2022年《周期现象与周期性》教案

学习必备欢迎下载周期现象与周期性课时安排一课时 . 材料来源北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修4中的“周期现象与周期性” . 本节最为重要的是让学生了解周期现象， 观察周期现象，感知周期现象的存在，学会用周期现象， 解决一些实际生活和数学中的一些具体问题. 从生活现象教材内容学习活动学习过程解决问题目标达成学习的延伸 ( 课外自主学习). 立意与设想创设网络式学习与课堂学习相结合的模式，能从网络上获取生活与自然界的周期现象，并根据自然界、生活中的周期现象，理解周期性的意义，一个周期变化、一个最小正周期、周期的整数倍的意义. 能从各种事实、数据、图形中，判断其是否具有周期性 . 建立数学模型，将自然生活现象中的周期问题，转化为数学中的周期函数；掌握正弦、 余弦函数的周期特征， 正确理解 f( x+T)=f( x)的意义，理解周期与最小正周期的概念 . 设计理念借助网络了解自然现象中的周期现象，由学生上网查阅资料， 完成生活与自然界的周期现象的收集，并能将这些现象用多媒体的方式展示出来. 把周期现象转化为数学问题（数学模型） ，建立数学模型，用数学模型“f(x+T)=f( x) ”来研究周期问题. 整个学习过程， 体现了学生的主动学习， 学会利用网络进行再创作， 提取学习信息，了解周期现象，特别从数学角度来研究它，使之更好地为生活生产服务. 学会学习，自主探究，提高独立探究能力、自我创新能力. 根据本节课的具体教学内容和学生实际情况，可借助网络和多媒体辅助教学.教材分析一、地位与作用周期性是函数的五大性质之一， 突出地表现了函数的一大特征， 即某一现象的名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载重复出现 . 这种现象在三角函数中体现得最为充分，函数值的变化会随着自变量的变化而重复出现 . 因此，在研究周期函数时，我们只需要对其一个周期进行研究，便可知道它在整个定义域中的性质. 特别还为我们学习周期数列、物理学中的周期运动、周期现象奠定了基础. 最重要的是周期现象就存在于自然界与生活中，许多周期现象，常常直接影响着人类的生活与生存，使我们认识自然、 发现自然奥秘并尊重自然规律 . 因此，学好这部分知识可以帮助学生关注自然，了解自然，体会数学与自然界有着千丝万缕的联系， 并从中体会学习数学的快乐， 数学并不总是枯燥的，数学并不是无用的，它的价值是无限的. 二、教学重点与难点本节课的重点内容是通过对生活、 自然界的周期现象的认识， 了解周期现象的意义，并学会建立数学模型， 用数学方法研究周期现象，掌握正弦、余弦函数的周期性变化，学会用周期性研究函数的性质. 本节课的难点是建立数学模型，将周期现象转化为数学中的周期函数，准确理解符号 f( x+T)=f( x)的意义，能判定函数是否具有周期性，会求出函数的周期及最小正周期 . 三、方式方法合理创设情境， 从学生最为熟知的自然规律、 生活现象出发， 通过观察、归纳、转化，体会从具体事件到抽象的数学模型的学习过程，提升每个学生的学习能力与数学品质 . 四、难点突破给出预习提纲，利用现代教育技术，通过网络了解自然与生活中的周期现象，并借助多媒体展示主要的周期现象. 借助实例、反例、数组、图象等直观素材，搭建好自然与生活中的周期现象与数学中的周期函数的关系，引导学生用数学语言、数学符号表示周期现象， 学会用数学知识、 数学方法、数学观点研究周期现象，完成周期函数的学习 .学情分析在学生具有一定函数知识、图象知识、逻辑思维能力和转化能力的基础上，学生对自然与生活现象中的周期（性）变化，早有体会，并不陌生，但我们在整个数学学习过程中，并没有作为周期性来认识、来研究. 学生困难的是周期性赋予的数学意义，或者说怎样从周期函数的角度， 研究周期现象，特别是对周期函数的定义，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载对数学符号f(x+T)=f( x) 的理解，不是一件容易的事，教学过程中，教师仍然应从多角度，让学生感知周期现象与周期函数的关系，理解自变量与函数值所表示的周期现象的意义， 培养学生建立数学模型， 并会用数学模型解决实际问题的能力，为数学建模不断地奠定基础. 学习目标一、知识与技能了解自然界的周期现象，能从一组数据的变化读出周期现象. 观察函数的图象变化、观察正弦、余弦函数值的变化，找出正弦、余弦函数的周期和最小正周期. 