理论力学讲稿 绪论 质点力学

2022-7-31绪论第一章 质点力学第二章 质点组力学第三章 刚体力学第四章 转动参考系第五章 分析力学2022-7-32绪 论 机械运动就是物体与物体之间或物体内部各部分之间的相对位置的改变。理论力学就是研究物体机械运动普遍遵守的基本规律的一门学科。奠基时期奠基时期 牛顿的自然哲学的数学原理一书可看作是理论力学的第一部著作。另一位理论力学先驱是瑞士的雅各布第一伯努利他最早从事变形体力学的研究，推导出沿长度受任意载荷的弦的平衡方程。通过实验，他发现弦的伸长和张力并不满足线性的胡克定律，并且认为线性关系不能作为物性的普遍规律。2022-7-33 法国科学家达朗贝尔于1743年提出：理论力学首先必须象几何学那样建立在显然正确的公理上；其次，力学的结论都应有数学证明。这便是理论力学的框架。1788年法国科学家拉格朗日创立了分析力学，其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；其后经过相当长的时间，变形体力学的一些基本概念，如应力、应变等逐渐建立起来。1822年法国柯西提出的接触力可用应力矢量表达的“应力原理”，一直是连续介质力学的最基本的假定。2022-7-341894年芬格建立了超弹性体的有限变形理论。停滞时期停滞时期 约从20世纪初到1945年。这段时期形成了以从事线性力学及其相关数学的研究为主的局面。线性理论充分发挥了它解释力学现象和解决工程技术问题的能力，并使与之相关的数学也发展到相当完善的地步。相形之下，非线性理论的研究没有多大进展，理论力学也因此处于停滞时期。复兴时期复兴时期 从1945年起，理论力学开始复兴。复兴不是简单的重复，而是达朗贝尔框架在连续介质力学方面的进一步发展。这种变化是由1945年赖纳和1940年里夫林的工作引起的。2022-7-35 赖纳的工作是研究非线性粘性流体，过去长期不得解决的所谓油漆搅拌器效率不高的问题，因为有了这个非线性粘性流体理论而真相大白。里夫林的工作是在任意形式的贮能函数下，对于等体积变形的不可压缩弹性体，给出了几个简单而又重要问题的精确解，用这个理论解释橡胶制品的特性取得惊人的成功。另外，过去得不到解决的“柱体扭转时为什么会伸长”的问题也自然获得解决。这两个工作揭开了理论力学复兴的序幕。1956年以来，图平关于弹性电介质的系统研究，为电磁连续介质理论的发展打下了基础。2022-7-36 1957年托马期关于奇异面的研究是另一重大进展。1957年诺尔首先提出纯力学物质理论的公理化问题。次年，他发表了连续介质的力学行为的数学理论，这便是简单物质的公理体系的雏型，后来逐渐发展成为简单物质谱系。1958年埃里克森和特鲁斯德尔提出的杆和壳中应力和应变的准确理论，德国学者金特尔关于科瑟拉连续统的静力学和运动学的论文，引起了对有向物体理论的重新认识和系统研究。2022-7-37 1960年特鲁斯德尔和图平所著古典场论，以及1966年特鲁斯德尔和诺尔所著力学的线性场论两书，概括了以前有关理论力学的全部主要成果，是理论力学的两部经典著作。这两部书的出版标志着理论力学复兴时期的结束。发展时期发展时期 1966年以来，理论力学进入发展时期。它的发展是和当代科学技术发展的总趋势相呼应的。这个时期的特点是理论力学本身不断向深度和广度发展，同时又与其他学科相互渗透，相互促进。理论力学的发展主要涉及五个方面：公理体系和数学演绎；非线性理论问题及其解析和数值解法；解的存在性和唯一性问题；古典连续介质理论的推广和扩充；以及与其他学科的结合。2022-7-38 理论力学来源于传统的分析力学、固体力学、流体力学、热力学和连续介质力学等力学分支，并同这些力学分支结合，出现了理性弹性力学、理性热力学、理性连续介质力学等理论力学的新兴分支。与普通物理一样，理论力学只适用于宏观物体的低速运动。研究物体的高速运动问题，则要用到相对论力学，研究微观粒子的运动问题，则要用到量子力学。学习该门课程的要求是：认真听讲，多记笔记，多做练习，多看参考书。