2022年高考数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第四讲 推理与证明 理

2022年高考数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第四讲 推理与证明 理1归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)归纳推理的思维过程如下：2类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(2)类比推理的思维过程如下：1“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提已知的一般性原理(2)小前提所研究的特殊情况(3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断2合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确1综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：2分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用下图所示的框图表示数学归纳法主要用于证明与整数有关的数学问题，分两步进行：(1)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时，命题也成立判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(6)2，3，4，6(a，b均为实数)，则可以推测a35，b6.()1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 012是数列an中的第5_030项；b2k1(用k表示)(2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面之间的平行线段相等”，这个类比命题是真命题(填“真命题”或“假命题”)2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.”这段推理的结论显然是错误的，这是因为(A)A大前提错误B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误3(xx山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是(A)A方程x2axb0没有实根B方程x2axb0至多有一个实根C方程x2axb0至多有两个实根D方程x2axb0恰好有两个实根解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程x2axb0至少有一实根”的反面是“方程x2axb0没有实根”故选A.4(xx新课标卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市丙说：我们三个去过同一城市由此可判断乙去过的城市为A解析：由丙说可知，乙至少去过A，B，C中的一个城市，由甲说可知，甲去过A，C且比乙去过的城市多，故乙只去过一个城市，又没去过C城市，故乙只去过A城市一、选择题1已知2，2，2，2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为(A)A.2B.2C.2D.2解析：由268，538，718，知选A.2若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ab，bc，ac不能同时成立其中判断正确的个数是(C)A0个B1个C2个 D3个解析：a，b，c是不全相等的正数，故正确错误；对任意两个数a，b，ab与ab及ab三者必有其一正确，故正确3已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*成立，那么(A)Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c解析：代入n1，2，3，联立关于a，b，c的方程组可得，也可通过验证法求解4已知f(x1)，f(1)1 (xN*)，猜想f(x)的表达式为(B)Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)5已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an(B)A. B.C. D.解析：由Snn2an知Sn1(n1)2an1，Sn1Sn(n1)2an1n2an，an1(n1)2an1n2an，an1an(a2)当n2时，S24a2，又S2a1a2，a2，a3a2，a4a3.由a11，a2，a3，a4.猜想an.二、填空题6. (xx福建卷)若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是6个解析：由于题意是只有一个是正确的所以不成立，否则成立，即可得a1，由b1即b2，3，4，可得b2，c1，d4，a3；b3，c1，d4，a2，两种情况由c2，d4，a3，b1，所以有一种情况由d4，即d1，2，3，可得d2，a3，b1，c4；d2，a4，b1，c3；d3，a2，b1，c4，共三种情况综上共6种7(xx福建卷)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：000，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于5.解析：因为x2x3x6x70，所以x2，x3，x6，x7都正确又因为x4x5x6x71，x1x3x5x71，故x1和x4都错误，或仅x5错误因为条件中要求仅在第k位发生码元错误，故只有x5错误8. (xx陕西卷) 观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥569 五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是FVE2解析：三棱锥：F5，V6，E9，得FVE5692；五棱锥：F6，V6，E10，得FVE66102；立方体：F6，V8，E12，得FVE68122；所以归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是：FVE2.故答案为FVE2.三、解答题9观察下表：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 011是第几行的第几个数？ (4)是否存在nN*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227213120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解析：(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101 024，2112 048，1 0242 0112 048，2 011在第11行，该行第1个数是2101 024，由2 0111 0241988，知2 011是第11行的第988个数(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.则an322n32n2，an1322n12n1，an2322n12n，an9322n152n7，Sn3(22n322n122n15)(2n22n12n7)322n1722n32n82n2，当n5时，S52271282138227213120.存在n5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227213120.10蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：.解析：(1)f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1(直接给出结果也可)(2)当n2时，.当n1时，显然结论成立，当n2时，1()()11.综上，结论成立