2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第4讲 数列求和与综合问题学案 文

2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第4讲 数列求和与综合问题学案 文热点题型真题统计命题规律题型1：数列中an与Sn的关系2017全国卷T171.主要以解答题的形式考查.2.重点考查裂项相消法求和及数列中an与Sn的关系.题型2：裂项相消法求和2017全国卷T17题型3：错位相减法求和2014全国卷T17题型1数列中an与Sn的关系核心知识储备数列an中，an与Sn的关系：an高考考法示例角度一已知Sn的关系式求an【例11】(1)已知数列an的前n项和Sn2，则an_.(2)已知数列an的前n项和Sn2n23nk，则an_.(1)(2)(1)当n1时，a1S121.当n2时，anSnSn1，a11也适合上式，从而an.(2)当n1时，a1S1k1，当n2时，anSnSn1(2n23nk)2(n1)23(n1)k4n5.因此an.角度二已知Sn与an的关系求an【例12】(1)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则an_.(2)(2018成都模拟)数列an满足a1n2(nN*)，则数列an的通项公式an_.(1)3n1(2)2n3n2(1)由解得a11，a23，当n2时，由已知可得：an12Sn1，an2Sn11，得an1an2an，an13an.又a23a1，an是首项为1，公比为3的等比数列an3n1.(2)当n1时，a11，当n2时，由a1n2得a1(n1)2，两式相减得2n1，所以an2n3n2.又a11满足上式，所以an2n3n2.方法归纳由an与Sn的关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n1和n2两种情况讨论，特别注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an，当n1时，a1也适合，则需统一表示(“合写”).(3)由SnSn1an推得an，当n1时，a1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an.对点即时训练1(2018中原名校模拟)记数列an的前n项和为Sn，若Sn3an1，则a10()ABC.D.A由Sn3an1，得S n13an11，得an13an13an，得an1an，又a13a11，所以a1，故数列an是以为首项，为公比的等比数列，所以ann1，故a109.故选A.2(2018沈阳模拟)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.题型2裂项相消法求和核心知识储备1裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和2常见的裂项类型(1)；(2)；(3)()高考考法示例【例2】(2018大连模拟)已知数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足b11，b2，若nN*时，anbn1bn1nbn.(1)求bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和Sn.解(1)因为anbn1bn1nbn，当n1时a1b2b2b1.因为b11，b2，所以a13，又因为an是公差为2的等差数列，所以an2n1，则(2n1)bn1bn1nbn.化简，得2bn1bn，即，所以数列bn是以1为首项，以为公比的等比数列，所以bnn1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn，所以Snc1c2c3cn.(教师备选)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，所以an1an2.又由a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.方法归纳1裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式an拆分成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件2消项时要注意消去了哪些项，保留了哪些项，一般是前边剩几项，后边就剩几项对点即时训练已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.题型3错位相减法求和核心知识储备1错位相减法适用于由一个等差数列an和一个等比数列bn对应项的乘积构成的数列anbn的求和2设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则 Sna1b1a2b2a3b3anbn，qSna1b2a2b3an1bnanbn1，因此(1q)Sna1b1d(b2b3b4bn)anbn1.高考考法示例【例3】(2018青岛模拟)在公差不为0的等差数列an中，aa3a6，且a3为a1与a11的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan2an，求数列bn的前n项和Tn.思路点拨(1)(2)解(1)设数列an的公差为d，因为aa3a6，所以(a1d)2a12da15d因为aa1a11，即(a12d)2a1(a110d)因为d0，由解得a12，d3，所以数列an的通项公式为an3n1.(2)bnan2an(3n1)23n1，所以Tn222525828(3n4)23n4(3n1)23n18Tn225528(3n4)23n1(3n1)23n2得7Tn222325328323n1(3n1)23n2，所以Tn23n2，所以数列bn的前n项和Tn.方法归纳用错位相减法求和时应注意的问题1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式3应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况进行讨论，这在以前的高考中经常考查对点即时训练已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn.求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d，由，即，可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1，又Tnc1c2c3cn，得Tn3222323424(n1)2n1，2Tn3223324425(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234(n1)2n23n2n2所以Tn3n2n2.1(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 _.