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.wd.导数压轴题题型归纳1. 高考命题回忆例1函数f(x)exln(xm)2013全国新课标卷(1)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m2时,证明f(x)0.例2函数f(x)x2axb,g(x)ex(cxd),假设曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2),且在点P处有一样的切线y4x+22013全国新课标卷求a,b,c,d的值假设x2时, ,求k的取值范围。例3函数满足2012全国新课标(1)求的解析式及单调区间;(2)假设,求的最大值。例4函数,曲线在点处的切线方程为。2011全国新课标求、的值;如果当,且时,求的取值范围。例5设函数2010全国新课标(1)假设,求的单调区间;(2)假设当时,求的取值范围例6函数f(x)(x3+3x2+ax+b)ex.2009宁夏、海南(1)假设ab3,求f(x)的单调区间;(2)假设f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为。(2)假设可导函数在 处取得极值,则。反之,不成立。(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增减区间。(4)函数在区间I上递增减的充要条件是:恒成立 不恒为0.(5)函数非常量函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。假设为二次函数且I=R,则有。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立(7)假设,恒成立,则; 假设,恒成立,则(8)假设,使得,则;假设,使得,则.(9)设与的定义域的交集为D,假设D 恒成立,则有.(10)假设对、 ,恒成立,则.假设对,使得,则. 假设对,使得,则.11在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,假设对,,使得=成立,则。(12)假设三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 1 xx+ 3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7构造函数,最值定位设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.例8分类讨论,区间划分函数,为函数的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(2)假设函数,求函数的单调区间.例9切线设函数.1当时,求函数在区间上的最小值;2当时,曲线在点处的切线为,与轴交于点求证:.例10极值对比函数其中当时,求曲线处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,求函数的单调区间与极值.例11零点存在性定理应用函数假设函数(x)=f(x),求函数(x)的单调区间;设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0)处的切线,证明:在区间(1,+)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切例12最值问题,两边分求函数. 时,讨论的单调性;设当时,假设对任意,存在,使,求实数取值范围.例13二阶导转换函数假设,求的极大值;假设在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.例14综合技巧设函数讨论函数的单调性;假设有两个极值点,记过点的直线斜率为,问:是否存在,使得假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由.交点与根的分布例15切线交点函数在点处的切线方程为求函数的解析式;假设对于区间上任意两个自变量的值都有,求实数的最小值;假设过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围例16根的个数函数,函数是区间-1,1上的减函数.I求的最大值;II假设上恒成立,求t的取值范围;讨论关于x的方程的根的个数例17综合应用函数求f(x)在0,1上的极值;假设对任意成立,求实数a的取值范围;假设关于x的方程在0,1上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.不等式证明例18(变形构造法)函数,a为正常数假设,且a,求函数的单调增区间;在中当时,函数的图象上任意不同的两点,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明:假设,且对任意的,都有,求a的取值范围例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)函数.1假设对任意的恒成立,求实数的取值范围;2当时,设函数,假设,求证例20绝对值处理函数的图象经过坐标原点,且在处取得极大值I求实数的取值范围;II假设方程恰好有两个不同的根,求的解析式;III对于II中的函数,对任意,求证:例21等价变形函数讨论函数在定义域内的极值点的个数;假设函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;当且时,试对比的大小例22前后问联系法证明不等式,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1。