2018-2019学年高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习导学案 新人教B版选修4-5

第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维)：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，上式等号成立a1b2a2b1.(2)(二维变式)：|acbd|.(3)定理2(向量形式)：设，为平面上的两个向量，则|，当及为非零向量时，上式中等号成立向量与共线(或平行)存在实数0，使得.(4)定理3(三角不等式)：设a1，a2，b1，b2为实数，则，等号成立存在非负实数及，使a1b1，a2b2.(5)三角变式：设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则，等号成立存在非负实数及使得(a1b1)(b1c1)且(a2b2)(b2c2).(6)三角向量式：设，为平面向量，则|.2.三维形式的柯西不等式：(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.3.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，b3，bn为实数，则(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等号成立.4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn为b1，b2，bn的任一排列，则有：a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和.6.平均值不等式(1)定理1：设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.(2)推论1：设a1，a2，an为n个正数，且a1a2an1，则a1a2ann，且等号成立a1a2an1.(3)推论2：设C为常数，且a1，a2，an为n个正数，当a1a2annC时，则a1a2anCn，且等号成立a1a2an.(4)定理2：设a1，a2，an为n个正数，则，等号成立a1a2an.典例剖析知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a，b，c，d为正数，且不全相等，求证：.证明构造两组数，与，则由柯西不等式得：(abbccdda)(1111)2.即2(abcd)16，于是，等号成立abbccddaabcd.因题设a，b，c，d不全相等，故.知识点2利用柯西不等式求最值【例2】 已知xyz1，求的最大值.解由柯西不等式，得(111)3.等号成立，即3x13y23z3设3x1k，则x，y，z.代入xyz1，得k3.x，y，z0时取等号.知识点3利用排序不等式证明不等式【例3】 设a，b，c为正数，求证：2.证明由对称性，不妨设abc0，于是abacbc，故a2b2c2，由排序不等式得：以上两式相加得：2.知识点4平均值不等式的实际应用【例4】 在半径为R的球的所有外切圆锥中求全面积最小的一个.解设x为圆锥底面半径，S为它的全面积，则Sx2xACx2x(xCD)由RtCAERtCOD得.解得CD.于是Sx.因为S和同时取得最小值，所以考虑的最小值问题.x2R2(x2R2)2R222R24R2.于是S8R2，等号成立x2R2xR.所以圆锥的最小全面积为8R2.基础达标1.已知2x3y4z10，则x2y2取到最小值时的x，y，z的值为() A.， B.，C.1， D.1，解析当且仅当时，x2y2z2取到最小值，所以联立可得x，y，z.答案B2.设x1，x2，xn，取不同的正整数，则m的最小值是()A.1 B.2C.1 D.1解析x1，x2，xn是n个不同的正整数，所以1，2，3，n就是最小的一组，m1(前边是乱序和，后面是反序和).答案C3.一批救灾物资随26辆汽车从A市以v km/h匀速直达灾区，已知两地公路长400 km，为安全起见，两车间距不得小于 km，那么这批物资全部到灾区，至少需要_h.()A.5B.10C.15D.20解析依题意，所用时间为v10，当且仅当v80时取等号.答案B4.已知x2y3z1，则x2y2z2的最小值为_.解析(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21.x2y2z2.当且仅当，即x，y，z时，x2y2z2取最小值.答案5.设a，b，cR，且abc1，则的最大值是_.解析3(abc)(111)(abc)()2.所以.答案6.已知正数a，b，c满足abc1，证明：a3b3c3.证明利用柯西不等式(a)2(b)2(c)2abc(a3b3c3)(abc)2 (abc1)又因为a2b2c2abbcca，在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得：(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)3(a2b2c2)故a3b3c3.综合提高7.已知3x22y21，则3x2y的取值范围是()A.0， B.，0C.， D.5，5解析|3x2y|.所以3x2y.答案C8.已知x，y，zR，且1，则x的最小值是()A.5 B.6C.8 D.9解析x9.答案D9.函数y2的最大值是_.解析y1.答案10.设x1，x2，xn取不同的正整数，则m的最小值是_.解析设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2，所以a11123n1.答案111.求椭圆1 (ab0)的内接矩形的最大面积，并求此时矩形的边长.解方法一：设第一象限顶点坐标(x，y).S与S2同时取得最大值.又y2(a2x2)，S216x2y216x2(a2x2)x2(a2x2)4a2b2.Smax2ab.此时有x2a2x2，即xa时，内接矩形面积最大，此时，矩形的边长分别为a，b.方法二：S4xy4ab4ab2ab.等号当且仅当，即，即xa，yb时成立.当矩形的边长分别为a，b时，内接矩形面积最大为S2ab.12.某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：1919；3010；2512.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案.要求：用料最省；简便易行.解设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m，b m，c m.由题意，可得abc500.长方体水箱的表面积为S2bc2acab.由均值不等式，知S2bc2acab33300.当且仅当2bc2caab，即ab10，c5时，S2bc2caab300为最小，这表明将无盖长方体水箱的尺寸设计为10105时，其用料最省.如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成无盖长方体水箱的平面展开图.逆向思维：先将无盖长方体水箱展开成平面图如图(1)所示，进一步剪拼成如图(2)所示的长30 m，宽10 m(长宽31)的长方形.因此，应选择规格为3010的制作材料，制作方案如图(3).8