山东省德州市武城二中高三上学期第四次月考数学试卷理科解析版

2015-2016学年山东省德州市武城二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题1集合A=x|x2a0，B=x|x2，若CRAB，则实数a的取值范围是（）A（，4B0，4C（，4）D（0，4）2已知命题p：x0（，0），34；命题q：x（0，），tanxx，则下列命题中真命题是（）ApqBp（q）Cp（q）D（P）q3已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）A B+C2D24已知定义在R上的函数f（x）=log2（axb+1）（a0，a1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A0a1b11B0b1a1C0ba11D0a1b15已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，若，b=2，cos2（A+B）=0，则c=（）ABC或D6已知0a1，x=loga+loga，y=loga5，z=logaloga，则（）AxyzBzyxCyxzDzxy7已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（）A若f（x1）=f（x2），则x1+x2=kBf（x）的图象关于点对称Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）的图象向右平移个单位长度后得的图象8如图所示，积木拼盘由A、B、C、D、E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是（）A780B840C900D9609已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则|OM|的取值范围是（）A（0，2）B（0，4）C（2，4）D（4，9）10定义区间x1，x2长度为x2x1，（x2x1），已知函数f（x）= （aR，a0）的定义域与值域都是m，n，则区间m，n取最大长度时a的值为（）ABa1或a3Ca1D3二、填空题11已知，则二项式的展开式中常数项为12已知变量x，y满足约束条件，则z=x2+y2的取值范围为13若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则不等式g（x）5的解集为14设a1，b1，若ab=e2，则s=blna2e的最大值为15在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线现有如下几个命题：如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；存在恰有一个完美点的完美直线；完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）三、解答题16已知向量，函数（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，其中A为锐角，c=4，且f（A）=1，求ABC的面积S17将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；（2）求空盒的个数的分布列和数学期望E（）18已知数列an中，a1=0，其前n项和Sn满足（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前2n项和T2n19已知函数f（x）=，其中aR（）若a=0，求函数f（x）的极值；（）当a1时，试确定函数f（x）的单调区间20已知函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，且f（x）与g（x）在x=0处有相同的切线（1）求函数f（x）的解析式，并讨论f（x）在t，t+1（tR）上的最小值；（2）若对任意的x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围21设动圆C与圆：（x2）2+y2=1外切，与直线x=1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若曲线E与C的轨迹关于直线y=x对称，求两曲线围成封闭图形的面积；（3）过点F（0，2）任作一直线l交曲线E于A，B两点，是否存在一直线使以A，B为切点的切线的焦点总在此直线上，若存在，求此直线方程；若不存在，说明理由2015-2016学年山东省德州市武城二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1集合A=x|x2a0，B=x|x2，若CRAB，则实数a的取值范围是（）A（，4B0，4C（，4）D（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用【分析】根据集合的补集关系进行求解即可【解答】解：A=x|x2a0=x|x2a，CRA=x|x2a，若a0，则CRA=，满足CRAB，若a0，则CRA=x|x2a=x|x，若CRAB，则2，解得0a4，综上a4，故选：A2已知命题p：x0（，0），34；命题q：x（0，），tanxx，则下列命题中真命题是（）ApqBp（q）Cp（q）D（P）q【考点】复合命题的真假【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断【解答】解：命题p：x0（，0），34为假命题，则p为真命题，命题q：x（0，），tanxx，为真命题，则q为假命题，根据复合命题真假判定，（p）q是真命题，故D正确pq，p（q）、p（q）是假命题，故A、B、C错误故选：D3已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（）A