设等差数列an的公差为d，则由得Snn11，2. 22.2(2017全国卷 )设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an.(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn.一、数列中的数学文化【例1】(1)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长3尺莞生长1日，长1尺蒲的生长速度逐日减半，莞的生长速度逐日增加1倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 ()(结果保留一位小数，参考数据：lg 20.30，lg 30.48)A1.3日B1.5日C2.6日 D2.8日(2)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”在这个问题中，第5天应发大米 ()A894升 B1 170升C1 275升 D1 467升思路点拨(1)设所需的时间为n，依题意构造等比数列，利用等比数列的前n项和公式，即可得到关于n的方程，解方程，即可求出n的值(2)每天派出的人数组成等差数列，第5天应发大米的人数是这5天派出的总人数，因此只需算出这5天派出的总人数即可解析(1)设蒲的长度组成的等比数列an(a13，公比为)的前n项和为An，莞的长度组成的等比数列bn(b11，公比为2)的前n项和为Bn，则An6，Bn2n1.依题意得62n1，所以2n7，解得2n6或2n1(舍去)，所以n12.6，所以所需时间约为2.6日，故选C.(2)由题意知，每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5647390，所以第5天应发大米39031 170升，故选B.答案(1)C(2)B体会领悟以数学文化为背景的数列题是近几年高考的热点，本例中两个题均以我国古代数学著作中的问题为背景命制的有关等比(差)数列的前n项和的问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养，体现了应用性和创新性.破解此类题的关键是褪去数学文化的背景，将其转化为常规的数学问题进行求解.二、数列与其他知识的交汇创新预测1：与数列有关的新定义问题【例2】如果一个数列的每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a13，公和为4，那么数列an的前25项和S25的值为_解析由题意知，anan14，且a13，所以a1a24，得a21，a33，a41，a241，a253，即数列an是周期为2的数列，所以S25(31)(31)(31)3124351.答案51预测2：数列与函数、平面向量交汇【例3】(1)对于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表： x123456789y375961824数列xn满足：x11，且对于任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x2 018()A7 564 B7 549C7 546 D7 539(2)设数列an满足a2a410，点Pn(n，an)对任意的nN*，都有向量PnPn1(1,2)，则数列an的前n项和Sn_.解析(1)数列xn满足x11，且对任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，xn1f(xn)，由图表可得x2f(x1)3，x3f(x2)5，x4f(x3)6，x5f(x4)1，数列xn是周期为4的周期数列，x1x2x2 018504(x1x2x3x4)x1x25041547 564.故选A.(2)Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，PnPn1(1，an1an)(1,2)，an1an2，an是公差d为2的等差数列又由a2a42a14d2a14210，解得a11，an2n1，Snn2n2.答案(1)A(2)n2预测3：数列与不等式交汇【例4】(1)已知等比数列an的公比q0，其前n项和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4 DS4a5S5a4(2)已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A9B8 C7D6解析(1)S4a5S5a4(a1a2a3a4)a4q(a1a2a3a4a5)a4a1a4aq30.S4a5S5a4，故选A.(2)akSkSk1k29k(k1)29(k1)2k10，由5ak8，得52k108，即k9.又kN*，故k8.答案(1)A(2)B体会领悟解决数列与其他知识的交汇问题，可利用函数与方程的思想以及转化与化归的思想.三、规范答题数列规范示例(12分)(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.信息提取解题路线图1.看到求b1，b2，b3想到求a1，a2，a3.2.看到判断数列bn是否为等比数列，想到等比数列的定义.3.看到求an的通项公式，想到an与bn的关系.标准答案阅卷现场(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24. 将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34. (2)bn是首项为1，公比为2的等比数列 由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列 (3)由(2)可得2n1， 所以ann2n1. 第(1)问第(2)问第(3)问得分点11212122444正确求出a2得1分；正确求出a3得1分；正确求出b1，b2，b3得2分；给出结论得1分；正确写出，即bn12bn得2分；根据b11，得出结论得1分，不写出b11，不得分；得到2n1得2分，错误不得分；正确得到an的表达式得2分.满分心得（1）熟练应用数列的递推公式，根据数列的递推公式，能够正确写出数列的各项，这是正确解题的前提.（2）注意利用第（2）问的结果：善于利用上一问的结果，可快速解题，如本题第（3）问，根据bn与an的关系，利用第（2）问的结论，可迅速求解.