第八章多元函数微积分

第八章 多元函数微积分一、知识剖析1.知识网络空间直角坐标系坐标系的构成空间点的坐标空间解析几何简介空间两点间的距离公式曲面方程的概念 平面及其方程 常见二次曲面：球面、柱面、旋转曲面多元函数微分学概念运算应用多元函数：二元函数的定义域、图形 二元函数的极限与连续 偏导数 全微分偏导数全微分无条件极值条件极值：拉格朗日乘数法利用定义计算 多元复合函数的链导法则 多元隐函数求导必要条件充分条件概念的引入：曲顶柱体的体积概念二重积分： “ 和式 ” 的极限二重积分的几何意义二重积分的性质运算利用直角坐标计算 利用极坐标计算应用求立体的体积求平面薄片的质量概念的引入：变力沿曲线做功问题概念 概念的本质： “ 和式 ” 的极限性质对坐标的曲线积分运算：化为一元函数定积分格林公式格林公式 计算平面闭区域的面积格林公式的应用计算对坐标的曲线积分定义与路径无关的条件充要条件计算曲线积分的简便方法2、知识重点与学习要求2.1 了解空间直角坐标系， 掌握空间两点间的距离公式， 了解曲面方程的概念， 了解几种常见的 曲面方程及其图形：球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面等。2.2 理解多元函数概念，了解多元函数极限与连续的含义。2.3 理解偏导数、全微分、高阶偏导数的概念，掌握计算方法。2.4 掌握复合函数的链导法则，能正确应用链导法则求多元复合函数的偏导数。2.5 会求隐函数的偏导数；2.6 理解多元函数极值的概念，会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题；会求一些简单的多元函数的最大值、最小值问题。2.7 了解二重积分的概念及其性质，理解二重积分的几何意义。2.8 会计算较简单的二重积分（利用直角坐标系、极坐标系） ；会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间曲面所围成的体积、平面薄板质量）。2.9 了解对坐标的曲线积分的概念及性质，掌握对坐标的曲线积分的计算；了解格林（Green）公式，掌握曲线积分与路径无关的条件，并会用于曲线积分的计算。3、概念理解与方法掌握3.1 空间解析几何简介3.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系是空间图形与数（组）结合的工具（1）空间直角坐标系的构成：原点：空间任取一个定点O ;坐标轴：空间相交于同一点 。，且两两相互垂直的三个数轴:Ox轴（横轴）：水平由左向右；Oy轴（纵轴）：水平由里向外；Oz轴（竖轴）：垂直由下向上。（2）空间点的坐标空间点M 一一对应有序实数组（x,y,z）（即点的坐标）。要求：由点的坐标准确描出对应的点（3）空间两点A（x1，yz）, Bd, yzZ）间的距离ABx1）2 汕 y1）2 仁乙）23.1.2曲面的方程曲面：在空间满足一定条件的动点的轨迹曲面的方程：曲面上任意一点（动点）的坐标x, y,z所满足的方程F（x,y,z） 0要求：由常见曲面的方程作出图形（1）平面方程一一三元一次方程._，2_2_2_Ax By Cz D 0（A B C 0）2_ 2_ 2注意：上式中，只要满足 ABC 0 （即A、B、C不全为零），其图形即为平面。若D 0 平面不过原点，若 D 0 平面过原点； 要注意方程中 A、B、C有一个或两个为零时，其图形的特点：A、B、C有一个为零时，平面平行或过某一坐标轴。如C 0时，方程变为Ax By D 0 此时，若D 0 平面平行于z轴，若D 0 平面过z轴；DA、B、C有两个为零时，平面平行或过某一坐标平面。如 A B 0时，方程变为z ,C此时，若D 0 平面平行于xOy平面，若D 0,平面即xOy平面。作方程的图形时，要考虑前提条件。如方程 x 1在数轴上(一维坐标系)，它表示一个点；在直角坐标(二维坐标系)平面内，它表示一条垂直于x轴的直线；在空间直角坐标系(三维坐标系)中，它表示一个垂直于x轴的平面。(2)球面球心在点(a,b,c),半径为R的球面方程 222_2(x a) (y b)(z c)R特例，球心为原点，半径是R的球面方程2222x y z R(3)柱面平行于一条定直线l ,沿定曲线c移动的动直线L的轨迹叫做 柱面，定曲线c叫做柱面的准线， 动直线L叫做柱面的母线要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程方程的特点：缺少三个量x, y,z中之一，具体如下：形如F (x, y) 0的方程，表示母线平行于 z轴的柱面；形如F(x,z) 0的方程，表示母线平行于 y轴的柱面；形如F (y, z) 0的方程，表示母线平行于 x轴的柱面。