数学压轴题归类100题

.wd.导数压轴题题型归纳1. 高考命题回忆例1函数f(x)exln(xm)2013全国新课标卷(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.例2函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，假设曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有一样的切线y4x+22013全国新课标卷求a，b，c，d的值假设x2时, ，求k的取值范围。例3函数满足2012全国新课标(1)求的解析式及单调区间；(2)假设，求的最大值。例4函数，曲线在点处的切线方程为。2011全国新课标求、的值；如果当，且时，求的取值范围。例5设函数2010全国新课标(1)假设，求的单调区间；(2)假设当时，求的取值范围例6函数f(x)(x3+3x2+ax+b)ex.2009宁夏、海南(1)假设ab3,求f(x)的单调区间;(2)假设f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)假设可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增减区间。(4)函数在区间I上递增减的充要条件是：恒成立 不恒为0.(5)函数非常量函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。假设为二次函数且I=R，则有。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)假设，恒成立，则; 假设，恒成立，则(8)假设，使得，则；假设，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，假设D 恒成立，则有.(10)假设对、 ，恒成立，则.假设对，使得,则. 假设对，使得，则.11在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，假设对,，使得=成立，则。(12)假设三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 1 xx+ 3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例7构造函数，最值定位设函数(其中).() 当时,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.例8分类讨论，区间划分函数,为函数的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(2)假设函数,求函数的单调区间.例9切线设函数.1当时，求函数在区间上的最小值；2当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.例10极值对比函数其中当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，求函数的单调区间与极值.例11零点存在性定理应用函数假设函数(x)=f(x)，求函数(x)的单调区间；设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切例12最值问题，两边分求函数. 时，讨论的单调性；设当时，假设对任意，存在，使，求实数取值范围.例13二阶导转换函数假设，求的极大值；假设在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.例14综合技巧设函数讨论函数的单调性；假设有两个极值点，记过点的直线斜率为,问：是否存在，使得假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由.交点与根的分布例15切线交点函数在点处的切线方程为求函数的解析式；假设对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；假设过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围例16根的个数函数，函数是区间-1，1上的减函数.I求的最大值；II假设上恒成立，求t的取值范围；讨论关于x的方程的根的个数例17综合应用函数求f(x)在0,1上的极值；假设对任意成立，求实数a的取值范围；假设关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.不等式证明例18(变形构造法)函数，a为正常数假设，且a，求函数的单调增区间；在中当时，函数的图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：假设，且对任意的，都有，求a的取值范围例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)函数.1假设对任意的恒成立，求实数的取值范围；2当时，设函数，假设，求证例20绝对值处理函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值I求实数的取值范围；II假设方程恰好有两个不同的根，求的解析式；III对于II中的函数，对任意，求证：例21等价变形函数讨论函数在定义域内的极值点的个数；假设函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；当且时，试对比的大小例22前后问联系法证明不等式，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。I求直线的方程及m的值；II假设，求函数的最大值。III当时，求证：例23(整体把握，贯穿全题)函数1试判断函数的单调性；2设，求在上的最大值；3试证明：对任意，不等式都成立其中是自然对数的底数例24(化简为繁，统一变量)设,函数.假设，求曲线在处的切线方程；假设无零点,求实数的取值范围；假设有两个相异零点,求证: .例25导数与常见不等式综合函数，其中为正常数求函数在上的最大值；设数列满足：，1求数列的通项公式； 2证明：对任意的，；证明：例26利用前几问结论证明立体不等式函数f(x)=ex-ax(e为自然对数的底数).(I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意，都有不等式f(x) x + x2成立，求实数a的取值范围；(III)设,证明：+0时恒成立，求正整数k的最大值.例36创新题型设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()假设x=0是F(x)的极值点,求a的值；()当 a=1时,设P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且PQ/x轴,求P、Q两点间的最短距离；()假设x0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方,求实数a的取值范围例37创新题型函数=，.()求函数在区间上的值域；是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.假设存在，求出的取值范围；假设不存在，请说明理由；给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点其中总能使得成立，则称函数具备性质“，试判断函数是不是具备性质“，并说明理由.