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第1课时函数的单调性(教师独具内容)课程标准：1.理解函数的单调性和单调区间的概念.2.会划分函数的单调区间，判断函数的单调性，会用符号语言表达函数的单调性.3.会用定义证明函数的单调性教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性教学难点：用定义证明函数的单调性.【知识导学】知识点一函数的单调性及其符号表达(1)函数单调性的概念函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性(2)函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减知识点二增函数、减函数当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)知识点三单调区间如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间【新知拓展】1单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间D；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x10时单调区间与f(x)相同，当k0时单调区间与f(x)相反1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性()(2)函数单调递增(减)定义中的“x1，x2D”可以改为“x1，x2D”()(3)若区间D是函数f(x)的一个单调递增区间，且x1，x2D，若x1x2，则f(x1)f(x2)；反之也成立()(4)设D是函数f(x)定义域内的某个区间，若x1，x2D，当x1f(x2)，则f(x)在区间D上不单调递增()(5)对于二次函数yx22x3，它在(，0上单调递减，所以它的单调递减区间是(，0()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)x的图象如图1所示，从左至右图象是上升的还是下降的：_.(2)已知函数yf(x)的图象如图2所示，则该函数的单调递增区间是_，单调递减区间是_(3)下列函数f(x)中，满足x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是_f(x)x2；f(x)；f(x)|x|；f(x)2x1.答案(1)上升的(2)(，1，(1，)1,1(3)题型一 证明或判断函数的单调性例1证明：函数f(x)x在(2，)上单调递增证明x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).2x1x2，x1x24，x1x240.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)x在(2，)上单调递增金版点睛定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作利用定义法判断函数的单调性的步骤为：注意：对单调递增的判断，当x1x2时，都有f(x1)0或0.对单调递减的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或0.利用单调性的定义判断函数f(x)在(1，)上的单调性解x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).1x10，x110，x210.0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)f(x)在(1，)上单调递减.题型二 求单调区间例2(1)求函数y|x22x3|的单调递增区间与单调递减区间；(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间解(1)令f(x)x22x3(x1)24.作出f(x)的图象，保留其在x轴上及其上方部分，将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，得到y|x22x3|的图象，如图所示由图象，得原函数的单调递增区间是3，1和1，)，单调递减区间是(，3和1，1(2)函数f(x)可化为：f(x)|x3|x3|作出函数f(x)的图象如图所示由图象知函数的单调区间为(，3，3，)其中，单调递减区间为(，3，单调递增区间为3，)金版点睛常用画图象求单调区间(1)对于函数单调区间的确定，常借助于函数图象直接写出(2)对于含有绝对值的函数，往往转化成分段函数去处理其图象，借助于图象的变化趋势分析相应函数的单调性(区间)(3)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域(1)根据下图说出函数的单调递增区间与单调递减区间；(2)写出f(x)|x22x3|的单调区间解(1)函数的单调递增区间是0,2，4,5，函数的单调递减区间是1,0，2,4(2)先画出f(x)的图象，如图所以f(x)|x22x3|的单调递减区间是(，1，1,3；单调递增区间是1,1，3，).题型三 抽象函数的单调性例3设f(x)是定义在R上的函数，对m，nR，恒有f(mn)f(m)f(n)(f(m)0，f(n)0)，且当x0时，0f(x)0；(3)f(x)是减函数证明(1)根据题意，令m0，可得f(0n)f(0)f(n)f(n)0，f(0)1.(2)由题意知x0时，0f(x)0，当x0，0f(x)0.xR，恒有f(x)0.(3)x1，x2R，且x10，又x2x10，0f(x2x1)1，故f(x2)f(x1)0时，f(x)x1，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x)为减函数.题型四 复合函数的单调性例4求函数f(x)的单调区间解易知函数f(x)的定义域为x|x4或4x2令u82xx2(x1)29，易知其单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)函数yf(x)的单调递增区间是(1,2)和(2，)，单调递减区间是(，4)和(4，1金版点睛一般地，对于复合函数yfg(x)，如果tg(x)在(a，b)上单调，并且yf(t)在(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上也单调，那么yfg(x)在(a，b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数判断复合函数yfg(x)的单调性的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)将复合函数分解成yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调性；(4)确定复合函数yfg(x)的单调性已知函数f(x)在定义域0，)上单调递减，求f(1x2)的单调递减区间解f(x)的定义域为0，)，1x20，即x21，故1x1.令u1x2，则f(1x2)f(u)u1x2在0,1上单调递减，f(1x2)在0,1上单调递增；u1x2在1,0上单调递增，f(1x2)在1,0上单调递减故f(1x2)的单调递减区间为1,0.题型五 函数单调性的应用例5(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上单调递减，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围；(2)已知函数f(x)x22(1a)x2在(，4上单调递减，求实数a的取值范围解(1)由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上单调递减，且f(1a)2a1，即a.由可知，0a.即所求a的取值范围是.(2)f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，函数f(x)的单调递减区间是(，1a又函数f(x)在(，4上单调递减，1a4，即a3.所求实数a的取值范围是(，3金版点睛利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上(2)相关结论正向结论：若yf(x)在给定区间上单调递增，则当x1x2时，f(x1)x2时，f(x1)f(x2)；逆向结论：若yf(x)在给定区间上单调递增，则当f(x1)f(x2)时，x1f(x2)时，x1x2.当yf(x)在给定区间上单调递减时，也有相应的结论(1)已知函数f(x)x2bxc对任意的实数t都有f(2t)f(2t)，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小；(2)已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围解(1)由题意知f(x)的图象的对称轴方程为x2，故f(1)f(3)，由题意知f(x)在2，)上单调递增，所以f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)(2)由题意，得解得1x2.因为f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，所以x21x，解得x，由得1x.所以满足题设条件的x的取值范围为.1下图中是定义在区间5,5上的函数yf(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性答案C解析函数在区间3,1和4,5上单调递减，在区间3,14,5上无单调性故选C.2下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是()Ay|x| By3xCy Dyx24答案A解析因为10，所以一次函数yx3在R上单调递减，反比例函数y在(0，)上单调递减，二次函数yx24在(0，)上单调递减故选A.3对于函数yf(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1x2，使f(x1)x2，则f(x1)f(x2)，由x1，x2(0，)，得x110，x210，又由x1x2，得x1x20，故f(x1)f(x2)0，即函数f(x)在(0，)上单调递增- 11 -
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