常见几种母线平行于 x轴的柱面：圆柱面：x2 y2 R2 ( R 0)22椭圆柱面：一2 2- 1(a0, b0)a b抛物柱面：x2 2py ( p 0 )22y x 双曲枉面：J 1(a0,b0)a b注意：以上几个方程，在平面直角坐标系中分别表示圆周、椭圆、抛物线、双曲线，而在空间 直角坐标系中表示柱面(是曲面而不是曲线)(4)旋转曲面旋转曲面：一条平面曲线绕着同一平面内的一条定直线旋转一周而成的曲面要求：坐标平面内的曲线绕着坐标轴旋转而成的曲面 旋转面方程的写法：yoz平面内的曲线f(y,z) 0绕着y轴旋转而成旋转面的方程：f(y, qx z2) 0绕着z轴旋转而成旋转面的方程：f ( Jx2 y2, z) 0注意：由旋转曲面的定义可知，曲线 f(y，z) 0不能绕着x轴旋转。x 0另外两种情况读者可类似写出。旋转曲面作图关键：观察方程的特点，分析旋转面如何形成。方程的特点：形如f (x2 y2,z) 0 ：表示曲线形如f(x2 z2,y) 0 ：表示曲线22.形如f (y z ,x) 0 ：表示曲线22f(y2,z)0f(x2,z)x 0y 022f(x2,y)0f(z2,y)敦z 0x 0f(y2,x)0f(z2,x)或z 0y 00绕着z轴旋转而成的旋转面；0绕着y轴旋转而成的旋转面;0绕着x轴旋转而成的旋转面；3.2 多元函数3.2.1 概念理解(1)多元函数：一个变量(因变量)随多个变量(自变量)变化的函数。“元”指自变量的个数,有几个自变量就是几元函数。二元函数的定义域在几何上即直角坐标平面内的点集:D= (x, y) x, y满足的条件区域.围成区域的曲线称(2) 平面区域(简称区域)的相关概念：区域平面上由一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面称为 为区域的边界，边界上的点称为 边界点.注：如果部分平面内任意两点均可用完全属于该部分平面的折线连接起来，则该部分平面称为连通的.开区域和闭区域不包括边界的区域称为 开区域，包括边界的区域称为 闭区域。 有界区域和无界区域如果一个区域（开或闭）内任意两点之间的距离都不超过某一正数M ,称为有界区域，否则称为无界区域.注：有界区域可以包含在以原点为圆心，半径足够大的圆周内，即有界区域不可能向远离原点 的方向无限延伸，而无界区域情形相反。单连通区域和复连通区域如果平面区域D区域D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.可以试想，一个没有小岛的平静湖面就是一个单连通Z 面是一个复连通水面（区域）。常用的区域：开或闭的矩形域：axb； axbcyd cyd开或闭的圆形域：（x, y）（x x0）2 （y y0）22 2（x, y）（x xo） （y y。）点（xo,y）的 邻域：（x, y）（x x。）2 （y y（点（x,y。）的去心 邻域：（x, y）。（x x。）2封闭曲线所围的部分都属于该区域，则称（区域），而一个有若干小岛的平静湖2222（y y。）说明：一般地，二元函数的定义域是一个或几个平面区域，要求会求二元函数的定义域并图示。（3）二元函数的几何表示：二元函数即三元方程，其图形一般为曲面，该曲面在 xoy平面上的 投影即函数的定义域。3.2.2 二元函数的极限与连续（1）二元函数的极限（二重极限）二元函数的极限（二重极限）是一元函数极限的推广，但又比一元函数复杂得多。对于一元函数y f （x） , “ xx。”表示x从x0的左右两侧无限接近于x0 ；而对于二元函数 z f （x, y）,“ （x, y）（x。，y。）”表示（x, y）在点（x。，y。）的去心邻域内以任意方式无限接近于（,y。），有无数多种方式。在学习中，要着重理解函数极限的思想：变量的变化趋势。（2）二元函数z f （x, y）在点（,y。）连续，即有limf（x,y） f （%, y0）或 lim f （x,y） f（xo,y。） 0 x X0x X0y yoy y0成立。学法指导：理解函数连续的思想若z f （x, y）在点（x0, y0）连续，则当自变量（x, y）在点（x0, y0）的改变量很小时，函数值的改变量也很小；若z f （x, y）在点某个区域连续，则在该区域内，函数的图形（曲面）既没有“洞（间断点）”，也没有“缝（间断线）有界闭区域上二元连续函数的性质最值定理 有界闭区域上二元连续函数必有最大值和最小值。