2022年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划 理

2022年高考数学二轮复习 专题1 高考客观题常考知识 第3讲 不等式与线性规划 理不等式的解法1.设f(x)=则不等式f(x)2的解集为(B)(A)(,+) (B)(-,1)2,)(C)(1,2(,+)(D)(1,)解析:原不等式等价于或即或解得2x或x3成立的x的取值范围为(C)(A)(-,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,+)解析:f(-x)=,由f(-x)=-f(x)得=-,即1-a2x=-2x+a,化简得a(1+2x)=1+2x,所以a=1.f(x)=.由f(x)3,得0x1,故选C.3.(xx陕西西安市模拟)关于x的不等式x2-2ax-3a20(a0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=12,则实数a的值等于.解析:因为关于x的不等式x2-2ax-3a20(a0)的解集为(x1,x2),所以x1+x2=2a,x1x2=-3a2,又x2-x1=12,(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2,所以144=4a2+12a2=16a2,解得a=3,因为a0,所以a=-3.答案:-3简单的线性规划问题4.(xx北京卷)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为(D)(A)0(B)1(C)(D)2解析:由x,y的约束条件可画出可行域(如图所示),其中A（,）,B(0,1),易知直线x+2y-z=0经过点B(0,1)时,z取最大值2,故选D.5.(xx浙江温州市第二次适应测试)若实数x,y满足不等式组且z=y-2x的最小值等于-2,则实数m的值等于(A)(A)-1(B)1(C)-2(D)2解析:由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,此时z取得最小值为-2,即y-2x=-2,由解得即A(1,0),点A也在直线x+y+m=0上,则m=-1.故选A.6.(xx贵州遵义市第二次联考)若则目标函数z=的取值范围是(A)(A)2,5(B)1,5(C),2(D)2,6解析:z=1+2,可理解为求斜率的最值问题,画出可行域如图阴影部分,可知k=在(1,2)点处最大,最大为2;在(2,1)点处最小,最小为,所以z的取值范围为2,5.故选A.7.(xx河南开封市模拟)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:作出区域D的图象,联系指数函数y=ax的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点.则a的取值范围是10,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn0)上,则+的最小值为(B)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:函数y=a1-x(a0,a1)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线mx+ny-1=0(mn0)上,所以m+n=1,所以+=(m+n)(+)=2+2+2=4,当且仅当m=n=时取等号.故选B.9.(xx河南郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为(C)(A)32 (B)32 (C)64(D)64解析:设该三棱锥的高为h,由三视图知,两式相减并整理得x2+y2=128.又因为xy=64(仅当x=y时取等号).10.(xx广东深圳市第一次调研考试)已知向量a=(-1,1),b=(1,)(x0,y0),若ab,则x+4y的最小值为.解析:由ab得-1+=0,+=1,(x+4y)(+)=5+2+5=9.（当且仅当=时取等号）答案:9一、选择题1.(xx四川资阳市三模)已知loalob,则下列不等式一定成立的是(A)(A)（）a(C)ln(a-b)0(D)3a-b1解析:因为y=lox是定义域上的减函数,且loab0.又因为y=()x是定义域R上的减函数,所以()a()b;又因为y=xb在(0,+)上是增函数,所以（）b（）b;所以（）a（）b,选项A正确.2.(xx湖南卷)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为(A)(A)-7(B)-1(C)1(D)2解析:画出可行域如图所示.当直线y=3x-z过点C(-2,1)时,z取最小值,故zmin=3(-2)-1=-7.故选A.3.(xx广西柳州市、北海市、钦州市1月份模拟)设变量x,y满足约束条件则z=2x的最小值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:可得z=2x-2y,设m=x-2y,不等式组表示的平面区域如图阴影部分,平移直线l:y=x,由图象可知直线l经过点A时,其截距最大,m最小,z最小,解方程组得A(2,2),则z最小=.4.(xx江西南昌市第一次模拟)已知实数x,y满足若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为(C)(A)4(B)3(C)2(D)-解析:作出可行域如图,根据目标函数的几何意义可转化为直线y=-2x+z的截距,可知在N点z取最小值,在M点z取最大值.因为N(m-1,m),M(4-m,m),所以zM-zN=2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,所以m=2.5.(xx甘肃省河西五地市高三第一次联考)已知集合(x,y)|表示的平面区域为,若在区域内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为AOB.由解得即B(4,-4).由解得即A（,）.直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),则OAB的面积S=2+24=.