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课时作业(五十九)一、选择题1过正四棱柱底面一边的截面是()A正方形B菱形C矩形 D非矩形、非菱形的平行四边形答案C解析由面面平行的性质定理，可证得截面是平行四边形，由线面垂直的性质，又可证得一个角为直角，故截面为矩形2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A0 B8C奥 D运答案B3一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A必然都是非直角三角形B至多只能有一个是直角三角形C至多只能有两个是直角三角形D可能都是直角三角形答案D解析例如三棱锥PABC中，若PA面ABC，ABC90，则四个侧面均为直角三角形4(2020福建卷，理)如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面FEGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中正确的是()AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱形D是棱台答案D解析根据棱台的定义(侧棱延长之后，必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)因此，几何体不是棱台，应选D.5若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于()A. B2C3 D4答案B解析如图，由题意可得AA1C1AA1B160，AA1A1B1B1C1A1C12.所以过点A作AO平面A1B1C1，则O在B1A1C1的平分线上过O作OEA1B1，连结A1O，AE，易证cosAA1EcosAA1OcosOA1E，即cosAA1O，AO，V棱柱Sh42.二、填空题6在三棱锥PABC中，给出下列四个命题：如果PABC，PBAC，那么点P在平面ABC内的射影是ABC的垂心；如果点P到ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是ABC的内心；如果棱PA和BC所成的角为60，PABC2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF1；如果三棱锥PABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于.其中正确命题的序号是_答案解析利用三垂线定理及其逆定理可证明；点P在平面ABC内的射影也可能是ABC的旁心；EF1或；三棱锥PABC沿一组对棱的公垂线投影到一个平面上时，它的射影的面积取得最大值.7正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的距离为_答案解析设点A到侧面PBC的距离是h，作PO平面ABC于点O，连接AO，则O是ABC的中点，PAO45，POAO2，PA2，由2AO4，AB2，由VPABCVAPBC得SABCPOSPBCh，即(2)222h，由此解得h，即点A到侧面PBC的距离是.8如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.若二面角CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为_答案9已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于_答案解析底面正方形面积S(2)212，底面边长a，高h，二面角的余切值tan.代入数据，得：tan.又必为锐角，所以.三、解答题10(09陕西)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，ACAA1，ABC60.()证明：ABA1C；()求二面角AA1CB的大小解析解法一()三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1.在ABC中，AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C.()如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD，在RtBAD中，tanADB，ADBarctan，即二面角AA1CB的大小为arctan.解法二()三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AA1AB，AA1AC.在ABC中，AB1，AC，ABC60，由正弦定理得ACB30，BAC90，即ABAC.故建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，1000()0，ABA1C.()可取m(1,0,0)为平面AA1C的一个法向量，设平面A1BC的一个法向量为n(l，m，n)，则n0，n0，又(1，0)，lm，nm.不妨取m1，则n(，1,1)则cos，二面角AA1CB的大小为arccos.11如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形，ACC1为锐角，侧面ABB1A1侧面AA1C1C，且A1BABAC1.(1)求证：AA1BC1；(2)求三棱锥A1ABC的体积解析(1)因为四边形AA1C1C是菱形，所以有AA1A1C1C1CCA1，从而知AA1B是等边三角形设D是AA1的中点，连结BD，C1D，则BDAA1，由S菱形AA1C1C，知C1到AA1的距离为.AA1C160，所以AA1C1是等边三角形，且C1DAA1，所以AA1平面BC1D.又BC1平面BC1D，故AA1BC1.(2)由(1)知BDAA1，又侧面ABB1A1侧面AA1C1C，所以BD平面AA1C1C，即B到平面AA1C1C的距离为BD.又SAA1CS菱形AA1C1C，BD.所以VA1ABCVBAA1CSAA1CBD.由三棱锥A1ABC的体积为.12如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA4，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角APCD的大小解析解法一(1)证明PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又tanABD，tanBAC.ABD30，BAC60，AEB90，即BDAC，又PAACA，BD平面PAC.(2)过E作EFPC，垂足为F，连结DF.DE平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PCDF，EFD为二面角APCD的平面角又DAC90BAC30，DEADsinDAC1，AEABsinABE，又AC4，EC3，PC8.由RtEFCRtPAC得EF，在RtEFD中，tanEFD，EFDarctan.二面角APCD的大小为arctan.解法二(1)证明如图，建立坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,4)，(0,0,4)，(2，6,0)，(2，2,0)0，0，BDAP，BDAC，又PAACA，BD平面PAC.(2)设平面PCD的法向量为n(x，y,1)，则n0，n0.又(2，4,0)，(0,2，4)，解得n(，2,1)平面PAC的法向量取为m(2，2,0)，cosm，n.二面角APCD的大小为arccos.13(2020山东卷，理)如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积解析(1)证明：在ABC中，因为ABC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458，因此AC2，故BC2AC2AB2所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一：因为PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin ，又0，所以.解法二：由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2，又AC2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)，因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所以D(，2，0)因此C(0，2，2)，C(，0,0)，设m(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则mC0，mC0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)，又B(2，0,2)，设表示向量B与平面PCD的法向量m所成的角，则cos ，所以，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形，因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四边形ACDE3.又PA平面ABCDE，所以VPACDE322.14(2020江西卷)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离解析解法一：取CD中点O，连接OB，OM，则OBOM，OBCD，MOCD.又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD，所以MOAB，MO平面ABC.M，O到平面ABC的距离相等作OHBC于H，连接MH，则MHBC.求得OHOCsin60，MH .设点A到平面MBC的距离为d，由VAMBCVMABC得SMBCdSABCOH.即2d22，解得d.解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图OBOM，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)设n(x，y，z)是平面MBC的一个法向量，则(1，0)，(0，)由n得xy0，由n得yz0.取n(，1,1).(0,0,2)，则d.
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