2022年高中数学第一章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2

2022年高中数学第一章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2-2一、归纳和类比1归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理2从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理二、直接证明和间接证明1直接证明包括综合法和分析法(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决2间接证明主要是反证法反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤这两步缺一不可第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列3,5,9,17,33，的通项an()A2nB2n1C2n1 D.2n1答案：B2用反证法证明命题“若关于x的方程ax2bxc0(a0，a，b，cZ)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是奇数B假设a，b，c都不是奇数C假设a，b，c至多有一个奇数D假设a，b，c至多有两个奇数解析：命题“a，b，c中至少有一个是奇数”的否定是“a，b，c都不是奇数”，故选B.答案：B3因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f(x)是奇函数(小前提)，所以f(x)的图像关于原点对称(结论)上面的推理有错误，其错误的原因是()A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f(1)f(1)2，所以f(1)f(1)，所以f(x)不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错答案：B4某同学在电脑上打出如下若干个“”和“”：依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“”的个数是()A60 B61C62 D.63解析：第一次出现“”在第一个位置，第二次出现“”在第(12)个位置，第三次出现“”在第(123)个位置，第n次出现“”在第(123n)个位置123n，当n62时，1 953,2 0141 953610，则f(a)f(b)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D.正负都有可能解析：f(x)x3x，f(x)是增函数且是奇函数ab0，ab，f(a)f(b)，f(a)f(b)0.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11设f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)_.解析：f(n1)1，f(n1)f(n).答案：12已知点A(x1，3x1)，B(x2，3x2)是函数y3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论3成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函数ytan x的图像上任意不同两点，则类似地有_成立解析：因为ytan x图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数ytan x图像上的点的纵坐标，即有tan 成立答案：0，a11，an1(n1,2，)(1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.解：(1)证明：采用反证法假设an1an，即an，解得an0或an1，从而a10或a11，与题设a10，a11相矛盾，故an1an成立(2)a1，a2，a3，a4，a5，猜想：an.16(本小题满分12分)已知ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角证明：法一(分析法)：要证明B为锐角，因为B为三角形的内角，则只需证cos B0.又cos B，只需证明a2c2b20.即证a2c2b2.a2c22ac，只需证明2acb2.由已知，即2acb(ac)，只需证明b(ac)b2，即证acb成立，在ABC中，最后一个不等式显然成立B为锐角法二(综合法)：由题意得：，则b，b(ac)2acb2(acb)cos B0，又ycos x在(0，)上单调递减，0B，即B为锐角17(本小题满分12分)已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.因为0a1,0b1,0c0.由基本不等式，得.同理，.将这三个不等式两边分别相加，得，即，这是不成立的，故(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.18(本小题满分14分)是否存在二次函数f(x)，使得对于任意nN，都有f(n)成立，若存在，求出f(x)；若不存在，说明理由解：假设存在二次函数f(x)ax2bxc(a0)，使得对于nN，都有f(n)成立当n1时，abc1，当n2时，4a2bc，当n3时，9a3bc，联立式得a，b，c，则由以上可假设存在二次函数f(x)x2x，使得对于nN，都有f(n)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，1，f(1)1，所以f(1)成立；(2)假设当nk时，f(k)成立，那么，当nk1时，(k1)f(k)(k1)(k1)(k1)(k1)k1(k1)2(k1)f(k1)，故当nk1时，f(k1)也成立由(1)(2)知，对于nN，f(n)都成立即存在二次函数f(x)x2x，使得对于nN，都有f(n)成立