I求直线的方程及m的值;II假设,求函数的最大值。III当时,求证:例23(整体把握,贯穿全题)函数1试判断函数的单调性;2设,求在上的最大值;3试证明:对任意,不等式都成立其中是自然对数的底数例24(化简为繁,统一变量)设,函数.假设,求曲线在处的切线方程;假设无零点,求实数的取值范围;假设有两个相异零点,求证: .例25导数与常见不等式综合函数,其中为正常数求函数在上的最大值;设数列满足:,1求数列的通项公式; 2证明:对任意的,;证明:例26利用前几问结论证明立体不等式函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(I )求函数f(x)的单调区间;(II)如果对任意,都有不等式f(x) x + x2成立,求实数a的取值范围;(III)设,证明:+0时恒成立,求正整数k的最大值.例36创新题型设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()假设x=0是F(x)的极值点,求a的值;()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且PQ/x轴,求P、Q两点间的最短距离;()假设x0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围例37创新题型函数=,.()求函数在区间上的值域;是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的,使得成立.假设存在,求出的取值范围;假设不存在,请说明理由;给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对于函数图象上的点其中总能使得成立,则称函数具备性质“,试判断函数是不是具备性质“,并说明理由.例38(图像分析,综合应用)函数,在区间上有最大值4,最小值1,设求的值;不等式在上恒成立,求实数的范围;方程有三个不同的实数解,求实数的范围导数与数列例39创新型问题设函数,是的一个极大值点(1),求的取值范围;当是给定的实常数,设是的3个极值点,问是否存在实数,可找到,使得的某种排列其中=依次成等差数列?假设存在,求所有的及相应的;假设不存在,说明理由例40数列求和,导数结合给定函数(1)试求函数的单调减区间;(2)各项均为负的数列满足,求证:;(3)设,为数列的前项和,求证:.导数与曲线新题型例41形数转换函数, .(1)假设, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?假设存在,求出R的横坐标;假设不存在,请说明理由.例42全综合应用函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,假设不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例43换元替代,消除三角设函数,其中当时,求曲线在点处的切线方程;当时,求函数的极大值和极小值;当,时,假设不等式对任意的恒成立,求的值。例44新题型,第7次晚课练习设函数.(1)讨论的单调性(2)设,求的取值范围.创新问题积累例45函数.I、求的极值. II、求证的图象是中心对称图形.III、设的定义域为,是否存在.当时,的取值范围是?假设存在,求实数、的值;假设不存在,说明理由例46函数在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减1求a的值;2设,假设方程的解集恰好有3个元素,求的取值范围;3在2的条件下,是否存在实数对,使为偶函数如存在,求出如不存在,说明理由导数压轴题题型归纳参考答案例1 (1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1,定义域为x|x1,f(x)ex,显然f(x)在(1,0上单调递减,在0,)上单调递增(2)证明g(x)exln(x2),则g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0,所以h(x)是增函数,h(x)0至多只有一个实数根,又g()0,所以h(x)g(x)0的唯一实根在区间内,设g(x)0的根为t,则有g(t)et0,所以,ett2et,当x(2,t)时,g(x)g(t)0,g(x)单调递增;所以g(x)ming(t)etln(t2)t0,当m2时,有ln(xm)ln(x2),所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2由得,而=,=,=4,=2,=2,=2;4分由知,设函数=,=,有题设可得0,即,令=0得,=,=2,1假设,则20,当时,0,当时, 0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值, 而=0,当2时,0,即恒成立,(2)假设,则=,当2时,0,在(2,+)单调递增,而=0,当2时,0,即恒成立,(3)假设,则=0,当2时,不可能恒成立,综上所述,的取值范围为1,.