例38(图像分析，综合应用)函数，在区间上有最大值4，最小值1，设求的值；不等式在上恒成立，求实数的范围；方程有三个不同的实数解，求实数的范围导数与数列例39创新型问题设函数，是的一个极大值点(1)，求的取值范围；当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列其中=依次成等差数列?假设存在，求所有的及相应的；假设不存在，说明理由例40数列求和，导数结合给定函数(1)试求函数的单调减区间;(2)各项均为负的数列满足,求证:;(3)设,为数列的前项和,求证:.导数与曲线新题型例41形数转换函数, .(1)假设, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?假设存在,求出R的横坐标;假设不存在,请说明理由.例42全综合应用函数.(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由;(2)定义,其中,求;(3)在(2)的条件下,令,假设不等式对且恒成立,求实数的取值范围.导数与三角函数综合例43换元替代，消除三角设函数，其中当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的极大值和极小值；当，时，假设不等式对任意的恒成立,求的值。例44新题型，第7次晚课练习设函数.(1)讨论的单调性(2)设,求的取值范围.创新问题积累例45函数.I、求的极值. II、求证的图象是中心对称图形.III、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是?假设存在,求实数、的值；假设不存在，说明理由例46函数在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调递减1求a的值；2设，假设方程的解集恰好有3个元素，求的取值范围；3在2的条件下，是否存在实数对，使为偶函数如存在，求出如不存在，说明理由导数压轴题题型归纳参考答案例1 (1)解f(x)exln(xm)f(x)exf(0)e00m1，定义域为x|x1，f(x)ex，显然f(x)在(1,0上单调递减，在0，)上单调递增(2)证明g(x)exln(x2)，则g(x)ex(x2)h(x)g(x)ex(x2)h(x)ex0，所以h(x)是增函数，h(x)0至多只有一个实数根，又g()0，所以h(x)g(x)0的唯一实根在区间内，设g(x)0的根为t，则有g(t)et0，所以，ett2et，当x(2，t)时，g(x)g(t)0，g(x)单调递增；所以g(x)ming(t)etln(t2)t0，当m2时，有ln(xm)ln(x2)，所以f(x)exln(xm)exln(x2)g(x)g(x)min0.例2由得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分由知，设函数=，=，有题设可得0，即，令=0得，=，=2，1假设，则20，当时，0，当时， 0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而=0，当2时，0，即恒成立，(2)假设，则=，当2时，0，在(2,+)单调递增，而=0，当2时，0，即恒成立，(3)假设，则=0，当2时，不可能恒成立，综上所述，的取值范围为1,.例31 令得： 得：在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为2得当时，在上单调递增时，与矛盾当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为例4解由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。由知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，h(x)递减。而故当时，可得；当x1，+时，hx0从而当x0,且x1时，fx-+0，即fx+.ii设0k0,故 (x0,而h1=0，故当x1，时，hx0，可得hx0,而h1=0，故当x1，+时，hx0，可得 hx0时，假设x(lna，+)，得函数在(lna，+)上是增函数；假设x(-，lna)，得函数在(-，lna)上是减函数综上所述，当a0时，函数f (x)的单调递增区间是(-，+)；当a0时，函数f (x) 的单调递增区间是(lna，+)，单调递减区间是(-，lna)5分由题知：不等式ex-axx+x2对任意成立，即不等式对任意成立设(x2)，于是再设，得由x2，得，即在上单调递增，h(x)h(2)=e2-40，进而，g(x)在上单调递增，即实数a的取值范围是由知，当a=1时，函数f (x)在(-，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增f (x)f (0)=1，即ex-x1，整理得1+xex令(nN*，i=1，2，n-1)，则，即，显然，故不等式nN*成立 例27解:()又,所以,即又因为对一切实数恒成立,即对一切实数,不等式,恒成立. 显然,当时,不符合题意. 当时,应满足,可得,故. 所以()由于, .即: .由所以()证明:因为,所以要证不等式成立,即证. 因为, 所以.所以成立 例28解：当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故. 令， 则.函数在上可导，存在，使得.，当时，单调递增，当时，单调递减，；故对任意，都有. 用数学归纳法证明.当时，且，由得，即，当时，结论成立.假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令， 则，且.当时，结论也成立.综上由，对任意，结论恒成立.例29解：1当时，由，由故的单调减区间为单调增区间为2即对恒成立。令，则再令在上为减函数，于是从而，于是在上为增函数故要恒成立，只要即的最小值为3当时，函数单调递增；当时，函数 单调递减所以，函数当时，不合题意；当时， 故此时，当 变化时的变化情况如下：0+单调减最小值单调增对任意给定的，在区间上总存在两个不同的使得成立，当且仅当满足以下条件令令，得当时，函数单调递增当时，函数单调递减所以，对任意有即对任意恒成立。由式解得：综合可知，当在 使成立。例30解：1当用定义或导数证明单调性均可 2上恒成立.设上恒成立.可证单调增 故的取值范围为 3的定义域为当上单调增 故有两个不相等的正根m，n，当时，可证上是减函数.综上所述，a的取值范围为例31解:(1)因为为的极值点,所以即,解得又当时,从而为的极值点成立 (2)因为在区间上为增函数,所以在区间上恒成立 当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意 当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立令,其对称轴为,因为所以,从而在上恒成立,只要即可,因为,解得因为,所以.综上所述,的取值范围为(3)假设时,方程可化为.问题转化为在上有解,即求函数的值域 因为,令,则, 所以当时,从而在上为增函数,当时,从而在上为减函数, 因此.