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第1课时公式推导及简单应用学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.知识点一等差数列前n项和公式思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理等差数列的前n项和公式：已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式SnSnna1d知识点二a1，d，n，an，Sn知三求二思考在等差数列an中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?答案利用ana1(n1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn或Snna1d可求Sn.梳理(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”1若数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1，nN*.()2等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍()类型一等差数列前n项和公式的应用命题角度1a1，d，n，an，Sn知三求二例1已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解方法一由题意知S10310，S201220，将它们代入公式Snna1d，得到解方程组得Snn463n2n.方法二S10310，a1a1062，S201220，a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟踪训练1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解由得解方程组得或命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60，a250(100050)1%59.5，a1050(1000950)1%55.5，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201105，即全部付清后实际付款11051501255.反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解(1)设n分钟后第1次相遇，由题意，得2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，得2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)所以第2次相遇是在开始运动后15分钟类型二由Sn与an的关系求an例3已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？考点an与Sn关系题点由Sn公式求an解根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n1，nN*)，当n1时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S1121，也满足式数列an的通项公式为an2n.an1an2(n1)2，故数列an是以为首项，2为公差的等差数列引申探究若将本例中前n项和改为Snn2n1，求通项公式解当n2时，anSnSn12n.当n1时，a1S1121不符合式an反思与感悟已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合n2时an的表达式，若符合则统一用一个解析式表示跟踪训练3已知数列an的前n项和Sn3n，求an.考点an与Sn关系题点由Sn公式求an解当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn13n3n123n1.当n1时，代入an23n1得a123.an1在等差数列an中，若S10120，则a1a10_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案24解析由S10，得a1a1024.2记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d为_考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案3解析方法一由解得d3.方法二由S4S2a3a4a12da22dS24d，所以20444d，解得d3.3在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和与中间项的关系答案190解析S1919a101910190.4已知数列an满足a12a2nann(n1)(n2)，则an_.考点an与Sn关系题点由Sn公式求an答案3(n1)解析由a12a2nann(n1)(n2)，得a12a2(n1)an1(n1)n(n1)，得nann(n1)(n2)(n1)n(n1)n(n1)(n2)(n1)3n(n1)，an3(n1)(n2)又当n1时，a11236也适合上式，an3(n1)，nN*.5已知在等差数列an中：(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1022，求d.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解(1)Snn15，整理得n27n600，解得n12或n5(舍去)，a12(121)4.n12，ana124.(2)由Sn1022，解得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则anam2ap.3由Sn与an的关系求an主要使用an一、填空题1若数列an的前n项和Snn21，则a4_.考点an与Sn关系题点由Sn公式求an答案7解析a4S4S3(421)(321)7.2在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列anbn的前100项的和为_考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案10000解析由已知得anbn为等差数列，故其前100项的和为S10050(2575100)10000.3在20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为_考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案100解析S10100.4在等差数列an中，若a2a88，则该数列的前9项和S9为_考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案36解析S9(a1a9)(a2a8)36.5在等差数列an中，若S104S5，则_.考点等差数列前n项和性质运用题点两等差数列和之比与项之比问题答案解析由题意得10a1109d4，10a145d20a140d，10a15d，.6在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为_考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案665解析a12，d7,2(n1)7100，n15，n14，S1414214137665.7在等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10_.考点等差数列前n项和题点求等差数列的前n项和答案15解析由aa2a3a89，得(a3a8)29，an200.当n19时，剩余钢管根数最少，为10根10设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题答案15解析设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18215.11在等差数列an中，an2n3，前n项和Snan2bnc(a，b，c为常数)，则abc_.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案3解析因为an2n3，所以a15，Snn24n，与Snan2bnc比较，得a1，b4，c0，所以abc3.二、解答题12已知等差数列an的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk2550，求a及k.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和有关的基本量计算问题解设等差数列an的公差为d，则由题意得(k51舍)a2，k50.13已知数列an的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Snaan.(1)证明：an是等差数列；(2)求数列an的通项公式考点an与Sn关系题点由Sn和an递推式求通项(1)证明当n1时，a1S1aa1，解得a13或a11(舍去)当n2时，anSnSn1(a2an3)(a2an13)所以4anaa2an2an1，即(anan1)(anan12)0.因为anan10，所以anan12(n2)所以数列an是以3为首项，2为公差的等差数列(2)解由(1)知an32(n1)2n1.三、探究与拓展14已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200_.考点等差数列的前n项和题点等差数列前n项和综合问题答案100解因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，所以a1a2001，所以S200100.15已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是等差数列，且bn，求非零常数c.考点等差数列前n项和题点等差数列前n项和综合问题解(1)设等差数列an的公差为d，且d0.a3a4a2a522，又a3a4117，a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，a3a4，a39，a413.an4n3.(2)由(1)知，Snn142n2n，bn.b1，b2，b3.bn是等差数列，2b2b1b3，2c2c0，c (c0舍去)经检验，c符合题意，c.11
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