B+C2D2【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】如图，计算即可【解答】解：2+=，点A、B、C共线，且A为BC中点，则点O的位置有5种情况，如图：（1），；（2）=+2（）=；（3）=+2（）=；（4）=+2（）=；（5）=+2（）=；故选：C4已知定义在R上的函数f（x）=log2（axb+1）（a0，a1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A0a1b11B0b1a1C0ba11D0a1b1【考点】对数函数的图象与性质【分析】由图可知，a1，f（0）=log2（1b+1），故0log2（1b+1）1，log2（a1b+1）0，从而解得【解答】解：由图可知，a1，f（0）=log2（1b+1），故0log2（1b+1）1，即0b1，log2（a1b+1）0，即a1b，故选D5已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，若，b=2，cos2（A+B）=0，则c=（）ABC或D【考点】余弦定理；三角函数的化简求值【分析】由已知及三角形内角和定理，诱导公式可求cos2C=0，结合范围2C（0，2），可求C=或，由余弦定理可解得c的值【解答】解：cos2（A+B）=cos2（C）=cos（22C）=cos2C=0，2C（0，2），2C=，或，解得：C=或，可求cosC=或由余弦定理可得：c=，或故选：C6已知0a1，x=loga+loga，y=loga5，z=logaloga，则（）AxyzBzyxCyxzDzxy【考点】对数值大小的比较【分析】先化简x、y、z然后利用对数函数的单调性，比较大小即可【解答】解：x=loga+loga=loga，y=loga5=loga，z=logaloga=loga，0a1，又，logalogaloga，即yxz故选 C7已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（）A若f（x1）=f（x2），则x1+x2=kBf（x）的图象关于点对称Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）的图象向右平移个单位长度后得的图象【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】将函数进行化简，利用三角函数的性质对下列各选项进行考查即可得到答案【解答】解：函数f（x）=cos2x+2sinxcosx化简得：f（x）=sin（2x）函数f（x）的周期为，若f（x1）=f（x2），则x1+x2=k，故A不对函数f（x）的图象对称坐标点（，0）（kZ），经考查坐标点不是对称点，故B不对函数f（x）的图象对称轴x=，（kZ），当k=1时，对称轴，故C对函数f（x）的图象向右平移个单位得： sin2（x）+=sin（2x），故D不对故选：C8如图所示，积木拼盘由A、B、C、D、E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是（）A780B840C900D960【考点】排列、组合的实际应用【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有4种涂法，E有4种涂法，根据乘法原理可得结论【解答】解：先涂A，则A有5种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有4种涂法，同理C有3种涂法，D有4种涂法，E有4种涂法，由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为54344=960，故选：D9已知点P是椭圆上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，则|OM|的取值范围是（）A（0，2）B（0，4）C（2，4）D（4，9）【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意作图，从而可知|OM|=|F2N|，从而解得【解答】解：由题意作图如下，结合图象可知，点M是F1PF2的角平分线上的一点，且F1MMP，点M是F1N的中点，又点O是F1F2的中点，|OM|=|F2N|，0|F2N|8，0|OM|4故选：B10定义区间x1，x2长度为x2x1，（x2x1），已知函数f（x）= （aR，a0）的定义域与值域都是m，n，则区间m，n取最大长度时a的值为（）ABa1或a3Ca1D3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【分析】得出，故m，n是方程）=x的同号的相异实数根，即a2x2（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根得出mn=，只需=a2（a+3）（a1）0，a1或a3，利用函数求解nm=，nm取最大值为此时a=3，【解答】解：设m，n是已知函数定义域的子集x0，m，n（，0）或m，n（0，+），故函数f（x）=在m，n上单调递增，则，故m，n是方程）=x的同号的相异实数根，即a2x2（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根mn=m，n同号，只需=a2（a+3）（a1）0，a1或a3，nm=，nm取最大值为此时a=3，故选：D二、填空题11已知，则二项式的展开式中常数项为40【考点】二项式系数的性质；定积分【分析】由定积分公式计算出a=2，求得（ax）5的通项公式，化简整理，讨论r=2，3即可得到所求常数项【解答】解： =lnx|=lne2ln1=2，（ax）5的通项公式为Tr+1=（2x）5r（）r=25rx52r（1）r，r=0，1，2，5由题意可得52r=1，即r=2，可得T3=23x=80x，当52r=1，即r=3，可得T4=22x=40x，则二项式的展开式中常数项为8040=40故答案为：4012已知变量x，y满足约束条件，则z=x2+y2的取值范围为【考点】简单线性规划【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【解答】解：画出的可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=x2+y2的几何意义是可行域内的点到坐标原点距离的平方由图形可知仅在点（3，0）取得最大值，z=9由图知，原点到直线x+3y3=0的距离最小，d=，可得z=x2