人教A版选修1-1《第三章导数及其应用》单元质量评估试卷

人教A版选修1-1第三章导数及其应用单元质量评估试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx台州高二检测)函数y=lgx的导数为()A.B.ln10C.D.【解析】选C.因为(logax)=,所以(lgx)=.2.(xx泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f(1)的值为()A.1-cos1B.1+cos1C.-1+cos1D.-1-cos1【解析】选B.f(x)=cosx+,f(1)=cos1+1.3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是()A.B.C.(-,0)D.(-,0)【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)0得0x.4.已知物体的运动方程是s=t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是()A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒【解析】选D.s=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.5.函数y=2x3-2x2在-1,2上的最大值为()A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D.y=6x2-4x=2x(3x-2),列表:x-1(-1,0)02y+-+y-40-8所以ymax=8.6.(xx临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是()A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)【解析】选C.f(x)=+1.设P0(x0,y0),则+1=4,解得x0=1.因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.所以点P0的坐标为(1,3).7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)ex的一个极值点,则a的值为()A.1B.2C.eD.5【解析】选A.因为f(x)=aex+(ax-2)ex,所以f(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把a=1代入函数得:f(x)=(x-2)ex,所以f(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),所以f(1)=0,且x1时,f(x)1时,f(x)0.故a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27且用料最省,则圆柱的底面半径为()A.5B.6C.3D.2【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=R2l=27,所以l=.要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而S表=R2+2Rl=R2+,令S表=2R-=0,解得R=3,即当R=3时,S表最小.9.(xx菏泽高二检测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是()A.(0,1)B.(-,1)C.(0,+)D.【解析】选D.f(x)=3x2-6b,因为f(x)在(0,1)内有极小值,所以f(x)=0在x(0,1)有解.所以所以0b.10.(xx合肥高二检测)设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是()【解析】选C.y=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)(3x-a-2b),由y=0得x=a或x=.因为ab,所以a,所以当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值且极小值为负.11.(xx烟台高二检测)已知a0,函数f(x)=ax3+lnx,且f(1)的最小值是-12,则实数a的值为()A.2B.-2C.4D.-4【解析】选B.f(x)=3ax2+,所以f(1)=3a+-12,即a+-4,又a0,有a+-4.故a+=-4,此时a=-2.12.(xx全国卷)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.-1,1B.C.D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f(x)=1-cos2x-cosx,但f(0)=1-1=-2-,故函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.答案:【补偿训练】曲线y=x3-2以点为切点的切线的倾斜角为.【解析】y=x2,当x=1时,y=1,从而切线的倾斜角为45.答案:4516.设f(x)=x3-x2-2x+5,当x-1,2时,f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是.【解析】f(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f(x)=0,得x=1或x=-.f(x)极小值=f(1)=1-2+5=,f(x)极大值=f=-+5=5.又f(-1)=-1-+2+5=,f(2)=8-2-4+5=7,比较可得f(x)max=f(2)=7.因为f(x)7.答案:(7,+)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(xx南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有f(x1)=f(x2)=0,从而x1x2=1,所以a=9.(2)由于=36(a+2)2-4182a=36(a2+4)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x-lnx.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+).因为f(x)=ax2+2x-lnx,当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f(x)=2-,令f(x)=0得x=,所以当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表xf(x)-0+f(x)极小值所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)=ax2+2x-lnx,且x0,则f(x)=ax+2-=.若a=0,由f(x)0得x,显然不合题意;若a0,因为函数f(x)在区间上是增函数,所以f(x)0对x恒成立,即不等式ax2+2x-10对x恒成立,即a=-=-1恒成立,故a.而当x=时,函数-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a3.18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)因为f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)=3+1=4,所以x0=1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.19.