作业每周三交，改一半。2022-7-39 成绩的评定成绩的评定 平时成绩占总成绩的10%，期中考试成绩占总成绩的30%，期末考试成绩占总成绩的60%。主要参考书主要参考书：1、理论力学 徐燕侯等 中国科技大学出版社2、理论力学 楚安夫等 电子科技大学出版社3、理论力学 陕西师范大学出版社4、理论力学 朱照宣等 北京大学出版社5、理论力学习题分析与解答6、理论力学习题指导与题解 石教兴等 北京航空航天 大学出版社 2022-7-310 学学 时时 分分 配配 建建 议议章 次教学内容学时分配 绪 论0.5一质点力学13.5二质点组力学7三刚体力学13 期中考试2四转动参考系6五分析力学10期末复习 2 总 计54返回2022-7-311第一章第一章 质点力学质点力学 教学目的教学目的1.掌握参考系和坐标系的合理选择，牢固掌握位矢、速度和加速度在不同坐标系下的分解。2.掌握不同参考系之间位矢、速度、加速度之间的关系。3.熟练掌握牛顿运动定律解决动力学问题的基本方法，会计算有关问题。4.在加速平动参考系中建立起惯性力概念，会计算加速平动参考系中动力学问题。2022-7-3125.理解功和功率,区分保守力与非保守力概念。6.熟练掌握质点运动的三个基本定理及三个守恒律，并会计算有关问题。7.掌握有心力的几个基本性质，熟练掌握比耐公式，理解开普勒三定律，了解宇宙三速度。2022-7-3131.1 1.1 运动的描述方法运动的描述方法1 1、参照系与坐标系、参照系与坐标系 参照系 物体的位置是相对的，必须首先找出另外一个物体作为参考，作为参考的物体叫做参照系。参照系选定后，物体的运动规律是唯一的。在参照系上适当地选取坐标系，定量地确定物体在空间的相对位置。坐标系选定后，对物体的运动规律描述的数学表达式是唯一的。2022-7-314 质点质点 不考虑物体的形状和大小，它的质量集中在某个点上。这是一种抽象化的模型。质点是最简单的模型。还有质点组、刚体、弹形体、理想流体等模型。自由质点自由质点 可以在空间自由运动的质点称为自由质点。确定一个自由质点在空间的位置，要用三三个独立变量。x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)2022-7-315x质点在空间的位置还可以用位置矢量表示。P(x,y,z)zyzo注意：矢量用黑体字表示或在字母上打矢量符号。rijk 2022-7-316 如果质点恒在一平面上运动，则只要两个坐标就可确定它的位置了。平面极坐标系 解决平面问题。o极点x极轴P(r,)极角注意单位矢量的写法。kjirzyxjiryxr2022-7-317r=r(t)2 2、运动学方程与轨道、运动学方程与轨道 轨道 就是运动质点在空间(或平面上)一连串所占据的点形成的一条轨迹。运动学方程 表示质点的运动规律的方程。f(x,y,z)=0 3 3、位移、速度和加速度、位移、速度和加速度=(t)2022-7-318zBAoxy位移)(tr)(ttrr2022-7-319速度的大小为速率，用符号 v 表示。方向 质点在t时刻的切线并指向运动的前方。不加矢量符号不加矢量符号rrrvdtdttt0lim)(2022-7-320zBAoxy)(ttr)(trrv2022-7-321 加速度 速度的时间变化率。是一个矢量。ozyxP1P2)(tv)(tv)(ttv v2022-7-322加速度的方向不是指向轨迹的切向!)()(tttvvvrvvvadtdttt0lim)(2022-7-3231.2 1.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式 1、直角坐标系 标量kjirzyxdtdrv)(kjizyxdtdkjidtdzdtdydtdxkjizyxvvv、分别是该坐标系坐标轴x、y、z上的单位矢量ijkkjirva22222222dtzddtyddtxddtddtdkjizyxaaa2022-7-324 例题例题1 1 一质点在抛物线x2=4py上运动，它与抛物线的对称轴相垂直的方向上的速度分量为v（v为定值）。