高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用综合检测 新人教B版选修4-5

高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用综合检测 新人教B版选修4-5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则(x2)(y2)的最小值为()A9B9C10D0【解析】x2()2()2y2(xy)29.【答案】B2设x，y，m，n(0，)，且1，则xy的最小值是()AmnB4mnC()2D.【解析】xy(xy)()()2()2，当且仅当nx2my2，1时，等号成立，故xy的最小值为()2.【答案】C3(xx漳州模拟)已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为()A0，B，C0，D，【解析】4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2，644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0.故0e.【答案】C4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花钱数为()A300元B360元C320元D340元【解析】由排序原理，反序和最小最小值为502403205320(元). 【答案】C5已知a，b，c为非零实数，则(a2b2c2)()最小值为()A7B9C12D18【解析】由(a2b2c2)()(abc)29，所求最小值为9.【答案】B6设a，b，c均为小于0，且a2b2c23，则abbcca的最大值为()A0B1C3D.【解析】由排序不等式a2b2c2abbcac，所以abbcca3.【答案】C7若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A21B.C16D.【解析】1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.【答案】B8函数f(x)cos x，则f(x)的最大值是()A.B.C1D2【解析】f(x)cos x.又(cos x)2(21)(sin2xcos 2x)3，f(x)的最大值为.【答案】A9已知半圆的直径AB2R，P是弧AB上一点，则2|PA|3|PB|的最大值是()A.RB.RC2RD4R【解析】由2|PA|3|PB|2R.【答案】C10已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1，y2，则y1y2与x1x2的大小关系是()Ay1y2x1x2D不确定【解析】要比较y1y2与x1x2的大小，就是要比较(ax1bx2)(ax2bx1)与(ab)2x1x2的大小，而(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2()2(ab)2x1x2(ab)2.而a，b，x1，x2互不相等，所以等号不成立【答案】C11已知abc1，且a，bR，则的最小值为()A1B3C6D9【解析】abc1，2(abc)()(ab)(bc)(ca)()(111)29，当且仅当abc时等号成立【答案】D12设x1，x2，xn取不同的正整数， 则m的最小值是()A1B2C1D1【解析】设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2，所以a11123n1.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(xx湖北高考)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，即(x2y3z)214，因此x2y3z.因为x2y3z，所以x，解得x，y，z，于是xyz.【答案】14已知a，b，x，y均为正数，且ab4，xy1，(axby)(bxay)的最小值_【解析】(axby)(bxay)()22(xy)24.【答案】415如图1所示，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和图1【解析】由题图可知，阴影面积a1b1a2b2，而空白面积a1b2a2b1，根据顺序和反序和可知答案为.【答案】16已知x，y，zR，有下列不等式：(1)x2y2z232(xyz)；(2)；(3)|xy|x2|y2|；(4)x2y2z2xyyzzx.其中一定成立的不等式的序号是_【解析】x2y2z23(x21)(y21)(z21)2x2y2z，故(1)正确；成立的前提是x0，y0，故(2)不正确；|xy|(x2)(y2)|x2|y2|，故(3)正确；由排序不等式知x2y2z2xyyzzx，故(4)正确【答案】(1)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求实数x，y的值，使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值【解】由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，当且仅当，即x，y时，上式取等号故x，y时，(y1)2(xy3)2(2xy6)2达到最小值18(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足xyz1.求证.【解】因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)()(xyz)2，又因为xyz1，所以.19(本小题满分12分)已知a，b，cR，用排序不等式证明2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)【证明】不妨设0abc，则a2b2c2，由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，a2ab2bc2ca2cb2ac2b.以上两式相加，得2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)20(本小题满分12分)P是ABC内一点，x，y，z是P到ABC的三边a，b，c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明 .【证明】由柯西不等式，得 .设S为ABC的面积，则axbycz2S， ，原不等式成立21(本小题满分12分)(1)已知：a，bR，ab4，证明：1；(2)已知：a，b，cR，abc9，证明：1，并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)【证明】(1)根据柯西不等式：(ab)()()24，ab4，1.(2)根据柯西不等式：(abc)()()29，abc9，1.可以推广：若a1a2ann2，则1.22(本小题满分12分)设a1，a2，an为1,2，n的一个排列，证明：.【证明】设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1.c1，c2，cn1为a1，a2，an1的一个排列，且c1c2.由乱序和反序和得.b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n，.故.