而,故,因此当时,取得最大值0例32解：当时，当，故函数在上是增函数，当，假设，在上非负仅当，x=1时，故函数在上是增函数，此时假设，当时,；当时，此时是减函数；当时，此时是增函数故假设，在上非正仅当，x=e时，故函数在上是减函数，此时不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而令，又，当时，从而仅当x=1时取等号，所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是例33解：1.2不等式，即，即.转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设，则。设，则，因为，有。故在区间上是减函数。又故存在，使得。当时，有，当时，有。从而在区间上递增，在区间上递减。又所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.例34解：1。函数在处与直线相切解得.当时，令得；令，得，上单调递增，在1，e上单调递减，.2当b=0时，假设不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即对所有的都成立，令为一次函数， .上单调递增，对所有的都成立.注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，请根据过程酌情给分例35解：1定义域2单调递减。当，令，故在1，0上是减函数，即，故此时在1，0和0，+上都是减函数3当x0时，恒成立，令又k为正整数，k的最大值不大于3下面证明当k=3时，恒成立当x0时恒成立令，则，当当取得最小值当x0时，恒成立，因此正整数k的最大值为3例36解：()F(x)= ex+sinxax,.因为x=0是F(x)的极值点,所以. 又当a=2时,假设x0,.x=0是F(x)的极小值点, a=2符合题意. ()a=1,且PQ/x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令当x0时恒成立.x0,+时,h(x)的最小值为h(0)=1.|PQ|min=1. ()令则.因为当x0时恒成立,所以函数S(x)在上单调递增, S(x)S(0)=0当x0,+时恒成立; 因此函数在上单调递增, 当x0,+时恒成立.当a2时,在0,+单调递增,即.故a2时F(x)F(x)恒成立. 例37解：()在区间上单调递增，在区间上单调递减,且 的值域为令，则由()可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 当时,在区间上递减，不合题意 当时,在区间上单调递增，不合题意当时,在区间上单调递减，不合题意当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0而由可得，则综上，满足条件的不存在。设函数具备性质“，即在点处的切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，故有即，令，则上式化为，令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“.例38解:(1)当时，上为增函数故当上为减函数故即. .方程化为，令，记方程化为，令，则方程化为方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、，且或，记则或例39解：时，令，设是的两个根，1当或时，则不是极值点，不合题意；2当且时，由于是的极大值点，故，即，()解：，令，于是，假设是的两个实根，且由可知，必有，且是的三个极值点，则，假设存在及满足题意，1当等差时，即时，则或，于是，即此时或2当时，则或假设，则，于是，即两边平方得，于是，此时，此时=假设，则，于是，即两边平方得，于是，此时此时综上所述，存在b满足题意，当b=a3时，时，时，.例40 (1) 的定义域为 (此处不写定义域,结果正确不扣分) 由得或单调减区间为和 (答案写成(0,2)扣1分;不写区间形式扣1分)(2)由可得, 当时,两式相减得或当时,假设,则这与题设矛盾 于是,待证不等式即为.为此,我们考虑证明不等式令则,再令, 由知当时,单调递增 于是即 令, 由知当时,单调递增 于是即 来源:Z#xx#k.Com由.可知所以,即(3)由(2)可知 则来源:Z*xx*k.Com在中令n=1,2,3.2010,2011并将各式相加得即 例41解:(1)依题意:在(0,+)上是增函数,对x(0,+)恒成立, (2)设当t=1时,ym I n=b+1; 当t=2时,ym I n=4+2b 当的最小值为(3)设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则设 这与矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 例42 (1)假设存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上,则函数图像的对称中心为.由,得,即对恒成立,所以解得所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上.(2)由(1)得.令,则.因为,所以,由+得,所以.所以.(3)由(2)得,所以.因为当且时,.所以当且时,不等式恒成立.设,则.当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.因为,所以,所以当且时,.由,得,解得.所以实数的取值范围是.例43解：当时，得，且，所以，曲线在点处的切线方程是，整理得解：令，解得或由于，以下分两种情况讨论1假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且2假设，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且证明：由，得，当时，由知，在上是减函数，要使，只要，即设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立解:.例44 ()因为,所以.当时,在上为单调递增函数;当时,在上为单调递减函数;当时,由得,由得或;由得；所以当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数.()因为当时,恒成立当时,令,则又令,则则当时,故,单调递减当时,故,单调递增所以在时有最小值,而,综上可知时,故在区间单调递所以 ,故所求的取值范围为.另解:由恒成立可得,令,则,当时,当时,又,所以,即故当时,有当时,所以当时,综上可知故所求的取值范围为.例45(I).注意到,得，解得或.当变化时，的变化情况如下表：+0增极大值减减极小值增所以是的一个极大值, 是的一个极大值.(II)点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.设为的图象上一点,关于的对称点是.也在的图象上,因而的图象是中心对称图形.(III) 假设存在实数、.,或.假设, 当时,而.故此时的取值范围是不可能是.假设,当时,而.故此时的取值范围是不可能是.假设,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解.故此时的取值范围是不可能是.综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.例46解：1，由在上的值为正，在上的值为负故是方程之根，2由有三个相异实根，故方程有两个相异的非零根且.3为偶函数，由2知