试求沿抛物线对称轴（即y轴）的方向上的速度分量及加速度分量。解：此题是关于直角坐标系中速度和加速度问题oxyx2=4py由题意可知，v为定值，即 vx=x v=定值=则加速度分量ax=0由抛物线方程x2=4py可得 vy=yp41xp21=2xvx ay=yp21xp21=v=v2 2022-7-325 例题例题2 一点以定值速度划一旋轮线轨迹，试证明该点在y轴上的投影作等加速运动，旋轮线的方程为x=R(sin),y=R(1cos)式中R为常数。证明证明 由题给条件知 v=c=22yxx=ddxdtd=R(1cos)(1)y=ddydtd=Rsin(2)v=c=22yx=2222sin)cos1(RR2022-7-326=)cos1(2Rc(3)将（3）代入（2），得 y=)cos1(2sinc(4)将（4）求导，得 y=Rc42(5)=常数 问题：问题：x x方向上的速度和加速度如何求？方向上的速度和加速度如何求？2022-7-327 例题例题3 3 一质点沿圆锥曲线y22mxnx2=0运动(m、n为常数)，其速率为常量c，求质点速度的x分量和y分量。解解 将轨道方程对时间求导得2yy2mx2nxx=0即：y=ynxm x(1)根据题意x2+y2=c2(2)(1)代入(2)得 2022-7-328x=22)(nxmycyy=22)()(nxmynxmc2022-7-3292 2、极坐标系、极坐标系 求解平面曲线运动问题时，有时要采用极坐标系，以使计算简化。oxP=+dtdi位置矢量为径向单位矢量横向单位矢量irrijvr 把速度分解为沿位矢 及垂直位矢 (增加的方向)的两个方向上的分量 及rrirvjvdtdrv)(irdtdir和 是时间t的函数，大小不变但方向变化。ij2022-7-330oxyPQdijiid/i1r2rjjd/j2022-7-331d0时，等腰三角形的两个底角均接近于直角。=1d=ddtdi=ddidtd=j同理dtdj=i 当质点沿曲线C由P点运动到Q点时，位矢由 变 为 ，而单位矢量 也由 变为 ，和 的量值都等于1，但方向不同。1r2rii/ii/i 、和 组成一等腰三角形。i/iid ，与 的方向一致。iidj 的量值则为idid2022-7-332jivrr rvrrv径向速度，由矢径的大小改变引起径向速度，由矢径的大小改变引起横向速度，由矢径的方向改变引起横向速度，由矢径的方向改变引起同理，加速度为ar=rr2 a=r+2r=r1dtd(r2)径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度 径向加速度不仅是径向速度的大小对时间的导数，而横向加速度也不仅是横向速度的大小对时间的导数。2022-7-333 例题例题1：质点M沿着垂直于极轴的直线作匀速直线运动，若用极坐标系描述M的运动，则(A)ar=0，a=0 (B)ar0，a0(C)ar=0，a0 (D)ar0，a=0 A=cr（b、c为常数），例题例题2：一质点t=0时，r=r0，=0，运动过程中，r=b,则此质点的轨道方程为 cb2r2r02=(0)2022-7-334 例题例题3：质点作平面运动，已知其速度大小为常数c，位矢的角速度为常数，求该质点的的运动学方程、速度、加速度及其轨道(设t=0时，r0=0，0=0)。解解：本题属于平面极坐标系问题本题属于平面极坐标系问题由题设条件知：v=222rr=c(1)=(2)将(2)式积分可得=t+c1 (3)初始条件，t=0时，0=0 2022-7-335所以c1=0，故=t 由(1)、(2)式可得 2r+r2 2=c2(4)将上式两端对时间求导数，得 2 rr+2r r2=2r(r+r 2)=0由上式可得 r=0(5)r+r 2=0(6)由(5)式解得 r=c2 2022-7-336初始条件，t=0时，r0=0，可知c2=0。