质点运动学修改PPT学习教案

会计学1一一.参考系参考系（frame of reference, reference system） 3.常用参考系常用参考系: 太阳参考系（太阳太阳参考系（太阳 恒星参考系）恒星参考系） 地心参考系（地球地心参考系（地球 恒星参考系）恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系地面参考系或实验室参考系 质心参考系质心参考系参考系：参考系：用来描述物体运动而用来描述物体运动而选作参考的物体选作参考的物体或物体系或物体系。1.描述物体运动必须选取参考系描述物体运动必须选取参考系(运动的相对性运动的相对性)。2.运动学中运动学中参考系可任选，参考系可任选， 不同参考系中物体的不同参考系中物体的运动形式运动形式（如轨迹、速度等）（如轨迹、速度等）可以不同。可以不同。第1页/共41页二二. 坐标系坐标系（coordinate system）z 1.坐标系为参考系的数学抽象。坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。参考系选定后，坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。 3.常用坐标系常用坐标系: 直角坐标系（直角坐标系（ x , y , z ） yxx yzr 球极坐标系（球极坐标系（ r, ） 柱坐标系（柱坐标系（ , , z ）坐标系：坐标系： 固结在参考系上的一组有刻度的射线固结在参考系上的一组有刻度的射线、 曲线或角度。曲线或角度。第2页/共41页三、质点位置矢量三、质点位置矢量 用来确定某时刻用来确定某时刻 r( t )O yzxx z y z( t ) y( t )x( t ) P( t ) 位置矢量：位置矢量： ),(zyxrr 位置矢量（位矢、矢径）：位置矢量（位矢、矢径）：z zyyxx kzj yi x ijk质点位置（用矢端表示）的质点位置（用矢端表示）的矢量。矢量。222rrxyz第3页/共41页四、四、 运动函数（运动学方程）运动函数（运动学方程）机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。 运动函数运动函数。ktzjtyitxtr)()()()( 或或 )(txx )(tyy )(tzz 位置坐标和时间的函数关系位置坐标和时间的函数关系轨迹：质点在空间连续经过的各点连成的曲线第4页/共41页五、位移五、位移（displacement）：）：位移位移 质点在质点在一段时间内一段时间内位置的改变。位置的改变。 2121)()(PPPPrtrttrr 方向：方向：大小：大小： P1r(t)rx y z Or(t+t ) P2位移：位移：矢量第5页/共41页六、六、 路程路程（path）： P1r(t+t )r(t)rx y z Os P2r(t+t )r(t) Orr P2 P1s 质点实际运动轨迹的长度质点实际运动轨迹的长度 叫叫路程路程。注意：注意： ,rs rrrrdd ，要分清要分清 等的几何意义等的几何意义。rrr 、；但但 rsdd 标量:r位置矢量大小的增量第6页/共41页12 速度速度 加速度加速度一 速度速度1 平均速度平均速度sB)(ttrA)(trvrvtrv 平均速度含义含义：反映一段时间内，质点位置变化的平均快慢：反映一段时间内，质点位置变化的平均快慢。说到平均速度一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均速度。说到平均速度一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均速度。2 瞬时速度瞬时速度0tt 质点在某时刻或某位置的瞬时速度等于在此时刻附近取时间，让时平均速度的极限值。dtrdtrvt0lim 瞬时速度即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。即速度等于位置矢量对时间的一阶导数。第7页/共41页含义：反映质点在某时或某位置的运动状态。速度是一个矢量，方向沿质点轨迹切线方向tsv 平均速率dtdstsvt0lim 瞬时速率| vdtrddtdsv且kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xdtddtrdv)(kvjvivzyx222222)()()(|dtdzdtdydtdxvvvvvzyx思考：时速率瞬时速度的大小？瞬均速率平均速度的大小？平sB)(ttrA)(trvrv第8页/共41页)(2ttv1r2r1p2p)(1tvxYZ1v2vvtvttvva1212220dtrddtvdtvimlatkdtzdjdtydidtxdkdtdvjdtdvidtdvkajaiaazyxzyx22222222dtyddtdvayy22dtxddtdvaxx22dtzddtdvazz222|zyxaaaaaa二 加速度平均加速度瞬时加速度第9页/共41页末的速度与加速度。末和）求出（时质点的位置矢量。和）求出（。）画出质点的运动轨道（制）（程为：已知一质点的运动方例ssststSIjti tr2132121)2(211222,21tytx）由题知：解：（2412xyt得：消去轨迹为一抛物线：xyo222第10页/共41页jirst21)2(1时，jirst2422时，jti tr)2(22j tidtrdv22) 3(jivst2211时，112 2/45ovm sx 即与 轴夹角为jivst42,22时6263/5222oxsmv轴夹角为与jdtvda2221/2smaa轴负向方向沿y第11页/共41页直线运动方程一 直线运动中的位移、速度、加速度OXPxtPxxtt1:x位移x方向由的正负决定2速度：dxvdt3加速度：22dvd xadtdt当速度或加速度取正值时，表示其方向为X正方向；当速度或加速度取负值时，表示其方向为X负方向；第12页/共41页例例1-1 1-1 已知质点作匀加速直线运动，加速度为已知质点作匀加速直线运动，加速度为a a，求，求该质点的运动方程。该质点的运动方程。