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课时作业(七)一、选择题1函数yx21(x0)的反函数是()Ay(x1)By(x1)Cy(x0) Dy(x0)答案B解析x0，x，且y1，f1(x)(x1)，故选B.2(08北京卷)“函数f(x)(xR)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析存在反函数的条件是一一对应，f(x)是R上的增函数，则必是一一对应，而一一对应的函数未必是增函数，如f(x).故选B.3(2020全国卷，文)函数y1ln(x1)(x1)的反函数是()Ayex11(x0) Byex11(x0)Cyex11(xR) Dyex11(xR)答案D解析由y1ln (x1)(x1)，得ey1x1，即xey11，故所求反函数为yex11(xR)4点(p，q)在函数yf(x)的图象上，则下列各点中必在其反函数图象上的是()A(p，f1(p)B(f1(q)，q)C(f1(p)，p) D(q，f1(q)答案D5(09上海春季高考)函数y1(1x0)的反函数的图象是()答案C解析由1x0得y11,2，因此函数y1(1x0)的反函数的定义域是1,2，值域是1,0，结合所给选项可知选C.(注：也可先求出该函数的反函数，然后结合选项确定答案)6(2020江西卷，文)若函数y的图象关于直线yx对称，则a为()A1 B1C1 D任意实数答案B解析若函数yf(x)的图象关于直线yx对称，则f(x)f1(x)，易求得f1(x)，故a1.7函数y的反函数()A是奇函数，它在(0，)上是减函数B是偶函数，它在(0，)上是减函数C是奇函数，它在(0，)上是增函数D是偶函数，它在(0，)上是增函数答案C解析函数与其反函数有相同的单调性和奇偶性，因此只须考查函数y的奇偶性与单调性，易知此函数是奇函数，且在(0，)上是增函数，应选C.8已知方程f(x)3x仅有一解x1，方程f1(x)3x仅有一解x2，则x1x2的值为()A2 B3C4 D5答案B解析f(x)与y3x的交点为(x1,3x1)则f1(x)与y3x的交点为(3x1，x1)而由条件知f1(x)与y3x交点为(x2,3x2)，因此x23x1，故x1x23.二、填空题9(09全国卷改编)已知函数f(x)的反函数为g(x)12lgx(x0)，求f(1)g(1)_.答案2解析令12lgx1，得x1，f(1)1.又g(1)12lg11，f(1)g(1)2.10设函数y4log2(x1)(x3)，则其反函数的定义域为_答案5，)解析x3，x12，log2(x1)1，y4log2(x1)5.11(08上海)若函数f(x)的反函数为f1(x)x2(x0)，则f(4)_.答案2解析设x24，由x0得x2，由f(x)与f1(x)的关系知f(4)2.三、解答题12给定实数a0且a1，设函数y(xR且x)，求证：(1)这个函数的图象自身关于直线yx对称；(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴思路点拨(1)只要证明函数f(x)f1(x)即可；对于(2)设x1x2，只要证明y1y2就说明经过任意两点的直线都不平行于x轴解析(1)由y，得(ax1)yx1，解得x，y.所以函数y(x)的反函数为y(x)故函数的图象关于直线yx对称(2)设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是函数图象上任意两个不同点，则x1x2，于是y1y2.因为x1x2，a1，(ax11)(ax21)0，所以y1y2.因此经过图象上任意两点所在直线不平行于x轴13(2020上海春季高考)已知函数f(x)loga(82x)(a0，且a1)(1)若函数f(x)反函数是其本身，求a的值；(2)当a1时，求函数yf(x)f(x)的最大值解析(1)函数f(x)的反函数f1(x)log2(8ax)，由题意可得loga(82x)log2(8ax)，a2.(2)由题意可知82x0，解得x3则yf(x)f(x)的定义域为(3,3)f(x)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x)2x2x2，当x0时，等号成立01时，函数yf(x)f(x)在x0处取得最大值loga49.
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