即r=0，这个解表示质点在原点静止不动，应该舍去。由(6)式解得 r=c3sin(t+c4)初始条件，t=0时，r=c3sinc4=r0=0如r有非零解，则c30，必有c4=0，r=c3sint（7）(7)式代入(4)式有 c3=cr=csint（8）2022-7-337质点的运动学方程为 r=csint(9)=t(10)质点的速度为 质点的加速度为 由运动学方程中消去时间t，即得质点得轨迹方程 r=csin jivrrjitctcsincosjiatctcsin2sin22022-7-338这是一个半径为c的圆，圆心的极坐标为（2c，2)3、切向加速度与法向加速度 先讨论平面情况。为沿轨道切线并指向轨道弧长s增加的方向上的单位矢量，为沿轨道法线并指向曲线凹侧的单位矢量，为轨道前进的切线方向和x轴间的夹角。ij 和 是时间t的函数，大小不变但方向变化。ij 如果质点沿着平面曲线C运动，那么我们还可以把加速度矢量 分解为沿着轨道的切线方向及法线方向两个分量。a2022-7-339oxyPQdds切向单位矢量法向单位矢量drij/i/j2022-7-340 jidd ijdd又速度 沿着轨道的切线，故idtdsds是当改变d时，质点沿曲线C所移动的路程，在极限情况下，v=dtds故：vivvrdds2022-7-341加速度为：dtdva=i22dtsd+dtdsdtdi=()2dtdsi22dtsd+()ddidsddtdvv1v dsdv0方向 指向曲线凹侧 a和an是标量，上方不加矢量符号。jia2vdtdvjjianaa2022-7-342a是由于速度的量值改变速度的量值改变所引起的。an则是由于速度的方向改变速度的方向改变所引起的。如速度的量值保持不变，则 a=0 当质点沿曲线运动时，由于速度的方向随时改变，故加速度一般不等于零。对于空间曲线来讲，上式仍然适用。例题例题1 教材P13例3例题例题2P77 1.9ivdtds=0jia2vdtdv0av2022-7-343 例题例题11一质点沿半径为R的圆形轨道运动，其运动学方程为v=2 ms1，s表示自然坐标，则质点的切向加速度为 ms2。s2 例题例题 以初速度v0将一物体向上抛，抛射角为，忽略空气阻力，则物体飞行轨道最高处的曲率半径为(A)gvsin0(B)gv220cos(C)20vg(D)条件不足不能确定 B 2022-7-3441.3 1.3 平动参照系平动参照系 1、绝对速度、相对速度与牵连速度 考虑在两种不同的参考系中对同一点的位矢、速度和加速度描述之间的关系。参考系的选择是任意的S 静止参考系 S/运动参考系S/相对于S作平动，即 S/不自转2022-7-345SoxyzS/o/x/y/z/Pr0r/r2022-7-346根据矢量加法有(1)(1)对时间求导数dtddtddtd/rrr0在经典力学范围内，dt=dt/(2)绝对速度相对速度牵引速度/0rrrdtddtddtd/rrr00/vvv2022-7-347 例例题题 小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点。假定水流速度C1沿河宽不变，而拉绳子的速度则为C2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。解 因船沿径向的绝对速度为C2，其方向与位矢r的方向相反，而水的牵连速度沿垂直于r方向(增加的方向)的分量为C1sin，故得rMAC2C1C1rC1sin1c2c2022-7-348径向绝对速度 dtdr=C2(1)横向绝对速度 dtdr=C1sin(2)两式相除，得 rdr=12CCcscd(3)积分，得 lnr=12CClntg 2+C(4)即 lnr=lntgk+C(5)式中 12CC=k2=2022-7-349代人(5)式，得 C=lnr0lntgk0(7)把(7)代人(5)，得 00lnlnaactgtgrrkk(8)r=r0ctgk0tgk 这就是所求船的轨迹方程。