即从其图形上看，这部分图形一定有最高点（该点的竖坐标即函数的最大值）和最低点（该点的竖坐标即函数的最小值）。介值定理有界闭区域上二元连续函数可以取得介于最大值和最小值之间的任何数值。注意：如果不是有界闭区域上的连续函数，以上两个结论未必成立。3.3 偏导数和全微分3.3.1 概念理解（1）偏导数即多元函数分别随每一个自变量变化的快慢程度。（2）全微分是多元函数全增量的近似值。当自变量的改变量足够小时，可以用函数的全微分近似代替函数的全增量，这是全微分的应用之一。（3）在学习多元函数微分学时，注意与一元函数微分学的区别：可导与连续的关系一元函数在某一点可导必连续，反之未必；二元函数在某一点连续与可导（两个偏导数都存在） 无关。 可导与可微的关系一元函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点可微二元函数在某点可微则一定可导；反之，二元函数在某点可导不一定可微（全微分存在），当两个偏导数存在且连续时，函数在该点一定可微。3.3.2 偏导数和全微分运算（1）运算基本方法：对于多元函数，有几个自变量就有几个（一阶）偏导数，对某一个自变量求偏导数，将其余自变量看做常数，利用一元函数求导数的方法求导即可。（2）高阶偏导数：注意记号的含义2例如，对二元函数z f （x, y）,二阶偏导数 z表示函数对自变量x求两次偏导数；x22一z和一二表示两个混合二阶偏导数，两者均为分别对x和y各求一次偏导数，不同之处是求导次序不同， z表示先对x后对y求导，而 一z相反。 x yy x222222注意：一般地，一z=一z未必成立。当 一z和 一z均连续时，有 一z = 一z x y y xx y y xx y y x结论：高阶混合偏导数存在且连续时，求导结果与求导次序无关。(3)全微分对于二元函数 z f (x, y) , dz dx dyx y对于三元函数u f(x, y,z), u . u , u .du dx dy dz x y z(4)多元复合函数求导法则要求：理解链导法则，注意“链”的构成，能够确定函数中自变量的个数和中间变量的个数。有几个自变量就有几个偏导数，即有几个“链”；中间变量的个数决定每一个“链”的“节”数。例如，函数设 s f(u,v),且 u u(x,y,z),v v(x,y,z),则有ssusvxuxvxssusvyuyvyssusvzuzvz说明：此函数有三个自变量，故有三个一阶偏导数；两个中间变量，因而每一个偏导数的表达 式(即一个“链”)有两项相加。(5)多元隐函数的导数“隐”是相对于“显”来说的，形如 z f(x, y)的函数叫做二元显函数；若给定三元方程F(x,y,z) 0 ,可以认为其中“隐藏”着函数z f(x,y),称为由方程F(x,y,z) 0确定的隐函数。注意到隐函数有时很难化为显函数。隐函数求导法： 求由方程F(x, y) 0确定的一元隐函数的导数 dy. dx ,dy = Fx(x, y)dxFy(x,y)其中Fx(x,y)和Fy(x, y)分别表示x,y的二元函数F(x,y)对x,y的偏导数； 求由方程F(x,y,z)0确定的二元隐函数的偏导数三和 tx y ,_z = Fx(x, y, z)_z = Fy(x,y,z)xFz(x, y,z) y Fz(x, y,z)其中 Fx(x,y,z)、Fy(x, y,z)和 Fz(x, y, z)分别表示 x,y,z 的三元函数 F(x,y,z)对 x,y,z 的偏 导数；3.4 多元函数的极值(偏导数的应用)3.4.1 极值的概念：(1)极值是小范围的最值(2) 极值与最值的区别与联系本质：极值是局部概念，而最值是 整体概念。对于有界闭区域上的二元连续函数，极值与最值的区别如下：最大值和最小值一定存在，且各有一个，而极值可能有各种情形：极大值和极小值都存在且 不止一个、都不存在、只存在极大值或极小值等。 最大值一定大于最小值，而极大值未必大于最小值；最值可能在区域内部取得，也可能在区域的边界上取得，而极值只能在区域内部取得。(3)极值与最值的联系：如果函数的最大(小)值在区域内部取得，该值一定是函数的极大(小)值。3.4.2 极值存在的必要条件：结论1可导函数(指多元函数一阶偏导数都存在)的极值点一定是驻点，而驻点不一定是极值八、,结论2函数的不可导点也可能是函数的极值点。即，函数的可能极值点驻点不可导点注：以上结论对于一元函数和多元函数均成立。