2022年三角函数总复习

学习必备欢迎下载第六章三角函数1了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切2掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用3能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明4掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sinxAy的简图，理解、A、的物理意义5会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx 表示角6掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查尤其是三角函数的最大值与最小值、周期2以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等知识网络考纲导读高考导航任意角的三角函数三角函数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx,ycosx 的图象和性质ytanx 的图象和性质yAsin(x)的图象已知三角函数值求角名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 1 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载3更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识任意角的三角函数一、角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为2与角终边互为反向延长线的角的集合为3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在 x 轴上的角的集合为，终边在 y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为4象限角是指：5区间角是指：6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1 弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180o弧度，1o弧度，1 弧度o8弧长公式：l；扇形面积公式：S.二、任意角的三角函数9 定义：设 P(x,y)是角终边上任意一点，且|PO|r，则 sin；cos；tan；10三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinx ycosx ytanx 定义域值域13三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线+cosx,sinx,tanx,x y O x y O x y O xyO基础过关名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 2 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角公式：(1)平方关系：sin2 cos2 1，1 tan2，1cot2(2)商数关系：tan，cot(3)倒数关系：tan 1，sin 1，cot 1 2诱导公式：2 2k sin cos 222323sin cos 规律：奇变偶不变，符号看象限3同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0 90o角的三角函数值两角和与差的三角函数1两角和的余弦公式的推导方法：2基本公式sin()sin cos cos sincos();tan().3公式的变式tan tan tan()(1 tan tan)1tan tan)tan(tantan4常见的角的变换：2()()；22()()2(2)(2)；)4()4(xx2二倍角的正弦、余弦、正切1基本公式：sin2；名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 3 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载cos2 ；tan2.2公式的变用：1cos2 ；1cos2 三角函数的化简和求值1三角函数式的化简的一般要求：函数名称尽可能少；项数尽可能少；尽可能不含根式；次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次3求值问题的基本类型及方法“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角4反三角函数arcsin、arccos、arctan分别表示 2,2、0，、（2,2）的角三角函数的恒等变形一、三角恒等式的证明1三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）2证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一3证明三角恒等式的基本方法有：化繁为简；左右归一；变更问题二、三角条件等式的证明1三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立2三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之三角函数的图象与性质1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 4 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载点，点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状2ysinx，ycosx，y tanx 的图象函数ysinx y cosx ytanx 图象注：正弦函数的对称中心为，对称轴为 余弦函数的对称中心为，对称轴为 正切函数的对称中心为3“五点法”作 yAsin(x)(0)的图象令 xx 转化为 y sinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象 函数 yAsin(x)的图象与函数ysinx 的图象关系振幅变换：yAsinx(A0，A1)的图象，可以看做是ysinx 的图象上所有点的纵坐标都，(A1)或(0A0，1)的图象，可以看做是把ysinx 的图象上各点的横坐标(1)或(0 0)的周期为相位变换：ysin(x)(0)的图象，可以看做是把ysinx 的图象上各点向(0)或向(0)或向右(0)或向右(0，0)若 A3，21，3，作出函数在一个周期内的简图 若 y 表示一个振动量，其振动频率是2，当 x24时，相位是3，求 和例 23 已知函数y=3sin)421(x（1）说明此图象是由y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.例 24如图为 y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.例 25设关于 x 的方程 cos2x3sin2xk1 在0，2内有两不同根，求 的值及 k 的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 10 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载例 26.化简 f(x)cos(xk2316)cos(xk2316)23sin(32x)(x R，kZ)并求f(x)的值域和最小正周期例 27 已知函数f(x)xx2cos1sin2 求 f(x)的定义域用定义判断f(x)的奇偶性 在，上作出函数f(x)的图象 指出 f(x)的最小正周期及单调递增区间例 28 设函数)10(cos3sin)(aaxaxxf，)10()6tan()(mmxxg，已知 f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2g(1)f(1)；（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函数f(x)的单调递增区间例 29 已知函数yacosxb 的最大值为1，最小值是 3，试确定)(xfb sin(ax3)的单调区间例 30.求下列函数的最值 yxxxcos1sin2sin；y2 cos(3x)2cosx；xxycos3sin1例 31.试求函数ysinxcosx2sinxcosx2 的最大值与最小值，又若2,0 x呢？名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 11 页，共 12 页 -学习必备欢迎下载例 32.已知 sinxsiny31，求 sinycos2x 的最大值变式训练：在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 b2ac，求 yBBBcossin2sin1的取值范围例 33设 a0，若 ycos2xasinxb 的最大值为0，最小值为 4，试求 a 与 b 的值，并求出使 y 取得最大、最小值时的x 值变式训练：设函数axxxxfcossincos3)(2（其中 0，aR），且 f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6（1）求 的值；（2）如果)(xf在区间65,3x的最小值为3，求 a 的值名师归纳总结 精品学习资料 -精心整理归纳 精选学习资料 -第 12 页，共 12 页 -