二、过程与方法培养学生观察生活、观察自然现象的好习惯， 能将周期现象应用到数学学习中，并能用几何方法研究代数问题，亦能将代数问题转化为几何问题不研究. 掌握实验确认、自主探究、合情推理等方法三、情感、态度、价值观在探究学习过程中，体验学习的乐趣、感受大自然的奇趣，深刻体会自然界中的数学，与数学中蕴涵的自然规律 . 增强学习的信心， 培养探索世界、了解自然、学好数学的兴趣 . 教学重点与难点教学重点 ：任意角的正、余弦函数的定义. 教学难点： 用单位来研究问题 . 教学过程一、课前阅读与预习1. 阅读课本 P.3-P.5 页，理解周期现象 . 2. 通过网络查阅自然界与生活中的周期现象，分析这些周期现象， 这些周期现象说明了什么， 并说明周期现象的应用 （服务于生产与生活），分类总结形成文字，并在课堂上交流 . 二、新课引入1. 自然与生活中的周期现象你能列举哪些自然与生活中的周期现象. 并指出它们经过几次变化，同一种现象会重复出现 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载学生预习成果展示：1）海水的潮汐现象（海水每经过一昼夜会涨落两次）. 2）地球的自转和公转 . 3）一天二十四个小时、一周七天、一年十二个月的周而复始；一年四季（春夏秋冬）的交替，一年二十四节气的轮回. 4）时钟的时针、分针、秒针的重复旋转. 5）中国每年的传统节日 . 6）中国年历中的十二生肖. 7）摆钟的摆锤运动、水车的水轮转动、摩天轮的转动. 2. 讨论周期现象的特征同一现象或同一事件，会在相同的时间或经过相同的变化次数后重复出现. 三、周期意义的理解学习材料一：生活中的周期现象1. 今天是星期三，经过 7 天、14 天、280天变化后， 分别是星期几？若向前推7 天、21 天、70 天分别是星期几？最少要经过多少天的变化可以得到星期三？帮助学生从生活现象理解：周期（正周期、负周期）与最小正周期的概念. 2. 中国年历中的 12 生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪. 每经过年重复同一生肖 . 若今年是兔年，经过12 年是年，经过 24年是年. 经过 15 年是年，给出某一年的生肖，如何计算不同年份的生肖？生活现象数量化：提取信息，用表格表示周期现象，如下表：经过的天数前三天前二天前一天今天1 2 3 4 5 6 7 14 280 星期几6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 3 3 构造函数模型设 x 为经过的天数，星期几为对应的函数值f( x)，将中的表改造如下：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载赋予数字意义（利用映射关系） ：令今天用 0 表示， 前一天用 -1 表示， 前二天用 -2 表示， 前三天用 -3 表示， , 则以上表格改造为建立周期模型的雏形利用中的第二个表格，引导的学生：i) 列出 f(x) 与 x 的等量关系 . 当 f(0)=3, f(1)=4, f(2)=5, f（3）=6，f(4)=7, f(5)=1, f(6)=2, f(7)=3, , f(-1)=2,f(-2)=1,f(-3)=7,f(-4)=6,f(-5)=5,. ii) 找出 f( x)=1 的所有的 f( x). , f(-9)= f(-2)= f(5)= f(12)= ，找出 f( x)=2 的所有的 f( x). f(-15)= f(-8)= f(-1)= f(6)= f(13)= f(20)= f(27)= . iii )找出以上数量关系的一般规律：f( x+7)=f( x). 学习材料二：数字中的周期现象1. 例举一些数字，使其具有周期性，并求出它们的周期、最小正周期. 例如： 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,；0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1，0,-1, ；0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2,3,4,.周期模型的认识：2. 