2018-2019学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习导学案 新人教B版选修4-5

第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课1.掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形.2.熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法.3.理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会利用绝对值三角不等式证明有关不等式和求函数的最值.4.会解四种类型的绝对值不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|m，|xc|xb|m.5.会用平均值不等式求一些特定函数的最值.6.理解不等式证明的五种方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，会用它用证明比较简单的不等式.知识结构知识梳理1.实数的运算性质与大小顺序的关系：abab0，abab0，abab0)或ax2bxc0 (a0)，ax2bxc0 (a0)的解集实质上是函数f(x)ax2bxc (a0)的函数值f(x)0对应的自变量x的取值范围，方程ax2bxc0 (a0)的根实质上是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.4.基本不等式(1)定理1：若a，bR，则a2b22ab (当且仅当ab时取“”).(2)定理2：若a，bR，则(当且仅当ab时取“”).(3)引理：若a，b，cR，则a3b3c33abc(当且仅当abc时取“”)可以当作重要结论直接应用.(4)定理3：若a，b，cR，则(当且仅当abc时取“”).(5)推论：若a1，a2，anR，则.当且仅当a1a2an时，取“”.(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考察是否满足“一正，二定，三相等”的要求.5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论.6.绝对值三角不等式：(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|ab|的几何意义表示数轴上两点间的距离.(2)|ab|a|b| (a，bR，ab0时等号成立).(3)|ac|ab|bc| (a，b，cR，(ab)(bc)0等号成立).(4)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0).(5)|a|b|ab|a|b| (a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0).7.不等式证明的基本方法(1)比较法：作差法与作商法.(2)综合法：强调将问题进行合理变形转换，使之能运用定义、公理、定理、性质推证命题.(3)分析法：强调书写步骤的合理性，注意逻辑上的充分性，步步可逆不是指等价，当然等价也行.(4)反证法：反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”、“存在性”的命题；结论中含有“至少”、“至多”及否定性词语的命题.(5)放缩法：放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩.例如，2且kN*).典例剖析知识点1基本不等式的应用【例1】 求函数yx2(15x) 的最值.解yx2xx，0x，2x0.y.当且仅当x2x，即x时，y取得最大值且ymax.知识点2证明不等式(利用函数的单调性)【例2】 已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：.证明设函数f(x)1 (x0，m0).易知f(x)在(0，)上是增函数.f(a)f(b)f(ab).又abc，f(ab)f(c)，.知识点3应用绝对值三角不等式证明不等式【例3】 已知f(x)x2axb (a，bR)的定义域为1，1.(1)记|f(x)|的最大值为M，求证：M；(2)当M时，求f(x)的表达式.(1)证明由题意M|f(0)|，M|f(1)|，M|f(1)|.4M2|f(0)|f(1)|f(1)|2|b|1ab|1ab|1ab1ab2b|2，M.(2)解当M时，|f(0)|b|，b.同理有1ab，1ab.两式相加122b1，b.又b，b.当b时，由1ab1a0；由1ab0a1，即a0.f(x)x2.基础达标1.若a，b，x，yR，则是成立的()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由(xa)(yb)0知，xa与yb同号，由xyab得(xa)(yb)0，即(xa)，(yb)同正，所以如果易知答案C2.若a3b32，则()A.ab2 D.ab2解析a3b32，(ab)(a2b2ab)2，(ab)(ab)23ab2.(ab)33(ab)ab23(ab)2.(ab)38，ab2.答案B3.设a0，b0，下列不等式中不正确的是()A.a2b22ab B.2C.ab D.解析0，故选D.答案D4.A1与(nN)的大小关系是_.解析A1，A.答案A5.若a，则ab的最小值是_.解析设bsin ，则acos ，absin.，sin1，故1ab.答案16.解不等式|2x4|3x9|2时，原不等式等价于x2当3x2时，原不等式等价于x2当x3时，原不等式等价于x或x0)满足f(m)0 D.f(m1)0解析设x1、x2是方程x2xa0的两根，则|x1x2|1.当f(m)0.答案C8.设0ab且f(x)，则下列结论中正确的是()A.f(a)ff(ab)B.ff(b)f()C.f()ff(a)D.f(b)f0时，f(x)1f(x)在(0，)上为减函数.又b.答案D9.若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.解析由abab323，令x，则有x22x3x22x30，解x求的范围.x3或x1(舍去)，ab9.答案9，)10.函数y12x的值域是_.解析|2x|2.2x2，)或(，2.y(，2121，).答案(，2121，)11.设abc1，记Ma，Na，P2，Q3，试找出其中的最小者，并说明理由.解bc0，Nbc1，c，从而QP，又NP2b(21)(1)()0(abc1)PN，故P最小.12.设a、b、c、d是正数，求证：下列三个不等式abcd，(ab)(cd)abcd，(ab)cdab(cd)中至少有一个不正确.证明本题显然应该用反证法.假设不等式、都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以与相乘，得：(ab)2abcd.由得(ab)cd0，4cd(ab)(cd).结合，得4cdabcd，3cdab，即cdab.由，得(ab)2ab，即a2b2ab，矛盾.不等式、中至少有一个不正确.7