解解：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：已知速度或加速度求运动方程，采用积分法：tddvatddav对于作直线运动的质点，采用标量形式对于作直线运动的质点，采用标量形式tavddtvvtav0dd0atvv0两端积分可得到速度两端积分可得到速度第13页/共41页vtxddatv 0tatvxtxxd)(d00020021attvxx)(20202xxavv根据速度的定义式：根据速度的定义式：两端积分得到运动方程两端积分得到运动方程消去时间，得到消去时间，得到第14页/共41页置与时间的关系式。位处。试求质点的速度、时，物体静止于当制），（轴运动，其加速度为：一质点沿例mxtSItax100421tdtdva41）解：（tdtdv4分离变量：tdtdv4两边积分：ctv2200vt时，由题可知：0c故：22tv 22)2(tdtdxvdttdx22dttdx22ctx332100 xt时，由题可知：10 c故：10323tx第15页/共41页质点作曲线运动，判断下列说法的正误。质点作曲线运动，判断下列说法的正误。rrr rrsrsrs质点的运动学方程为质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误判断正误:质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为正。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作匀加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为正。质点作变加速直线运动，加速度为负。质点作变加速直线运动，加速度为负。思考题思考题第16页/共41页XYRPP)(t)(tts角位移. 1角位置点时刻Pt角位置点时刻Ptt角位移逆时针为正顺时针为负角速度. 2平均角速度：t：瞬时角速度（角速度）dtdtt0lim角速度方向：右手螺旋，四指指向质点旋转方向，则大拇指表示角速度方向。dsvRdtRO第17页/共41页角加速度. 322()dddddtdtdtdt22/srad秒单位：弧度角量与线量的关系. 4XYRPP)(t)(ttsRsdtdRdtdsRv 即：线速度与角速度关系第18页/共41页切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 在运动轨道上任一点建立在运动轨道上任一点建立正交坐标系正交坐标系,其一根坐标轴沿轨其一根坐标轴沿轨道切线方向道切线方向,正方向为运动的前正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧，正方向指向轨道内凹的一侧。tenetene切向单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。1.1 1.1 自然坐标系自然坐标系第19页/共41页 由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：因此，自然坐标系中可将速度表示为：tvve由加速度的定义有由加速度的定义有tvddattveddtvtdde1.2 1.2 自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速度tenetene第20页/共41页teod dsnetePtePtetedd nteeddnttteeddddnenRve以圆周运动为例以圆周运动为例 如图，质点在如图，质点在dt 时间内经历弧长时间内经历弧长ds，对应于，对应于角位移角位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此tvddattveddtvtdde第21页/共41页teonetePanata attveddnRve2tvatddRvan2即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量：at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的称法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的 快慢。快慢。 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径，但式中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替。代替。第22页/共41页at 等于等于0, an等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动质点做什么运动？例题例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情况时，质点各作什么运动：ntaaa1tan的夹角给出为的夹角给出为的方向由它与法线方向的方向由它与法线方向attveddnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小为的大小为第23页/共41页)(22/02022000ttt质点作匀速或匀变速圆周运动时质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移的角速度、角位移与角加速度的关系式为与角加速度的关系式为)(22/02022000 xxavvattvxxatvv匀变速直线运动的几个关系式匀变速直线运动的几个关系式两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题一维运动形式，从而简化问题。第24页/共41页角量与线量的关系角量与线量的关系 R vddtvaRt22 RRan va2Ova3a4a1左图中分别是什么情形？左图中分别是什么情形？ 思考：思考： 是否都能存在？是否都能存在？