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石景山区20112012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）考生须知 本试卷共6页，150分.考试时间长120分钟请将所有试题答案答在答题卡上题号一二三总分151617181920分数第卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合，,则（ ）A B CD2 已知复数，则复数的模为（）A 2B C1D03设是定义在上的奇函数，当时，则（）A-3B-1C1D3正视图侧视图俯视图4如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（）ABC4D5执行右面的框图，若输入实数， 则输出结果为（ ）ABCD6.设抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为（ ）A4B6C8D127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”； 若为假命题，则、均为假命题； 命题：存在,使得，则：任意,都有；在中,是的充分不必要条件.A1B2C3D48.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若，且，则的上确界为（ ）ABCD-4第卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 9在中，若，则 10统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀则及格人数是 ；优秀率为 11已知向量，若与垂直，则 12已知等差数列的前项和为，若，则 13若实数满足条件则的最大值为 14.已知函数，当且时， 函数的零点，则 三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值16（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲乙18 6 0 024 4 230 （）求乙球员得分的平均数和方差；（）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率（注：方差 其中为，的平均数） 17（本小题满分13分） 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点 （）求证：平面； （）求证：平面18（本小题满分14分） 已知椭圆（）过点（0，2），离心率.（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于两点，求.19（本小题满分14分） 已知 （）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若在处有极值，求的单调递增区间； （）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值； 若不存在，说明理由.20（本小题满分13分）对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是 “类数列” （）若，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； （）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”； （）若数列满足，为常数求数列前项的和并判断是否为“类数列”，说明理由石景山区20112012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分 题号12345678答案ACABDBCB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案800, 20%7242注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（本小题满分13分）解：（） 5分 7分 （）因为，所以 9分 当时，即时，的最大值为；11分当时，即时，的最小值为. 13分16（本小题满分13分） 解：（）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数 ； 2分 . 5分 （）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况： （18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （30，20）（30，20）（30，26）（30，32） 9分 得分和超过55分的结果有： （24，32）（24，32）(30，26)（30，32） 11分 求得分和超过55分的概率为. 13分17（本小题满分13分）解：（）证明：取中点，连结在中，分别为的中点， 2分所以，且由已知，所以，且 所以四边形为平行四边形 4分所以又因为平面，且平面，所以平面 6分（）证明：在矩形中，又因为平面平面， 且平面平面，所以平面所以 9分在直角梯形中，可得在中，因为，所以因为,所以平面13分18（本小题满分14分） 解：（）由题意得 结合，解得 所以，椭圆的方程为. 5分 （）由 得 6分 即，经验证. 设. 所以， 8分 ， 11分 因为点到直线的距离， 13分 所以. 14分19（本小题满分14分） 解：（）由已知得的定义域为， 因为，所以 当时，所以， 因为，所以 2分 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. 4分 （）因为在处有极值，所以， 由（）知，所以 经检验，时在处有极值 5分 所以，令解得； 因为的定义域为，所以的解集为， 即的单调递增区间为. 8分 （）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，因为，所以 ， 所以在上单调递减， ，解得，舍去. 10分 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足条件. 12分 当时，因为，所以， 所以在上单调递减， 解得，舍去. 综上，存在实数，使得当时有最小值3. 14分20（本小题满分13分） 解：（）因为则有 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为； 1分 因为，则有，. 故数列是“类数列”，对应的实常数分别为. 3分 （）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数， 使得对于任意都成立， 且有对于任意都成立， 因此对于任意都成立， 故数列也是“类数列” 对应的实常数分别为 6分 （）因为 则有， 故数列前2012项的和 + 9分 若数列是“类数列”，则存在实常数 使得对于任意都成立， 且有对于任意都成立， 因此对于任意都成立， 而，且， 则有对于任意都成立，可以得到 ， 当时，经检验满足条件. 当 时，经检验满足条件. 因此当且仅当或时，数列是“类数列”. 对应的实常数分别为或 13分注：若有其它解法，请酌情给分
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