2020版高考数学新设计大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图象与性质习题 理（含解析）新人教A版

第4节三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无 微点提醒1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin|x|是偶函数.()解析(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0时，ymaxk1.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修4P46A2，3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()A.T，A1 B.T2，A1C.T，A2 D.T2，A2解析最小正周期T，最大值A211.故选A.答案A3.(必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_.解析由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以ytan的单调递减区间为(kZ).答案(kZ)4.(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A.4 B.2 C. D.解析由题意T.答案C5.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.解析cos cossin，则f(x)sinsinsin，函数的最大值为.答案A6.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x) 的图象关于直线x对称，则的值是_.解析由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，得sin1.所以k(kZ)，所以k(kZ)，又，所以.答案考点一三角函数的定义域、值域(最值)【例1】 (1)函数ylg(sin x)的定义域为_.(2)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_.解析(1)函数有意义，则即解得所以2k0，故a，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得00)在上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析(1)由已知可得函数为ysin，欲求函数的单调递减区间，只需求ysin的单调递增区间.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ).故所求函数的单调递减区间为(kZ).(2)法一由于函数f(x)sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故，解得.法二由题意，得f(x)maxfsin1.由已知并结合正弦函数图象可知，2k(kZ)，解得6k(kZ).所以当k0时，.答案(1)(kZ)(2)考点三三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究角度1三角函数奇偶性、周期性【例31】 (1)(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为3B.f(x)的最小正周期为，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2，最大值为4(2)(2019武汉调研)设函数f(x)sincos的图象关于y轴对称，则()A. B. C. D.解析(1)易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x131cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.(2)f(x)sincos2sin，由题意可得f(0)2sin2，即sin1，k(kZ)，k(kZ).|，k1时，.答案(1)B(2)A规律方法1.若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).2.函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T.【训练3】 (1)(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.2(2)(2019商丘质检)函数f(x)3sin，(0，)满足f(|x|)f(x)，则的值为_.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)sin xcos xsin 2x，f(x)的最小正周期T.(2)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin3，k(kZ)，又00)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t(或ycos t)的性质.3.数形结合是本讲的重要数学思想.易错防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明kZ.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为()A. B. C. D.2解析y22sin，T.答案C2.(2018石家庄检测)若是函数f(x)sin xcos x图象的一个对称中心，则的一个取值是()A.2 B.4 C.6 D.8解析因为f(x)sin xcos xsin，由题意，知fsin0，所以k(kZ)，即8k2(kZ)，当k1时，6.答案C3.已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C.2 D.3解析0，x，x.由已知条件知，.答案B4.(2019湖南十四校联考)已知函数f(x)2sin xcos x(0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1x2|min2，则f(1)的值为()A. B. C.2 D.2解析依题意可得函数的最小正周期为2|x1x2|min224，即，所以f(1)2sin cos 2.答案C5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为()A.f(x)cos B.f(x)|sin(x)|C.f(x)tan x D.f(x)12cos22x解析f(x)cossin x为奇函数，排除A；f(x)tan x为奇函数，排除C；f(x)12cos22xcos 4x为偶函数，且单调增区间为(kZ)，排除D；f(x)|sin(x)|sin x|为偶函数，且在上单调递增.答案B二、填空题6.(2019烟台检测)若函数f(x)cos(0)是奇函数，则_.解析因为f(x)为奇函数，所以k(kZ)，k，kZ.又因为00).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.解析由于对任意的实数都有f(x)f成立，故当x时，函数f(x)有最大值，故f1，2k(kZ)，8k(kZ).又0，min.答案三、解答题9.(2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.解(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m，即m.故实数m的最小值为.10.(2019合肥质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解(1)f(x)sin xcos xsin，且T，2，于是f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ).(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若对于任意xR都有f(x)2f(x)3cos xsin x，则函数f(2x)图象的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析因为f(x)2f(x)3cos xsin x，所以f(x)2f(x)3cos xsin x.解得f(x)cos xsin xsin，所以f(2x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ).所以f(2x)图象的对称中心为(kZ).答案D12.(2017天津卷)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.， B.，C.， D.，解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期为43，f(x)2sin.2sin2，得2k(kZ)，又|，取k0，得.答案A13.已知x0是函数f(x)sin(2x)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是_.解析因为x0是函数f(x)sin(2x)的一个极大值点，所以sin1，解得2k(kZ).不妨取，此时f(x)sin，令2k2x2k(kZ)，得f(x)的单调递减区间是(kZ).答案(kZ)14.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值.解(1)f(x)cos xsin x(2cos2x1)sin 2xcos 2xsin.当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为xk(kZ)，当x(0，)时，对称轴为x.又方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2.x1x2，则x1x2，cos(x1x2)cossin，又f(x2)sin，故cos(x1x2).15