2022年高中数学 抛物线的几何性质知识精讲 文 人教版第二册

2022年高中数学 抛物线的几何性质知识精讲 文 人教版第二册【本讲教育信息】一. 教学内容：抛物线的几何性质二. 重点、难点：1. 重点： 抛物线的性质，焦半径，焦点弦的应用，数形结合。2. 难点：注意抛物线与椭圆、双曲线的联系。【典型例题】例1 给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。解：设（）（） 则 ，（1）当时，此时当时，（2）当时，此时当时，例2 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。解：当时，直线AB的方程为由得A（）、B（，） 当时，直线AB的方程为由得设A（）、B（），则 例3 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为由 得 直线与抛物线交于M、N两点 即，设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0） 以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点 MFNF 即又 ，且、同号 解得 即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。例4 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为由得 又 ， 又 例5 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离 从而当时，因此，当点P坐标为时，例6 已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知当大于零且小于BC的斜率时满足题意而，故。例7 设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/轴，证明：直线AC经过原点O。证法一：因为抛物线的焦点坐标为F（）所以经过点F的直线AB的方程为代入抛物线方程得0设A（）、B（），则 BC/轴，且点C在准线上 点C的坐标为故直线OC的斜率为即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O证法二：如图所示，设轴与抛物线准线的交点为E，过点A作AD，D为垂足则。连结AC，与EF相交于N，则，根据抛物线的几何性质，得， 点N是线段EF的中点，与抛物线的顶点O重合 直线AC经过点O证法三：设A（）、B（），由已知C得直线AC的方程为，把原点的坐标代入，得 利用得上面等式恒成立 直线AC经过点O证法四：设A（）、B（），由已知得C（）， 又 O是公共点 A、O、C共线，即AC过点O例8 如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。方法一：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（） 两点都在抛物线上 （1）（2），得 （3）（3）代入（2），得 ，且相异 的取值范围是（）方法二：设抛物线上关于直线对称的两点所在直线方程为，代入，得 ，且两点为相异两点 即 （1） 设两对称点为A（）、B（）则， 又 ，即 （2）（2）代入（1），得 的取值范围是（）【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题：1. 等腰直角三角形AOB内接于抛物线，O为抛物线的顶点，OAOB，则的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点（）在抛物线上，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 03. 已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若且的垂心恰是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点A（），的焦点是F，P是上的点，为使取得最小值，P点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线与直线的一个交点是（1，2），则抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点F，点P在抛物线上，若，则P点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A（）、B（）两点，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 48. 过抛物线（）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则的值为（ ）A. B. C. D. 二. 填空：1. 过抛物线的焦点，倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为 。2. 抛物线的焦点为F，准线交轴于点R，过抛物线上一点P（4，4）作PQ于点Q，则梯形PQRF的面积是 。3. 线段AB是抛物线的一条焦点弦，且，则线段AB的中点C到直线的距离是 。4. 抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上点A（）到焦点的距离为5，则抛物线方程为 。三. 解答题：1. 已知抛物线上有三点A（）、B（）、C（）且，若线段AB、BC在轴上射影之长相等，求证：A、B、C三点到焦点的距离顺次成等差数列。2. 过抛物线的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB中点的轨迹方程3. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC轴。证明：直线AC经过原点O【试题答案】一.1. B 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C二. 1. 16 2. 14 3. 4. 或或三.1. 证明：根据题意，得，即、成等差数列又由抛物线的定义得， 、成等差数列2. 解：设线段AB的中点为P（），OA的斜率为，则直线的方程为由得或依题意得A点的坐标为A（，） OAOB OB的斜率为，直线OB的方程为由得或 B点的坐标为线段AB的中点P（）满足即（2）式平方后减去（1）3，得为所求。3. 证明： 抛物线的焦点为F（） 经过点F的直线AB的方程可设为代入抛物线方程，得设，则是该方程的两根 BC/轴，且点C在准线上 点C的坐标为（） 直线OC的斜率为即也是直线OA的斜率 直线AC经过原点O