2022-7-3502、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度 例题例题直线AB在半径为r的固定圆平面中以等速C沿垂直于AB的方向作直线平动。求此直线与圆周的交点M的速度与加速度。解：选定坐标系oxy，y轴与直线AB垂直，如图所示。按公式0/aaa0/vvv0/aaa2022-7-351oxyABMo/rv0vc2022-7-352其中 圆周上任一点M(x，y)有以下的关系 x=rsin(1)y=rcos(2)x=rcos(3)y=rsin(4)=c由(4)得，=sinrC(5)jvc0jivyx/因为M点恒在AB杆上运动，所以相对速度v/在 方向得分量为零。j2022-7-353=+=isincosc因为 所以 =i22sinrCi22sinrC0/vvvixjcjcjvc000aiax/aa 的方向自M点指向B点。a2022-7-3541 1.4 4 质点运动定律质点运动定律1、牛顿运动定律 第一定律 任何物体(质点)如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态。也就是说：物体如果不受其他物体的作用，它的速度将保持不变。物体在不受其他物体作用时保持运动状态不变的这种性质，叫做惯性。第二定律 当一物体(质点)受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度的方向和外力的方向一致。aFm2022-7-3552、相对性原理、相对性原理 在动力学中，应用牛顿运动定律时，参照系就不能任意选择。惯性参照系惯性参照系 牛顿运动定律能成立的参照系 判据判据 观察和实验12FF 第三定律 当一物体A对另一物体B有一个作用力 的同时，另一个物体B同时也对该物体A有一个反作用力 ，作用力与反作用力的量值相等，方向相反，并且在同一直线上，即1F2F2022-7-356 伽利略相对性原理 不能借助任何力学实验来判断这样的参照系是静止还是作匀速直线运动。相对于惯性参照系作匀速直线运动的一切参照系都是惯性参照系。地球可看做近似程度相当好的惯性参照系。2022-7-3571.5 1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程 1 1、运动微分方程的建立、运动微分方程的建立 自由质点 的微分方程的标量形式用直角坐标表示mx=Fx(x，y，z；，t )xyzmy=Fy(x，y，z；，t )xyzmz=Fx(x，y，z；，t )xyz),(tmr,rFr合外力 是坐标、速度和时间的函数。F2022-7-358 质点作平面曲线运动，有时用直角坐标系，有时则用平面极坐标系。)rm(r2=Fr(r，；，t)r=m(r+2 r)F(r，；，t)r如果质点受到某种约束，则叫非自由质点非自由质点。解非自由质点的运动(或称约束运动)问题，一般都是将约束去掉，而代之以约束反作用力，从而把它当成自由质点。约束反作用力通常作用在质点和曲线或曲面的接触点上。2022-7-359光滑约束质点的运动微分方程为解线约束问题，通常用内禀方程比较方便。切线上主法线n上副法线b 上m dtdv=Fm 2v=Fn+Rn 0=Fb+Rb R=22bnRR 注意这是标量方程Rr,rFr),(tm若约束不光滑，则需在切向方向上加摩擦力 ，ff=R。2022-7-3602 2、运动微分方程的解、运动微分方程的解 解力学问题一般可按下述七个步骤进行(1)理解题意(2)作草图(3)适当选取坐标系并规定质点的坐标(4)标出已知及未知的力，已知及未知的加速度(5)写出质点的运动微分方程(6)解方程(7)讨论 但不拘泥于这七个步骤。2022-7-3611 1、力只是时间、力只是时间t的函数的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中 的运动 最简单形式直接积分可以求出速度和运动学方程。