+y2=d2=则z=x2+y2的取值范围为：，9故答案为：，913若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x1|+|x+a|有相同的最小值，则不等式g（x）5的解集为（，32，+）【考点】函数的最值及其几何意义【分析】通过配方可知f（x）的最小值为2a1，进而可知g（x）在x=1或x=a取得最小值，且2a10，通过计算g（1）=2a1、g（a）=2a1，求出a的值，再解不等式即可【解答】解：f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a1，f（x）的最小值为2a1，由题意知g（x）在x=1或x=a取得最小值，且2a10，将x=1或x=a代入g（x），解得：a=2，g（x）=|x1|+|x+2|=g（x）5，或，解得x2或x3，故不等式的解集为（，32，+），故答案为：（，32，+）14设a1，b1，若ab=e2，则s=blna2e的最大值为e【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由ab=e2，得lna+lnb=2为定值，令t=blna，可得lnt=lnalnb=1，仅当a=b=e时等号成立，即可求出s=blna2e的最大值【解答】解：a1，b1，lna0，lnb0，由ab=e2，得lna+lnb=2为定值，令t=blna，、lnt=lnalnb=1仅当a=b=e时等号成立，lnt1，te，s=blna2ee，即s=blna2e的最大值为e故答案为：e15在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线现有如下几个命题：如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；存在恰有一个完美点的完美直线；完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】不正确，如果取k=，b=，那么直线y=x+经过完美点（1，0），是完美直线；由知当k=b=时，k与b均为无理数，但是直线y=x+是完美直线，即可判断出正误；设直线方程为y=x，只经过了一个完美点（0，0），即可判断出正误；，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线l过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），可得（x1x2，y1y2）也在完美直线y=kx上，且（x1x2，y1y2）也为完美点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点【解答】解：对于，如果取k=，b=，那么直线y=x+经过完美点（1，0），是完美直线，所以错误；对于，由知当k=b=时，k与b均为无理数，但是直线y=x+是完美直线，所以错误；对于，设直线方程为y=x，只经过了一个完美点（0，0），所以正确；对于，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线l过不同的完美点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入完美直线l的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1y2=k（x1x2），则（x1x2，y1y2）也在完美直线y=kx上，且（x1x2，y1y2）也为完美点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个完美点，所以正确故答案为：三、解答题16已知向量，函数（1）求函数f（x）在上的最值；（2）若a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，其中A为锐角，c=4，且f（A）=1，求ABC的面积S【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（1）计算向量的数量积，利用二倍角两角和的正弦函数化简函数f（x）的表达式，得到一个角的一个三角函数的形式；借助正弦函数的最值，求出函数f（x）在上的最值；（2）由f（A）=sin（2A）=1，又A为锐角，即可解得A，从而由正弦定理解得C=，可得ABC为Rt，即可求得b，由三角形面积公式即可得解【解答】解：（1）=当时，结合正弦函数的图象知，当，即x=0时，函数f（x）取得最小值，且最小值为；当，即时，函数f（x）取得最大值，且最大值为1所以函数f（x）在上的最大值为1，最小值为；（2）由（1）知因为，所以，由a2=b2+c22bccosA，得，即b24b+4=0，解得b=2故17将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中（每个盒子足够大）（1）求编号为1的盒子为空盒的概率；（2）求空盒的个数的分布列和数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有44种放法，设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有34种放法，由此能求出编号为1的盒子为空盒的概率（2）空盒的个数的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出空盒的个数的分布列和数学期望E（）【解答】解：（1）将四个不同颜色的乒乓球随机放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，由分步剩法计数原理知共有44=256种放法，设事件A表示“编号为1的盒子为空盒”，则四个乒乓球可以随机放入编号为2，3，4的三个盒子中，共有34=81种放法，故编号为1的盒子为空盒的概率为（2）空盒的个数的所有可能取值为0，1，2，3，则，（或），所以的分布列为0123P的数学期望为18已知数列an中，a1=0，其前n项和Sn满足（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前2n项和T2n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出（2）利用分组求和、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1），得，an+1=（n+1）an+1nan+n，an+1an=1，an=0+（n1）（1）=1n（2）由（1）知，T2n=b1+b2+b3+b2n=120+322+524+（2n1）222n+ =，设A=120+322+524+（2n1）222n，则22A=122+324+526+（2n3）222n+（2n1）22n，两式相减得，整理得，19已知函数f（x）=，其中aR（）若a=0，求函数f（x）的极值；（）当a1时，试确定函数f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）利用导数求极值；（）利用导数求函数的单调区间【解答】解：（）由a=0得f（x）=，f（x）=由f（x）=0得x=0，又x0时，f（x）0；x0时，f（x）0x=0时，f（x）有极小值为（）当a1时，f（x）=f（x）=0的两根为0，当1a2时，由f（x）0得x或x0，故f（x）的递增区间为（，），（0，+）由f（x）0得x0，故f（x）的递减区间为（，0）；当a2时，由f（x）0得x或x0，故f（x）的递增区间为（，+），（，0）由f（x）0得0x，故f（x）的递减区间为（0，）；20已知函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828），g（x）=x2+bx+2，且f（x）与g（x）在x=0处有相同的切线（1）求函数f（x）的解析式，并讨论f（x）在t，t+1（tR）上的最小值；（2）若对任意的x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出两个函数的导函数，利用f（x）与g（x）在x=0处有相同的切线，可得f（0）=g（0），且f（0）=g（0），联立求得a，b的值，则函数解析式可求，求出函数的单调区间，然后对t分类求得f（x）在t，t+1（tR）上的最小值；（2）由对任意的x2，kf（x）g（x）恒成立，得2kex（x+1）x2+4x+2，分x=1、2x1、x1，分离参数k，然后构造函数，由导数求出函数的最值得答案【解答】解：（1）由f（x）=aex（x+1），g（x）=x2+bx+2，得f（x）=aex（x+2），g（x）=2x+b两函数在x=0处有相同的切线，又f（0）=2a，g（0）=b，2a=b，f（0）=a=g（0）=2，解得：a=2，b=4f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2f（x）=2ex（x+2），由f（x）0，得x2，由f（x）0，得x2，f（x）在（2，+）上单调递增，在（，2）上单调递减当t+12，即t3时，f（x）在t，t+1上单调递减，；当，即3t2时，f（x）在t，2上单调递减，在（2，t+1上单调递增，；当t2时，f（x）在t，t+1上单调递增，；（2）若对任意的x2，kf（x）g（x）恒成立，即2kex（x+1）x2+4x+2（*）对任意的x2恒成立（i）当x=1时，上式化为01，显然对任意的实数k恒成立（ii）当2x1时，（*）式化为，对任意的2x1恒成立令，则，当2x1时，h（x）0，h（x）在2，1）上单调递增，此时，ke2（iii）当x1时，（*）式化为，对任意的x1恒成立由（ii）知h（x）在（1，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，此时h（x）max=h（0）=1，k1综上，实数k的取值范围为1，e221设动圆C与圆：（x2）2+y2=1外切，与直线x=1相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若曲线E与C的轨迹关于直线y=x对称，求两曲线围成封闭图形的面积；（3）过点F（0，2）任作一直线l交曲线E于A，B两点，是否存在一直线使以A，B为切点的切线的焦点总在此直线上，若存在，求此直线方程；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）由圆（x2）2+y2=1可得：圆心F（2，0），半径r=1设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM直线l：x+1=0，M为垂足可得：|PF|r=|PM|，即|PF|=|PM|+1因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=2的距离相等的点的集合由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线求出即可（2）求出A的坐标，利用定积分求两曲线围成封闭图形的面积；（3）设直线l的方程与抛物线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出交点坐标，即可得出结论【解答】解：（1）由圆（x2）2+y2=1可得：圆心F（2，0），半径r=1设所求动圆圆心为P（x，y），过点P作PM直线l：x+1=0，M为垂足则|PF|r=|PM|，可得|PF|=|PM|+1因此可得：点P的轨迹是到定点F（2，0）的距离和到直线L：x=2的距离相等的点的集合由抛物线的定义可知：点P的轨迹是抛物线，定点F（2，0）为焦点，定直线L：x=2是准线抛物线的方程为：y2=8x与圆（x2）2+y2=1外切，且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x；（2）曲线E的方程为x2=8y，与y2=8x联立可得A（8，8），两曲线围成封闭图形的面积为=（）=；（3）由题意，设直线L的方程为y=kx+2，A（x1，y1）B（x2，y2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x28kx16=0x1x2=16，x1+x2=8k抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）解得两条切线的交点M的坐标为（，2）曲线E在A，B两点处的切线的交点总在直线y=2上2016年11月10日