设 a, b, c, d 分别代表春、夏、秋、冬，若令a =春，b = 夏，c =秋，d=冬，若第一季为春季用f(1) 表示，且有f(1)= a；经过一个季节变化后为夏季，用f(2)表示且有f(2)= b；经过二个季节的变化后为秋季，用f(3) 表示且有 f(3）=c；经过三个季节变化后为冬季用f(4) 表示，且有 f(4)= d, , 若经过 10 个季节的变化后是季( 填 a、b、c、d), 求 f(5)= f(4+1)= ,f(6)= f(4+2)= ,f(7)= f(4+3)= , f(8) =f(4+4)= , 若 x 为经过的季数，由以上结果，是否可以得到f( x+4)=f( x)（xZ）的结论 . 经过的天数x前三天前二天前一天今天1 2 3 4 5 6 7 14 280 星期几 f( x) 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 3 3 经过的天数x-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 14 280 星期几 f( x) 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 3 3 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载-3 -2 -1 1 2 3 Oyx1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 5 6 7 yx引导学生：用列表法表示自变量x（经过的季数）与季节f( x) 的函数 . 学习材料三：周期现象的直观表示1. 如图，为 y=f( x)的图象，研究函数图象的特征，指出函数图象的变化是否具有周期性，若有，求出它的最小正周期和周期. 2. 将函数 f(x)=x2（x-1,1）的图象，分别向左、向右平移2，4，6，个单位 . 作出这个图象， 观察你作的图象， 这个图象的变化是否具有周期性，最小正周期是？周期是？分别观察 i) f(-6) 、f(-4) 、f(-2) 、f(0) 、f(2) 、f(4) 、f(6) 的值是否相等？ii) f(-7) 、f(-5) 、f(-3) 、f(-1) 、f(1) 、f(3） 、f(5 ） 、f(7) 的值是否相等？iii ) f(-7+21) 、f(-5+21) 、f(-3+21)、f(-1+21) 、f(1+21)、f(3+21) 、f(5+21) 的值是否相等？从以上结论：是否可得出f( x+2)=f( x) 的结论？利用 f( x+2)=f(x)和 f(x)=x2( x-1,1)， 求 f(3), f(-4), f(211), f(35), f(47)的值.四、正弦、余弦函数的周期性1.为任意角，若角的终边与单位圆的交点坐标为P( u, v), 则 sin= , cos= .在角的终边上任取一点Q（x, y）, 则 sin= , cos= . 2. 由三角函数的定义，说明终边相同的三角函数值的关系，即sin(2k)与 sin(kZ ) 的关系； cos(2k) 与 cos( kZ ) 的关系. 若 f(x)=sinx, 则 f(2k+x)= (kZ ) ；若 f(x)=cosx, 则 f(2 k+x)= (kZ ). 经过的 x 季节数-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季节 f( x) cabcdabcdabcdabcd名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载-1 1 0 - - + + sinx0 O0 0 1 - + - + cosx-1 O3. 由正弦、余弦函数的定义，标出sin、cos在四个象限中的取值符号. 当自变量 x 经过了多长的变化，y=sinx与 y=cosx 的正负符号，会重复变化？ y=sinx与 y=cosx 的函数值会重复变化？至少要经过多少（圈）弧度的变化？它们的周期是多少？最小正周期是多少？用多媒体演示：当角的终边按顺时针或逆时针变化一圈、二圈、三圈，, 观察正弦、余弦函数值和函数值的符号变化. 五、周期函数的概念学生阅读：周期函数的定义（课本P.16 ）. 学生讨论：对定义涵意的理解. 对函数符号 f( x+T)=f(x)意义的理解 . 使用的条件 . 六、反馈练习：1. 课本 P.16 练习 1. 2. 设 f(1)=0, f(2)=1, f(3)= -1 ，若 f( x+3)=f( x)( xZ )，求 f(9) ，f(25) ，f(-50)的值. 3. 