设电场强度沿x轴方向 Ex=E0cos(t+)而电子所受的力则为 F=eEx=eE0cos(t+)该题属于一维直线运动。(1)(2)电子运动的微分方程为 m22dtxd=mdtdv=eE0cos(t+)(3)2022-7-362(3)两边对时间t求积分，得v=meE0sin(t+)+C1 设初始条件：当t=0，v=v0代入上式，则得 C1=v0+meE0sin(t+)(4)v=v0 meE0sint+meE0sin(t+)再积分，并设起始条件为t=0，x=x0，得 x=x0 20meEcos+(v0+meE0sin)t+20meEcos(t+)2022-7-3632 2、力只是速度的函数。、力只是速度的函数。例题例题1 1 质量为m的质点，以初速度v0与水平面成倾斜角投入水中，在水中受到的浮力为2mg，而水的阻力与速度的大小成正比（R=kv），方向相反，求质点的收尾速度。解解：分析题意。作受力分析图。2022-7-364oxymg2mg 以落水点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向下为y轴，建立图示坐标系。重力vRvjgGmgmjgmgmF22)(jyixkR方向向下浮力 方向向上阻力方向与速度方向相反受力2022-7-365建立运动微分方程=mxk xx=mkx(1)x方向：y方向：my=2mgky+mg y=(g+mky)(2)(1)式积分后有 x=ce)(tmk初始条件为：t=0时，x=vocos 2022-7-366所以 xvocose)(tmk(3)同理可求得 y=kmg+vosin)e)(tmk kmg(=故=vocose)(tmk+kmg+vosin)e)(tmk kmg(当t=时，jvkmgvij2022-7-367 例题例题2 2 将质量为将质量为m m的质点竖直抛上于有阻力的媒质的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即中。设阻力与速度平方成正比，即 R=mkR=mk2 2gvgv2 2。如上掷时。如上掷时的速度为的速度为v v0 0，试证此质点又落至投掷点时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为 v1=20201vkv证明：选ox轴竖直向上 oxmgRvRmgv物体向上运动的微分方程为 m dtdv=mgmk2gv2(1)dtdv=dxdvdtdx=vdxdv(2)将(2)式代入(1)式得 上升阶段下降阶段2022-7-368221vkvdv=gdx(3)物体向下运动时，阻力方向向上，式(3)改为 221vkvdv=gdx(4)(3)和(4)积分，然后相加，得221kln(1+k2v2)00v+221kln(1k2v2)10v=0 即 ln(1+k2v 02)+ln(1k2v12)=0 v1=20201vkv2022-7-3693 3、力只是坐标的函数、力只是坐标的函数 例题例题1 1 物体沿一倾角为的斜面从静止开始下滑，物体与斜面间的摩擦系数为随物体的位移而变化，即=bx，b为常数，求物体在停止滑动前所移动的位移；物体的最大速度为多少？xyofNgm2022-7-370物体受力分析：重力 解解 以斜面顶点为原点，沿斜面向下为x轴的正方向，垂直向上为y轴的正方向，建立坐标系。斜面的支持力摩擦力 建立运动微分方程jigcossinmgmgmjNNiff2022-7-371x方向mdtdv=mgsinmgcos(1)y方向 Nmgcos=0(2)由(1)得 mdtdv=mgsinbx mgcos dtdv=vdxdv(3)所以vdv=(gsinbxgcos)dx 2022-7-372积分，有v2=g(2xsinbx2cos)+c 初始条件为：t=0时，v=0，x=0,c=0 v2=g(2xsinbx2cos)当物体最终停止时有v=0。x=g(tg)b2令u=g(2xsinbx2cos)u/=0 得x=b1tg 又u/0 所以当x=b1tgu有极大值，即v2有极大值。