点P的坐标满足不等式x2+y22区域面积S=()2=,由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y22的概率为=.故选D.6.(xx陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(D)甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128(A)12万元(B)16万元(C)17万元(D)18万元解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.7.设f(x)=ln x,0ab,若p=f(),q=f(),r=f(a)+f(b),则下列关系式中正确的是(C)(A)q=rp(C)p=rq解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0a,所以ln ln ,所以p=r0,b0)满足约束条件且最大值为40,则+的最小值为(B)(A)(B)(C)1(D)4解析:不等式表示的平面区域为如图阴影部分,当直线z=ax+by(a0,b0)过直线x-y+2=0与直线2x-y-6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a0,b0)取得最大值40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而+=(+)=+(+)+1=.故选B.9.(xx山东卷)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值2时, a2+b2的最小值为(B)(A)5(B)4(C)(D)2解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a+b=2.法一将2a+b=2两边分别平方得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2a2ba2+4b2,当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号.所以204a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),所以a2+b24,即a2+b2的最小值为4.故选B.法二将2a+b=2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2+b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其最小值为坐标原点到直线2a+b=2距离的平方,即()2=4.故选B.10.(xx重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(B)(A)-3(B)1(C)(D)3解析:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则m-1.由解得即A(1-m,1+m).由解得即B(-m,+m).因为SABC=SADC-SBDC=(2+2m)(1+m)-(+m)=(m+1)2=,所以m=1或m=-3(舍去),故选B.11.(xx四川宜宾市二诊)已知集合A=xR|x4+mx-2=0,满足aA的所有点M(a,)均在直线y=x的同侧,则实数m的取值范围是(A)(A)(-,-)(,+)(B)(-,-1)(1,)(C)(-5,-)(,6)(D)(-,-6)(6,+)解析:因为集合A=xR|x4+mx-2=0,所以方程的根显然x0,原方程等价于x3+m=,原方程的实根是曲线y=x3+m与曲线y=的交点的横坐标,而曲线y=x3+m是由曲线y=x3向上或向下平移|m|个单位而得到的,若交点(xi,)(i=1,2)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与y=交点为(-,-),(,);所以结合图象可得或解得m或m-.故选A.12.已知函数f(x)=x+sin x(xR),且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)0,则当y1时,的取值范围是(A)(A),(B)0,(C),(D)0,解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),且f(x)=1+cos x0,所以函数f(x)为奇函数,且在R上是增函数.所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)0,得f(y2-2y+3)f(-x2+4x-1),所以y2-2y+3-x2+4x-1,即(x-2)2+(y-1)21,其表示圆(x-2)2+(y-1)2=1及其内部.表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率.结合图形分析可知,直线AC的斜率=最小,切线AB的斜率tanBAX=tan 2PAX=最大.故选A.二、填空题13.(xx江苏卷)不等式4的解集为.解析:不等式4可转化为22,由指数函数y=2x为增函数知x2-x2,解得-1x0,则x的取值范围是.解析:由题意,得函数f(x)的草图如图所示.因为f(x-1)0,所以|x-1|2,所以-2x-12,所以-1x0恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式+-m0恒成立,即3(+)3m恒成立.又正数a,b满足a+2b=3,(a+2b)(+)=+2,当且仅当a=b=1时取“=”,所以实数m的取值范围是(-,).答案:(-,)16.(xx浙江卷)已知函数f(x)=则f(f(-3)=,f(x)的最小值是.解析:因为-31,所以f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,所以f(f(-3)=f(1)=1+-3=0.当x1时,f(x)=x+-32-3(当且仅当x=时,取“=”),当x1时,x2+11,所以f(x)=lg(x2+1)0,又因为2-30,所以f(x)min=2-3.答案:02-3