例31 令得: 得:在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为2得当时,在上单调递增时,与矛盾当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为例4解由于直线的斜率为,且过点,故即解得,。由知,所以。考虑函数,则。(i)设,由知,当时,h(x)递减。而故当时,可得;当x1,+时,hx0从而当x0,且x1时,fx-+0,即fx+.ii设0k0,故 (x0,而h1=0,故当x1,时,hx0,可得hx0,而h1=0,故当x1,+时,hx0,可得 hx0时,假设x(lna,+),得函数在(lna,+)上是增函数;假设x(-,lna),得函数在(-,lna)上是减函数综上所述,当a0时,函数f (x)的单调递增区间是(-,+);当a0时,函数f (x) 的单调递增区间是(lna,+),单调递减区间是(-,lna)5分由题知:不等式ex-axx+x2对任意成立,即不等式对任意成立设(x2),于是再设,得由x2,得,即在上单调递增,h(x)h(2)=e2-40,进而,g(x)在上单调递增,即实数a的取值范围是由知,当a=1时,函数f (x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增f (x)f (0)=1,即ex-x1,整理得1+xex令(nN*,i=1,2,n-1),则,即,显然,故不等式nN*成立 例27解:()又,所以,即又因为对一切实数恒成立,即对一切实数,不等式,恒成立. 显然,当时,不符合题意. 当时,应满足,可得,故. 所以()由于, .即: .由所以()证明:因为,所以要证不等式成立,即证. 因为, 所以.所以成立 例28解:当时,函数在区间上单调递增;当时,函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值,故. 令, 则.函数在上可导,存在,使得.,当时,单调递增,当时,单调递减,;故对任意,都有. 用数学归纳法证明.当时,且,由得,即,当时,结论成立.假设当时结论成立,即当时,. 当时,设正数满足,令, 则,且.当时,结论也成立.综上由,对任意,结论恒成立.例29解:1当时,由,由故的单调减区间为单调增区间为2即对恒成立。令,则再令在上为减函数,于是从而,于是在上为增函数故要恒成立,只要即的最小值为3当时,函数单调递增;当时,函数 单调递减所以,函数当时,不合题意;当时, 故此时,当 变化时的变化情况如下:0+单调减最小值单调增对任意给定的,在区间上总存在两个不同的使得成立,当且仅当满足以下条件令令,得当时,函数单调递增当时,函数单调递减所以,对任意有即对任意恒成立。由式解得:综合可知,当在 使成立。例30解:1当用定义或导数证明单调性均可 2上恒成立.设上恒成立.可证单调增 故的取值范围为 3的定义域为当上单调增 故有两个不相等的正根m,n,当时,可证上是减函数.综上所述,a的取值范围为例31解:(1)因为为的极值点,所以即,解得又当时,从而为的极值点成立 (2)因为在区间上为增函数,所以在区间上恒成立 当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意 当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立令,其对称轴为,因为所以,从而在上恒成立,只要即可,因为,解得因为,所以.综上所述,的取值范围为(3)假设时,方程可化为.问题转化为在上有解,即求函数的值域 因为,令,则, 所以当时,从而在上为增函数,当时,从而在上为减函数, 因此.而,故,因此当时,取得最大值0例32解:当时,当,故函数在上是增函数,当,假设,在上非负仅当,x=1时,故函数在上是增函数,此时假设,当时,;当时,此时是减函数;当时,此时是增函数故假设,在上非正仅当,x=e时,故函数在上是减函数,此时不等式,可化为, 且等号不能同时取,所以,即,因而令,又,当时,从而仅当x=1时取等号,所以在上为增函数,故的最小值为,所以a的取值范围是例33解:1.2不等式,即,即.转化为存在实数,使对任意,不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设,则。设,则,因为,有。故在区间上是减函数。又故存在,使得。当时,有,当时,有。从而在区间上递增,在区间上递减。又所以当时,恒有;当时,恒有;故使命题成立的正整数的最大值为5.例34解:1。函数在处与直线相切解得.当时,令得;令,得,上单调递增,在1,e上单调递减,.2当b=0时,假设不等式对所有的都成立,则对所有的都成立,即对所有的都成立,令为一次函数, .上单调递增,对所有的都成立.注:也可令所有的都成立,分类讨论得对所有的都成立,请根据过程酌情给分例35解:1定义域2单调递减。当,令,故在1,0上是减函数,即,故此时在1,0和0,+上都是减函数3当x0时,恒成立,令又k为正整数,k的最大值不大于3下面证明当k=3时,恒成立当x0时恒成立令,则,当当取得最小值当x0时,恒成立,因此正整数k的最大值为3例36解:()F(x)= ex+sinxax,.因为x=0是F(x)的极值点,所以. 又当a=2时,假设x0,.x=0是F(x)的极小值点, a=2符合题意. ()a=1,且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令当x0时恒成立.x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1. ()令则.