v=tgbgsin2022-7-373解解：质点在光滑的弦上运动，理想约束运动，一维直线运动。受力分析 重力建立如图所示的坐标系 例题例题2质量为m的质点，沿圆上一光滑的弦，自A点向B点运动，如图所示，质点受一指向圆心的引力作用，引力的大小与质点到o的距离成反比，即 ，k为比例常数，为径向单位矢量。已知圆半径为R，质点的初速度为零。求质点经过弦中点O1时的速度。iFkbOO 1igm引力约束力指向圆心O垂直于弦向上FR2022-7-374oxyABmgRFo12022-7-375 设质点在任一位置M的速度为v，则约束质点沿x轴方向的运动微分方程为：mx=kcos=kx=22bxkx(1)x=xdxxd代入(1)式，分离变量，有 xdx=)(22bxmkxdx 对上式积分，有v0vdv=00 x)(22bxmkxdx=mk200 x2222)(bxbxd初始条件 t=0时，x=x0，=0，x2022-7-376v2=mklnb2ln(x02+b2)(2)x02=R2b2 代入(2)，并取负号，得 因为v=bRmkln2负号表示质点的速度在负号表示质点的速度在O1点时点时，沿沿x轴的负方向轴的负方向。(3)(4)2022-7-377 例题例题3(力是坐标的函数)质点在地球引力作用下运动(不计大气阻力和地球自转的影响)。设质点的质量为m，地球的质量为M，半径为R，求距地心z0处，沿质点与地心连线方向，以初速度V0离开地心的质点的运动规律。解解：选取以地心为坐标系的原点，地心到质点的连线方向为z轴正方向的地心坐标系0 xyz，设某时刻t质点位于(0，0，z)点。根据万有引力定律，质点位于地面上任一位置z和处于地面时，所受地球的引力分别为 kF2zMmGz(1)(2)由(2)得GM=R2g代入(1)kF2RMmGRkmgkF22zmgRGz2022-7-378所以其运动微分方程为m =0 xm =0yzm =22zmgR(4)初始条件 t=0时，x0=y0=0，z=z0，=0 x0y=0z=0z=v0 可知质点沿z轴作直线运动(5)(6)z=zdzzd代入(6)有2022-7-379zdzzd=22zmgR分离变量，积分并利用初始条件，有vv0zdz=22zmgRdz21(v2v02)=R2g(z101z)(v2v02)=2R2g(z101z)(7)该式表示物体在运动过程中速度与距离的关系。dtdz代入(5)式，分离变量积分，可得质点的运动学方程z=z(t)。v=将2022-7-380 例题例题4 一质量为m的珠子串在一半径为R的铁丝做成的圆环上，圆环水平放置。设珠子的初始速率为v0，珠子与圆环间动摩擦因数为，求珠子经过多少弧长后停止运动。解：珠子做的是平面上的圆周运动。已知运动轨迹，则采用自然坐标系。珠子的运动微分方程为 m dtdv=f=22NbNnFF(1)m 2v=FNn(2)0=FNbmg(3)=R（约束方程）(4)质点受力分析。2022-7-381FNnFNbbnnbgmf2022-7-382根据积分公式有：22axdx=ln(x+)+c 22ax 把(2)、(3)、(4)式代入(1)式，利用积分公式积分，代入初始条件，有因为dtdv=v dsdv=dsvd2)(2s=2Rln RggRvv2240202022-7-3831.6 1.6 非惯性系动力学非惯性系动力学(一一)1 1、在加速平动参照系中的运动、在加速平动参照系中的运动绝对加速度绝对加速度a a、牵连加速度、牵连加速度a a0 0和相对加速度和相对加速度a a/的关系为：的关系为：相对于惯性参照系相对于惯性参照系S S作加速直线运动的参照系不是惯作加速直线运动的参照系不是惯性参照系，而是非惯性参照系。性参照系，而是非惯性参照系。/aaa0aFm/aaF0mm/aFm2022-7-3842 2、惯性力、惯性力惯性力它没有施力者没有施力者 不存在不存在惯性力的反作用力反作用力/)(aaF0mm0aFm*