2022年高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数

2022年高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数一、 基础知识1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，则存在(a,b)，使证明 令F(x)=f(x)-,则F(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意xI,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）当a1时，当0a1时， 当a=1时，（3）因为而所以（4）例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用导数讨论函数的单调性。例6 设a0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的单调区间。解 ，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1时，对所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+)内递增；（3）当0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+)内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a22x.证明 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf(0)=0，即sinx+tanx2x.7.利用导数讨论极值。例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f(x)在(0,+)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x(0,1)时，所以f(x)在(0,1上递减；当x(1,2)时，所以f(x)在1，2上递增；当x(2,+)时，所以f(x)在2，+）上递减。综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g(x)在(0,)上连续，所以g(x)在(0,)上单调递减。又因为0(1-y)xxg(x)，即，又因为，所以当x(0,),y(0,1)时，f(x,y)0.其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1=_.2已知，则a-b=_.3_.4_.5计算_.6若f(x)是定义在(-,+)上的偶函数，且存在，则_.7函数f(x)在(-,+)上可导，且，则_.8若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设0ba0时，比较大小：ln(x+1) _x.9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x(x0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_.11若x0，求证：(x2-1)lnx(x-1)2.12函数y=f(x)在区间(0,+)内可导。导函数是减函数，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）证明：当x(0,+)时，g(x)f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+,证明：xn1(nN+).五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_.2若(1-2x)9展开式的第3项为288，则_.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)0)，若对任意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，则实数m取值范围是_.9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0x1)，求f(x)的最小值；（2）设正数p1,p2,满足p1+p2+p3+=1，求证：p1log2p1+p2 log2p2+log2-n.11.若函数gA(x)的定义域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b为任意的正实数，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）讨论gA(x)的单调性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，证明：六、联赛二试水平训练题1证明下列不等式：（1）；（2）。2当01.