已知函数 f(x) 是 R 上的周期为 5 的周期函数，且f(1) 2005,求 f(11). 七、小结与作业：1. 你能从哪些角度对周期函数进行理解？日常生 活现 象； 函数 图象； 数组； 周期函 数的定 义：对 于任意 的都 有f(x+T)=f(x) ，T 为常数 . 2. 函数模型的建立确定的两个量，自变量与函数值. 如何将不是数字的问题赋予数字意义后， 用函数来研究 （用映射的关系进行转化） 如何将自然与生活生产的实际问题转化为函数性质来研究？（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）作业：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载层次一1. f( x)是以 1 为一个周期的函数，且当x(-1,0)时，f(x)=2x+1,求 f(27) 的值. 2. 已知定义在 R 上的奇函数 f( x)满足 f(x+2)= - f( x)，则 f(6) 的值为（）. A.-1 B.0 C.1 D.2 3. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 以 2 为周期，则 f(1)+ f(2)+ f(3) 的值是（）A.0 B.1 C.2 D.3 层次二1. （2006山东）已知定义在R 上的奇函数 f(x) 满足 f( x+2)=f( x), 求 f(4+x)与 f( x)的关系式； f( x) 的最小正周期； 求 f(6) 的值为（）. A. 1 B. 0 C.1 D.2 2. 设函数 f( x)（）是以 3 为周期的奇函数， 且 f(1)1, f(2)= a, 则（）. A. a2 B. a1 D. a-1 3. 若 f( n)=sin6n(nZ), 则 f(1)+ f（2）+f(102)= . 4.（2005天津文） 设 f( x)是定义在 R 上以 6 为周期的函数， f(x)在(0,3) 内单调递减，且 y=f(x) 的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（）. （A）（B）（C）（D）层次三建立循环数字的周期关系1. 一组循环数字， 0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1，0,-1, ，若令 f(-1)=0 ，f(0)=-1, f(1)=0 ， f(2)=1 ，f(3)=0 ， f(4)=-1 ，f(5)=0 ， f(6)=1 ，f(7)=0 ， f(8)= -1, , 则 f(27)= ,f(-20)= ，f(2010)= ，f(n+4)= (nZ）. 2. 将 f( x)=x2（x-1,1）上的点 A(31,91) 向左平移 2、4、6 个单位后的坐标为，且有 f(31)=f( )=f( )；将点 A(31,91)向右平移 2、4、6名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载-3 -2 -1 1 2 3 Oyx1 个单位后的坐标为 ,且有 f(31)=f( )=f( ).将函数图象y=f(x) 向左平移 2 个单位，所得函数解析式为 .f( x+2)与 f( x) 的关系是怎样的？将函数图象 y=f( x)向右平移 2 个单位， 所得函数解析式为 .f( x-2)与 f( x) 的关系是怎样的？3. 如图， y=f(x) 的图象为一组平行线段，研究函数图象的特征，求函数在 x3,-3上的解析式. 教学反思自然、生活和数学是融为一体，只不过有很多是不为人知的 . 现代科学的发展，越来越体现了数学实际应用的重要性，特别是高科技领域 . 因此在数学教育教学中，着力培养学生的实际应用能力，有意识地建立各种数学模型，有意识地用数学模型解决不同的实际问题，是至关重要的. 数学知识应用越广泛， 意味着科学水平越高， 社会越进步，周期现象与周期函数的关系，就是很好的事实说明 . 事实上，天文变化，气象变化，植物、动物生长周期，医学中的药物治疗周期等， 都体现了非常明显的周期性， 如果从数学意义上来研究， 会不会更准确、更科学些 . 积极引导开展，丰富多样的数学社会应用实践活动，才能真正体现数学的价值，帮助人们认识数学，用好数学. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -