2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座 第二十六讲 开放性问题评说

2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第二十六讲开放性问题评一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：1条件开放题称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件2结论开放题称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知条件导出相应结论3判断性开放题称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种性质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题，解题的基本思路是：由已知条件及知识作出判断，然后加以证明【例题求解】【例1】如图，00与OOx外切于点T,PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B为切点，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的关系、三角形的关系及由此推出的相应结论注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情开放性问题没有明确的目标和解题方向，留有极大的探索空间解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力同时发挥出来杭州市对本例评分标准是以正确结论的难易程度为标准灵活打分，分值直接反映考生的能力及创新性【例2】如图，四边形ABCD是00的内接四边形，A是B1T的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E(1) 求证：ABDA=C0BE；(2) 若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA,其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图，注明条件，不要求证明)思路点拨对于(2),能画出图形尽可能画出图形，要使结论ABDA=CDBE成立，即要证ABEsCDA，已有条件ZABE=ZCDA，还需增加等角条件，这可由多种途径得到.注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟一故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返【例3】如图1,若00与00外切于A,BC是00与00外公切线，B、C为切点，求证:1212AB丄AC.(2) 如图2,若00与00外离，BC是00与00的外公切线，B、C为切点，连心线00121212分别交00、00于M、N，BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明你的结论.12(3) 如图3,若00与00相交，BC是00与00的公切线，B、C为切点，连心线00121212分别交00、00于M、N,Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ,则BQ与CQ是否垂直?证明你12的结论.图1图2图3思路点拨本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中.注:开放性问题还有以下呈现方式:(1) 先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；(2) 先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化或改变结论时其条件相应发生的变化.【例4】已知直线(0)与轴、轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线过A、C两点，且与轴交于另一点B.(1) 如果A、B两点到原点0的距离A0、B0满足A0=3B0,点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式；(2) 是否存在这样的抛物线，使得tanZACB=2，且ABC外接圆截得轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.思路点拨(1)通过“点B到直线AC的距离等于”利用等积变换求出A、B两点的距离；先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可设等腰三角形的底和腰分别为、，底角和顶角分别为、要求“正度”的值是非负数注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在一演绎推理一得出结论（合理或矛盾）这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程【例5】如图度称为“正度”同学甲认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么?（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）3）请再给出一种衡量“正度”的表达式思路点拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究正度时应保证相似三角形的正度相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解再判断方案的合理性并改进方法注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在作为探究的科学教学的演讲时提出的他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学，即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论研究性问题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究方法学力训练1. 如图，是四边形ABCD的对称轴，如果ADBC，有下列结论:ABCD，AB=BC；3AB丄BC:AO=OC.其中正确的是.2. 如图，是一个边长为的小正方形与两个长、宽分别为、的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：:.3. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线；乙：与轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：一4. 如图，已知AB为00的直径，直线与00相切于点D，AC丄于C，AC交00于点E，DF丄AB于F(1) 图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；(2) 若AE=3,CD=2，求00的直径.5在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)现找出其中的一种，测得ZC=90,AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与厶ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)6. 如图，抛物线与x轴交于点A(X,0)，B(x2,O)(XOX2),与y轴交于点C(0，-2)，若0B=40A，且以AB为直径的圆过C点.212(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若点D在此抛物线上，且ADCB. 求D点的坐标； 在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得AAPD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由7. 给定四个命题：Sinl5。