因为当x0时恒成立,所以函数S(x)在上单调递增, S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立.当a2时,在0,+单调递增,即.故a2时F(x)F(x)恒成立. 例37解:()在区间上单调递增,在区间上单调递减,且 的值域为令,则由()可得,原问题等价于:对任意的在上总有两个不同的实根,故在不可能是单调函数 当时,在区间上递减,不合题意 当时,在区间上单调递增,不合题意当时,在区间上单调递减,不合题意当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增,由上可得,此时必有的最小值小于等于0而由可得,则综上,满足条件的不存在。设函数具备性质“,即在点处的切线斜率等于,不妨设,则,而在点处的切线斜率为,故有即,令,则上式化为,令,则由可得在上单调递增,故,即方程无解,所以函数不具备性质“.例38解:(1)当时,上为增函数故当上为减函数故即. .方程化为,令,记方程化为,令,则方程化为方程有三个不同的实数解,由的图像知,有两个根、,且或,记则或例39解:时,令,设是的两个根,1当或时,则不是极值点,不合题意;2当且时,由于是的极大值点,故,即,()解:,令,于是,假设是的两个实根,且由可知,必有,且是的三个极值点,则,假设存在及满足题意,1当等差时,即时,则或,于是,即此时或2当时,则或假设,则,于是,即两边平方得,于是,此时,此时=假设,则,于是,即两边平方得,于是,此时此时综上所述,存在b满足题意,当b=a3时,时,时,.例40 (1) 的定义域为 (此处不写定义域,结果正确不扣分) 由得或单调减区间为和 (答案写成(0,2)扣1分;不写区间形式扣1分)(2)由可得, 当时,两式相减得或当时,假设,则这与题设矛盾 于是,待证不等式即为.为此,我们考虑证明不等式令则,再令, 由知当时,单调递增 于是即 令, 由知当时,单调递增 于是即 来源:Z#xx#k.Com由.可知所以,即(3)由(2)可知 则来源:Z*xx*k.Com在中令n=1,2,3.2010,2011并将各式相加得即 例41解:(1)依题意:在(0,+)上是增函数,对x(0,+)恒成立, (2)设当t=1时,ym I n=b+1; 当t=2时,ym I n=4+2b 当的最小值为(3)设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则设 这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 例42 (1)假设存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上,则函数图像的对称中心为.由,得,即对恒成立,所以解得所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.(2)由(1)得.令,则.因为,所以,由+得,所以.所以.(3)由(2)得,所以.因为当且时,.所以当且时,不等式恒成立.设,则.当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.因为,所以,所以当且时,.由,得,解得.所以实数的取值范围是.例43解:当时,得,且,所以,曲线在点处的切线方程是,整理得解:令,解得或由于,以下分两种情况讨论1假设,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且2假设,当变化时,的正负如下表:因此,函数在处取得极小值,且;函数在处取得极大值,且证明:由,得,当时,由知,在上是减函数,要使,只要,即设,则函数在上的最大值为要使式恒成立,必须,即或所以,在区间上存在,使得对任意的恒成立解:.例44 ()因为,所以.当时,在上为单调递增函数;当时,在上为单调递减函数;当时,由得,由得或;由得;所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数.()因为当时,恒成立当时,令,则又令,则则当时,故,单调递减当时,故,单调递增所以在时有最小值,而,综上可知时,故在区间单调递所以 ,故所求的取值范围为.另解:由恒成立可得,令,则,当时,当时,又,所以,即故当时,有当时,所以当时,综上可知故所求的取值范围为.例45(I).注意到,得,解得或.当变化时,的变化情况如下表:+0增极大值减减极小值增所以是的一个极大值, 是的一个极大值.(II)点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.设为的图象上一点,关于的对称点是.也在的图象上,因而的图象是中心对称图形.(III) 假设存在实数、.,或.假设, 当时,而.故此时的取值范围是不可能是.假设,当时,而.故此时的取值范围是不可能是.假设,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解.故此时的取值范围是不可能是.综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.例46解:1,由在上的值为正,在上的值为负故是方程之根,2由有三个相异实根,故方程有两个相异的非零根且.3为偶函数,由2知
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