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绝密启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,包含填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)。本卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。参考公式: 样本数据的方差 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1.若复数其中是虚数单位,则复数的实部为 。【解析】考查复数的减法、乘法运算,以及实部的概念。 -202.已知向量和向量的夹角为,则向量和向量的数量积= 。【解析】 考查数量积的运算。 3.函数的单调减区间为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。,由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。4.函数(为常数,)在闭区间上的图象如图所示,则= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。 ,所以, 5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2。6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表: 学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为= . 【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小,数据的平均值为7,故方差 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 . 【解析】 考查读懂算法的流程图的能力。228.在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 考查类比的方法。体积比为1:8 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 9.在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . 【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,又点P在第二象限内,点P的坐标为(-2,15)10.已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 . 【解析】考查指数函数的单调性。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ,函数在R上递减。由得:m0,得:讨论得:当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.数学(附加题)参考公式:21.选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修4 - 1:几何证明选讲如图,在四边形ABCD中,ABCBAD.求证:ABCD.【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查推理论证能力。满分10分。证明:由ABCBAD得ACB=BDA,故A、B、C、D四点共圆,从而CBA=CDB。再由ABCBAD得CAB=DBA。因此DBA=CDB,所以ABCD。B. 选修4 - 2:矩阵与变换求矩阵的逆矩阵.【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解能力。满分10分。解:设矩阵A的逆矩阵为则即故解得:,从而A的逆矩阵为.C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为(为参数,).求曲线C的普通方程。【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识,考查转化问题的能力。满分10分。解:因为所以故曲线C的普通方程为:.D. 选修4 - 5:不等式选讲 设0,求证:.【解析】 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形能力。满分10分。证明:因为0,所以0,0,从而0,即.必做题第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在轴上。(1)求抛物线C的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为,求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。满分10分。 23. (本题满分10分)对于正整数2,用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数,其中(和可以相等);对于随机选取的(和可以相等),记为关于的一元二次方程有实数根的概率。(1)求和;(2)求证:对任意正整数2,有.【解析】 必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分10分。
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