与sin75的平方和为1；函数的最小值为-10；，则x=10”，其中错误的命题的个数8. 在实数范围内，一元二次方程的根为；在ZABC中，若AC2+BC2AB2，则AABC是锐角三角形；在AABC和厶AB1C1中，、分别为AABC的三边,、分别为ABR的三边，若，,则厶ABC的面积大S于厶AB1C的面积S.以上三个命题中，真命题的个数是()A0B1C2D39. 已知：AB是00的直径，AP、AQ是00的两条弦，如图1,经过B做00的切线，分别交直线AP、AQ于点M、N.可以得出结论APAM=AQAN成立.图1图2图3(1) 若将直线向上平行移动，使直线与00相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；(2) 若将直线继续向上平行移动，使直线与00相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由.10. 如图，已知圆心A(0，3)，A与轴相切，0B的圆心在轴的正半轴上，且0B与0A外切于点P,两圆的公切线MP交轴于点M,交轴于点N.(1)若sinZOAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；若A的位置大小不变，0B的圆心在轴的正半轴上移动，并使0B与0A始终外切，过M作0B的切线MC,切点为C在此变化过程中探究： 四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明； 经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由.11. 有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=，AD=，BE=.(1) 求证：AF=EC；(2) 用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EEBC. 当为何值时，直线EE经过原矩形的一个顶点？ 在直线EE经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE，直线BE与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当与有何种数量关系时，它们就垂直?12(1)证明：若取任意整数时，二次函数总取整数值，那么，、都是整数(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论13.已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16.(1) 这样的四边形有几个?(2) 求这样的四边形边长的平方和的最小值参考答案靄开放性问册评说【例题求解】例】现按写岀的结论的难易程度，给出的评分标准如下：(1) 写出以下结论，并给予证明的给6分:PA=PT；ZPAT=ZPTAiZOAP=ZOTP=90.(2写岀以下结论并给予证明的给8分:PA=PB=PT$ZATB=60,ZAOT+ZAPT=180；OA/OB.(3)写出以下结论，并给予证明的给10分:OATgo/PTB/BMN+ZCNM=90,故ZBQC=180(ZBQO】+ZCQO2)V904例4(1)A(万，0),C(0,-4)设人5,0阳(工2,0),(乃0工2),=一3才2,设点B到直线AC的距离为力9则AC=丿4$+16,Sabc=寺ACh=ABOCJ?十16书=(X)一工2X4,解得4=3,M=令，可得直线、抛物线的解析式分别为y=令工一4,了=令工2一_|_工一4;(2假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx-49并设ABC的外接圆圆心为G,连AG,BG,作GE丄工轴于E,GF丄，轴于F,则C(04),D(0,l)CF=DF=号,GE=OF=4*=号，由tanZAGE=tanZACB=2,得AE=2GE=3,化AB=2AE=6,OAOBOCOD,即一xiX2=4,a=1,又AB=6,(4工2)2=(xi+乜)24xix2=/+16=36,解得6=2/5.故存在这样的抛物线，其解析式为y=F2辰一4.I例5(1)同学乙的方案较为合理因为|a-0的值越小,a与0越接近60,因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等.如：边长为4,4,2和边长为8,8,4的两个等腰三角形相似，但|24|=2工|4一8|=4$(2)对同学甲的方案可改为用耳严、耳尹1等“为正数)来表示“正度；还可用|a6O|、lB6(T|、|a+p12(ri、*L(a6O)z+2(p-6O)2等来表示“正度”.【学力训练】1.2a2+2a6=a(a+26)；a(a+b)+ab=u(a+2b),a(a+2)一a(a+6)=ab等3j=-yx2或=-4-x24-|-x3或，=*工2#工十1或y=y-jc214.(1)FB=CE,证明略；(2)OO的直径为55.可以设计如下四种方案：勺A&入卫Jhjec0B门=272厂2=4厂2=2n=4a/2-41Q6.$=三丄2三工一2；6品164或(36)(2)D点坐标为(5,3)；存在符合要求的P点的坐标，此时P点坐标为(二，】：+用)007.28.A9. (1)连结”P在平移中AB丄MN.ZA戌B=ZAED=90,又上#4=上/10=90,AAMBAABP.A磐=黑，/a-jTjTIjD即APAM=ABABf,同理,AQAN=ABAB,故APAM=AQ*AN成立(2)1)的结论仍成立.证明略.10. (l)M0,-2),由厶NPBsMOB.得黠=器,.BN=今,ON=OB由此得MP的解析A11I式为y=丁工一2,抛物线的解析式为y=丁工+石z2；(2)四边形OMCB是矩形.在不动，OB运动变化过程中，恒有Z.BAO=ZMAP,OA=AP，ZAOBAPM=90,：.AOBAPM,OB=PM,ABAM,PB=OM，而PB=-BC,：.OM=BC.由切线长定理知MCMP,：,MC=OB.A四边形MOBC是平行四边形，又ZMOE=90。二四边形MOBC为矩形.存在.由上证明知RtMONQRt厶BPN,；.BN=MN.因此在过M,N,B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在.由抛物线的对称性知，在抛物线上必有一点与M关于其对称轴对称.ABN=BM,.这样得到满足条件的三角形有两个；MNB和厶MNE.IL(1)由-y(t+AF)a=*(6工+6AF)a,得AFbx又EC=bx:.AF=EC(2)如图1,当直线EF经过原矩形的顶点D时，才：&=专；如图2,当直线EE经过原矩形的顶点A时6=y；图1图2(第11题)如图1,当直线EE经过原矩形顶点时，BEEF；如图2,当直线EE经过原矩形的顶点A时，且当亍匸晋时,BE与EF垂直.若x取整数值时二次函数y=ax2+bi总取整数值，则当x=0时，为整数，故r为整数值；当工=一1时Qta-b+c为整数于是ab=为整数；当厂=一2时”2=4a2h+c为整数.于是2a=y2-2y-i+yo为整数.于是2a,ab,c都是整数.所求逆命题为：若2a,a6,c都是整数，那么工取任意整数时，二次函数y=a十十如+(总取整数值，这是一个真命题.证明如下：若c,ab,2a都是整数，由y=ax2+6r+c=ajx+l)-i-&)j+c,当a取整数时,x(x+l)是偶数，故寺丄(上十1)必是整数，由2a是整数得2a-寺才(+1)是整数，又由abtc是整数得一a&);(十c是整数，因此*当工取任意整数时，二次函数y=ax2+bx+c总取整数值.13.(1)如图，记AB=a,CD=b,AC=lt并设ABC的边AB上的高为加，ZXADC的边DC上的高为虹则SE3!eAam=SAABc+SAACc=y(/iia+A26Xy/(a+6),仅当h=h2=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC丄AU.AC丄CD时等号成立.由已知得64Z(a+W,又a+E=16T,得64Z(16-Z)=64-(Z8)z64于是/=8,a+6=&且这时AC丄AB,ACJ_CD因此这样的四边形有如下4个：a=l,6=7,2=8；a=2,b=6,/=8a=3,&=5,/=8;a=b=4,Z=&又AB=a,CD=8-a,则BC2=82+az,AD2=82+(8-a)2故这样的四边形的边长的平方和为,2a2+2(8-a)2+128=4a-4)2+192,当a=0=4时，平方和最小，且为192.