第25页/共41页1 1、已已知知一一质质点点的的运运动动学学方方程程为为则则质质点点在在和和时时刻刻的的速速度度；加加速速度度；切切向向加加速速度度大大小小)(2制SIjti tr)(tv)(ta)(ta；质质点点所所在在轨轨迹迹处处的的曲曲率率半半径径)/(21smjti )/(22smj241/4tt2/)41 (2/3t解解：22241)2(1ttv2414)(ttdtdvta22aaannav222241441164ttt2/)41 (2/3t第26页/共41页Ro 在在t 时刻，质点运动到时刻，质点运动到位置位置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t = 0 时时，质点位于，质点位于s = 0 的的p点处。点处。n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运时，质点沿圆周运行了多少圈。行了多少圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvs第27页/共41页naa22naaa （2）令）令a = b ，即，即bRbRbtva220)()(Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系第28页/共41页（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系得得第29页/共41页1. 质点作匀变速圆周运动，则质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化切向加速度的方向不变，大小变化 质点作匀变速圆周运动，质点作匀变速圆周运动，速度的大小方向都在变化；切向速度的大小方向都在变化；切向加速度和法向加速度的大小方向加速度和法向加速度的大小方向都在变化。都在变化。Ro思考题思考题思考题思考题第30页/共41页直线运动圆周运动xx、位移位置、角位移角位置dtdxv 速度dtd角速度22dtxddtdva加速度22dtddtd角加速度t0匀速圆周运动vtxx0匀速直线运动2/ )()(22100202020vvvxxavvatvvatvtxx匀变速直线运动2/ )()(22100202020ttt匀变速圆周运动较直线运动与圆周运动比第31页/共41页1. 伽利略坐标变换伽利略坐标变换 不同参考系对同一个运动描述的结果不同，不同参考系对同一个运动描述的结果不同，其结果之间是否有某种联系呢？其结果之间是否有某种联系呢？oxyzoxyz 考虑两个参考系中的考虑两个参考系中的坐标系坐标系K和和K(Oxyz和和Oxyz)，它们相对作匀速，它们相对作匀速直线运动。直线运动。v 在在t=0时刻坐标原点时刻坐标原点重合，对于一个质点重合，对于一个质点A，在任意时刻两个坐标系中在任意时刻两个坐标系中的质点对应的位置矢量：的质点对应的位置矢量：Prr运动描述的相对性运动描述的相对性 伽利略坐标变换伽利略坐标变换第32页/共41页K系原点相对系原点相对K系原点的位矢：系原点的位矢：Rrr成立的条件成立的条件:绝对时空观！绝对时空观！空间绝对性空间绝对性:空间两点距离空间两点距离的测量与坐标系无关。的测量与坐标系无关。时间绝对性时间绝对性:时间的测量时间的测量与坐标系无关。与坐标系无关。O Prtt oxyzoxyzvPrrRR第33页/共41页P点在点在K系和系和K系的空间坐标、系的空间坐标、时间坐标的对应关系为：时间坐标的对应关系为：Rrr tt vtxx yy zz tt t vr 因此，满足经典时空观的条件时因此，满足经典时空观的条件时伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式oxyzoxyzvPrrR第34页/共41页2. 速度变换速度变换 分别表示质点在两个坐标系中的速度分别表示质点在两个坐标系中的速度、KvK vvvvxx KKyyvvKK zzvvKK t ddKrvttd)d(vr vv Kvvv KK即即在直角坐标系中写成分量形式在直角坐标系中写成分量形式伽利略速度变换伽利略速度变换AKAKK Kvvv绝对速度相对速度牵连速度KKvvvRrr t vr oxyzoxyzvPrrR第35页/共41页oxyzoxyzvPKvK vv 相对于地面竖直下落的物体，作出各个坐标系相对于地面竖直下落的物体，作出各个坐标系中的速度方向，满足矢量三角形法则。中的速度方向，满足矢量三角形法则。Ktgvv 注意：注意：低速运动的物体满低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实足速度变换式，并且可通过实验证实，对于高速运动的物体验证实，对于高速运动的物体，上面的变换式失效。，上面的变换式失效。第36页/共41页3. 加速度变换加速度变换 设设K系相对于系相对于K系作匀加速直线运动系作匀加速直线运动,加速度加速度 沿沿x方向。方向。0a0, 0vv t K系相对于系相对于K系的速度系的速度t00avv tttddddddKKvvv 0KKaaa 时,00 a当当KK aa表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。KKvvv第37页/共41页例例1：某人骑摩托车向东前进，其速率为：某人骑摩托车向东前进，其速率为10m s-1时时觉得有南风，当觉得有南风，当其速率为其速率为15m s-1时，又觉得有东时，又觉得有东南风，试求风速度。南风，试求风速度。解解：取风为研究对象取风为研究对象，骑车人和地面作为，骑车人和地面作为两个相对运动的参考两个相对运动的参考系。作图系。作图v15ms-110ms-145y(北)x(东)O2KK2KK vvvvAA根据速度变换公式得到：根据速度变换公式得到：1KK1KK vvvvAA第38页/共41页由图中的几何关系，知：由图中的几何关系，知：)/(101KKsmvvx 45)(1KK2KKtgvvvyv15ms-110ms-145y(北)x(东)O)/(51015sm 风速的大小：风速的大小：22510 v风速的方向：风速的方向：为东偏北为东偏北26 34105arctg )/(2.11sm 4326 第39页/共41页第40页/共41页