数列递推公式：递推公式：),2(1Nnnqaann 迭代：迭代：qaann21 或：或：qaann135模型二：等比数列模型二：等比数列qaaqaaqaannnn12211.累乘得累乘得11nnqaa36模型二：等比数列模型二：等比数列已知任意两项求公比：已知任意两项求公比：nmnmqaa),(Nnm等比数列的判定：等比数列的判定：qaann1若若 满足满足 ，则，则 是一个是一个等比数列等比数列 na na37模型二：等比数列模型二：等比数列通项公式：通项公式：11nnqaa等比性质：当等比性质：当 时时qpnmqpnmaaaa38模型二：等比数列模型二：等比数列等比中项：当等比中项：当 时时 pnm22pnmaaa等差中项：当等差中项：当 三个数成三个数成等比数列时等比数列时 cba,2bca39模型二：等比数列模型二：等比数列等比数列的判定：等比数列的判定：当当 的表达式形如的表达式形如 时，则时，则 是等比数列是等比数列na na1nnqa40模型二：等比数列模型二：等比数列新等比数列：新等比数列：若若 是等比数列是等比数列则则 是等比数列是等比数列 是等比数列是等比数列 nanmackna41模型二：等比数列模型二：等比数列nnaaaaS.321nqS错位相减错位相减11)1(nnaaSq132.nnaaaa42模型二：等比数列模型二：等比数列求和公式：求和公式：111)1(naSqqaSnnn)1(q)1(q43模型二：等比数列模型二：等比数列等比数列的判定：等比数列的判定：当当 的表达式形如的表达式形如 时时 则则 是一个等比数列是一个等比数列 nS nannqS44模型二：等比数列模型二：等比数列新等比数列：新等比数列：当当 是一个等比数列时，则是一个等比数列时，则 也构成一个也构成一个等比数列等比数列 na.,232nnnnnSSSSS45模型二：等比数列模型二：等比数列和的比值与和的比值与q的联系：的联系：nmnmqqSS11),(Nnm46三、规律的高级应用三、规律的高级应用1、求通项、求通项2、求和、求和3、和与不等式结合、和与不等式结合471、求通项、求通项通项从哪来？通项从哪来？递推公式递推公式通项公式通项公式481、求通项、求通项怎么求？怎么求？递推模型递推模型等差递推等差递推等比递推等比递推)(1nfaanndafafnn)()(1)(1nfaannqafafnn)()(1491、求通项、求通项)(1nfaann用叠加法得用叠加法得)(.)2()1(1nfffaan501、求通项、求通项怎么求？怎么求？递推模型递推模型等差递推等差递推等比递推等比递推)(1nfaanndafafnn)()(1)(1nfaannqafafnn)()(1511、求通项、求通项dafafnn)()(1用叠加法得用叠加法得dnafafn)1()()(1再根据再根据 的表达式求的表达式求)(nafna521、求通项、求通项怎么求？怎么求？递推模型递推模型等差递推等差递推等比递推等比递推)(1nfaanndafafnn)()(1)(1nfaannqafafnn)()(1531、求通项、求通项)(1nfaann用累乘法得用累乘法得)(.)2()1()()(1nfffafafn541、求通项、求通项怎么求？怎么求？递推模型递推模型等差递推等差递推等比递推等比递推)(1nfaanndafafnn)()(1)(1nfaannqafafnn)()(1551、求通项、求通项qafafnn)()(1用累乘法得用累乘法得11)()(nnqafaf再根据再根据 的表达式求的表达式求)(nafna562、求和、求和和从哪来？和从哪来？通项公式通项公式求和公式求和公式572、求和、求和常用求和方法常用求和方法倒序相加倒序相加变式变式裂项相消裂项相消分组求和分组求和错位相减错位相减变式变式583、和与不等式的结合、和与不等式的结合先求和，再放缩先求和，再放缩先放缩，再裂项求和先放缩，再裂项求和先放缩成等比数列，再求先放缩成等比数列，再求和和先放缩成等差数列，再求先放缩成等差数列，再求和和常用方法常用方法
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