2022年高考数学 三角代换在解题中的应用练习

2022年高考数学 三角代换在解题中的应用练习在解题过程中,常会遇到一些表面虽与三角无关,但通过三角代换,若能将待解决的问题化为三角函数问题,再借助三角函数的性质及常用的处理技巧,往往能简便地使这些问题得到迅速的解决。1 利用正、余弦函数的值域化无理代数式为三角函数式对含有无理根式,且根式内为x的一元二次多项式的函数问题,常可利用正、余弦函数代换,将无理根式化为某个角的三角函数式,使问题简便获解。例1 求函数的定义域和值域。解 由0,得定义域,。故可令,得 。故值域: 。练习：1. 已知。(1)求证:1f(x);(2)确定f(x)的单调区间。 2. 求的最大值和最小值。2 利用正、余切或正、余割函数值域化无理式为三角函数式有些含无理根式的问题,由于xR或x1,常可利用正、余切函数代换或正、余割代换,将无理式化简,进而求解。例2解方程。 解 由,可令,方程变形为: ,去分母,整理得 , , ,故或, 故,方程的解为或,即。练习：解不等式0。 3 借助三角公式利用接近联想,将问题转化为三角问题 有些问题给出的结构与某些三角公式的结构完全相同,利用接近联想,通过三角代换,实现问题的转化。例3. 求函数的单调区间。解 该函数结构与正弦的万能公式的结构完全相同。故可令,所以,由的单调性,立即得及,当和(1,+)时,y单调递减;当,即时,y单调递增。练习：任给7个实数,证明其中必有两个数x、y,使0。