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课后限时集训15导数与函数的单调性建议用时：45分钟一、选择题1函数f(x)3xln x的单调递减区间是()A.B.C. D.B因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln xxln x1，令f(x)0，解得0x，所以f(x)的单调递减区间是.2已知函数f(x)的导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的图像可能是()ABCDC由导函数f(x)的图像可知，函数yf(x)先减再增，可排除选项A，B；又f(x)0的根为正数，即yf(x)的极值点为正数，所以可排除选项D，选C.3若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)D由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，)4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A(1,2 B(4，)C(，2) D(0,3A因为f(x)x29ln x，所以f(x)x(x0)，由x0，得0x3，所以f(x)在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，所以a10且a13，解得1a2.5函数f(x)在定义域R内可导，f(x)f(4x)，且(x2)f(x)0.若af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c的大小关系是()Acba BcabCabc DbacC由f(x)f(4x)可知，f(x)的图像关于直线x2对称，根据题意知，当x(，2)时，f(x)0，f(x)为减函数；当x(2，)时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(3)f(1)ff(0)，即cba，故选C.二、填空题6函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为_由题意，知f(x)的定义域为(0，)，由f(x)a0(a0)，得0x，f(x)的单调递增区间为.7若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_(3,0)(0，)由题意知f(x)3ax26x1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f(x)有两个不相等的零点，所以3ax26x10需满足a0，且3612a0，解得a3且a0，所以实数a的取值范围是(3,0)(0，)8若函数f(x)ln xax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是_(1，)f(x)ax2，由题意知f(x)0有实数解，x0，ax22x10有实数解当a0时，显然满足；当a0时，只需44a0，1a0.综上知a1.三、解答题9已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)由题意得f(x)，又因为f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x)，设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)10已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(1,1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的单调递减区间为(1,1)，求实数a的值；(4)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求实数a的取值范围解(1)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0(2)由题意知f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，所以a3x2在(1,1)上恒成立，因为当1x1时，3x23，所以a3，所以a的取值范围为3，)(3)由题意知f(x)3x2a，则f(x)的单调递减区间为，又f(x)的单调递减区间为(1,1)，所以1，解得a3.(4)由题意知：f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，此时f(x)在(，)上为增函数，不合题意，故a0.令f(x)0，解得x.因为f(x)在区间(1,1)上不单调，所以f(x)0在(1,1)上有解，需01，得0a3，所以实数a的取值范围为(0,3)1(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A.1,1 B.C. D.C取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.2已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf(x)cos x，则()A.f f B. f f(1)C.f f D.f f A令g(x)，则g(x)，由已知得g(x)0在上恒成立，g(x)在上单调递减，gg，即，ff.3已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(1)e，对于任意的xR,2f(x)f(x)0，则不等式f(x)e2x1的解集为_(1，)设F(x)，则F(x).因为2f(x)f(x)0，所以F(x)0，即F(x)是减函数，f(x)e2x1等价于1，即F(x)1.又因为f(1)e，所以F(1)1，则不等式f(x)e2x1的解集是(1，)4已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性解g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)0，得x1.当a0时，令g(x)0，得x1或x，若1，即a，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1；若1，即0a，由g(x)0，得x或0x1，由g(x)0，得1x；当1时，即a时，在(0，)上恒有g(x)0.综上可得：当a0时，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，g(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；当a时，g(x)在(0，)上单调递增；当a时，g(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减1(2019南昌模拟)已知函数f(x)xsin x，x1，x2，且f(x1)f(x2)，那么()Ax1x20 Bx1x20Cxx0 Dxx0D由f(x)xsin x，得f(x)sin xxcos xcos x(tan xx)，当x时，f(x)0，即f(x)在上为增函数，又f(x)xsin(x)xsin xf(x)，所以f(x)为偶函数，所以当f(x1)f(x2)时，有f(|x1|)f(|x2|)，所以|x1|x2|，xx0，故选D.2设函数f(x)aln x，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性解(1)由题意知a0时，f(x)，x(0，)此时f(x)，可得f(1).又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上递减当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减；x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递增；x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上递增；当a时，函数f(x)在(0，)上递减；当a0时，f(x)在，上递减，在上递增 8
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