(12分)(xx临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-(x0),因为x=2时,f(x)取得极值,所以f(2)=0,解之得a=-,经检验符合题意.(2)由题意知f(x)0在x0时恒成立,即ax2+2x-10在x0时恒成立,则a=-1在x0时恒成立,即a(x0),当x=1时,-1取得最小值-1.所以a的取值范围是(-,-1.20.(12分)某5A级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)【解析】(1)由条件可得解得a=-,b=1.则f(x)=-+x-ln(x10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x10),则T(x)=-+-=-,令T(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x(10,50)时,T(x)0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;当x50时,T(x),且当x1,4a时,f(x)a3-12a恒成立,试确定a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1且f(x)=3x2-6x-9,由f(x)=0得x=-1或x=3.当x0,当-1x3时,f(x)0,因此x=-1是函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)=6;当-1x3时f(x)3时f(x)0,因此x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-26.(2)因为f(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a,所以当1x3a时,f(x)0;当3a0.所以x1,4a时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3.由f(x)a3-12a在1,4a上恒成立得-26a3a3-12a.解得a-或0a.又a,所以a.即a的取值范围为.22.(12分)奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点A(-,),B(2,10).(1)求f(x)的表达式.(2)求f(x)的单调区间.(3)若方程f(x)+m=0有三个不同的实数根,求m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,所以f(-x)=-f(x)(xR).所以b=0.所以f(x)=ax3+cx.因为图象过点A(-,),B(2,10),所以即所以所以f(x)=x3-3x.(2)因为f(x)=x3-3x,所以f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),所以当-1x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0,所以f(x)的递增区间是(-,-1)和(1,+),递减区间是(-1,1).(3)因为f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程f(x)+m=0,即f(x)=-m有三个不等实数根,则-2-m2,即-2m2,所以m的取值范围是(-2,2).附送：2019-2020年人教A版选修1-23.1数系的扩充和复数的概念练习含答案一、选择题1全集I复数，集合M有理数，N虚数，则(IM)(IN)(D)A复数B实数C有理数D无理数解析IM无理数、虚数，IN实数，(IM)(IN)无理数2若复数2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(D)A2BCD2解析由题意得2(b)0，b2.3以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是(A)A22iB2iCiDi解析复数2i的虚部为2，复数i2i22i，其实部为2，故选A4复数z(m2m)mi(mR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为(D)A0或1B0C1D1解析z为纯虚数，m1，故选D5适合x3i(8xy)i的实数x、y的值为(A)Ax0且y3Bx0且y3Cx5且y3Dx3且y0解析依题意得，解得，故选A6复数za2b2(a|a|)i(a、bR)为实数的充要条件是(D)A|a|b|Ba0且abDa0解析复数z为实数的充要条件是a|a|0，故a0.二、填空题7如果x1yi与i3x为相等复数，x、y为实数，则x，y_1_.解析由复数相等可知，.8给出下列复数：2，0.618，i2,5i4，i，其中为实数的是2，0.618，i2.解析2，0.618，i2为实数，5i4，i为虚数三、解答题9已知复数z(a25a6)i(aR)试求实数a分别为什么值时，z分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析按复数abi(a、bR)是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解解析(1)当z为实数时，则有a25a60且有意义解得a1且a6，解得a1，a6，即a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有a25a60且有意义解得a1且a6，解得a1，a1且a6，当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，此方程组无解，不存在实数a使z为纯虚数B级素养提升一、选择题1(1)i的实部与虚部分别是(C)A1，B1，0C0,1D0，(1)i解析(1)i可看作0(1)iabi，所以实部a0，虚部b1.2若(m23m4)(m25m6)i是纯虚数，则实数m的值为(B)A1B4C1或4D不存在解析由条件知，m4.3若a、bR, 且ab，那么(D)AaibiBaibiCai2bi2Dbi2ai2解析i21，ab，ai2bi2，故选D4若43aa2ia24ai，则实数a的值为(C)A1B1或4C4D0或4解析由题意得，解得a4.二、填空题5若复数z(m1)(m29)i0，则实数m的值等于_3_.解析z0，m3.6已知复数zm(m21)i(mR)满足z0，则m_1_.解析z0，m1.三、解答题7若不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立，求实数m的值.解析由题意，得，当m3时，原不等式成立C级能力提高1(xx天津)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_2_.解析(1i)(1bi)1b(1b)ia，所以解得所以2.2设zlog(m1)ilog2(5m)(mR).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值解析分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解(1)若z是虚数，则其虚部log2(5m)0，m应满足的条件是，解得1m5，且m4.(2)若z是纯虚数，则其实部log(m1)0，虚部log2(5m)0，m应满足的条件是，解得m2.