函数的驻点：一元函数y f(x)： f (x) 0的实数解x0二元函数 z f(x,y)：fx,y) 0 的实数解(%,yo)fy(x, y) 0fx(x, y,z) 0三元函数 u f (x, y, z) ：fy(x, y,z) 0的实数解(x0,y0,z0)fz(x, y,z) 0以此类推。3.4.3 极值的求法(充分条件)(1)无条件极值要求：会求二元函数z f(x,y)的极值(仅限具有二阶连续偏导数的二元函数)求法(步骤)：确定函数的定义域(如果指定区域，即在所给区域讨论)；求出函数的两个一阶偏导数，并求出函数在定义域(或所给区域)内的所有驻点(xo,y0)为一驻点)； 求出函数的所有二阶偏导数，对于每一个驻点(x0,y0)，计算出以下几个值:A fxx(Xo, yo) B fx4X0,yo)fyx(Xo,yo) C fy/Xoy。)IV)根据A, B, C判断出函数的极值(见教材)。(2)条件极值例如：求函数u f (x, y, z)在条彳(x, y, z) 0下的极值解法1化为无条件极值从条彳(x, y, z) 0中解出一个量(比如解出z z(x, y),代入函数u(假设f (x, y, z)中,得u f (x, y, z(x, y),再依照无条件极值的求法解决。解法2拉格朗日乘数法 构造函数(称为拉格朗日函数，其中 称拉格朗日乘数)解方程组L x L y L z L求出x, y, z和，其中fx(x, y,z)x(x, y,z)fy(x, y,z)y(x,y,z)fz(x, y,z)z(x,y,z)(x,y,z) 0x, y, z就是可能极值点的坐标000.最后判定是否为极值点L(x, y,z, ) f (x, y, z) (x, y,z)说明：实际问题中的最大(小)值问题，一般都是条件极值问题。3.5 二重积分3.5.1 概念( 1 )概念的引入引例： 计算曲顶柱体的体积引入方法：由已知(平顶柱体的体积 =底面积X高)探究未知。解决问题的方法： 类似于求曲边梯形的面积(一元函数定积分的引例)解决问题的步骤： 分割 (化整为零)：将曲顶柱体划分为很多小曲顶柱体； 取近似 (在小范围用不变代变) ：将小曲顶柱体的体积近似用平顶柱体体积代替； 求和 (积零为整)：曲顶柱体体积近似于平顶柱体体积之和取极限 (精确化) ： “和式”的极限即为所求曲顶柱体的体积 2 )概念的理解 定义中的“两个任意” ： 区域 D 的划分和点 ( i , i ) 的取法n 极限 lim f ( i , i) i 存在指：对区域D 的任意一种划分法和( i, i) 的任意一种取0i1法，该极限都存在且为同一数值。此时称函数f (x, y) 在区域 D 上 可积， 且有nf (x,y)dlim0f( i, i) iDi1 如果函数 f (x, y) 在有界闭区域D 上连续，则函数在区域 D 上一定可积；( 3 )二重积分的几何意义当f(x,y) A 0时，二重积分 f(x,y)d 在几何上表示以曲面z f (x, y)为曲顶，有界闭区D域 D 为底的曲顶柱体的体积。 即由曲面 z f (x, y) 、 以区域 D 的边界为准线且母线平行于 z 轴的柱 面、 xOy 平面所围封闭几何体的体积。( 4 ) 二重积分的性质以下均假设所给函数在相应区域上可积。性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面；性质2有限个函数代数和的积分等于它们积分的代数和；性质3二重积分对积分区域具有可加性；性质 4 d ，其中 表示区域 D 的面积；性质5(中值定理)设函数 f (x, y) 在有界闭区域D 上连续， 表示区域 D 的面积，则在区域D 上至少存在一点 () ，使得下式成立：f (x, y)d f ()要求： 前三条性质为二重积分的运算法则，要重点掌握；第四条性质可用来求平面图形的面积。3.5.2 二重积分的计算运算的关键点： 将二重积分化为二次定积分(选择积分次序)( 1 ) 利用直角坐标系计算 先对 y 后对 x 积分若积分区域 D 可表示为不等式组1(x) y 2 (x) axb其中函数1(x)和2(x)在区间a,b上连续，则有b 2(x)f (x, y)d f(x, y)dydxa1(x)D 先对 x 后对 y 积分若积分区域 D 可表示为不等式组1(y) x 2(y) cyd则有d 2 (y)f(x,y)d c (y) f (x, y)dxdyD1axb 当积分区域 D 为矩形区域： 时，有 cydbddbf(x,y)d dx f (x, y)dy dy f (x,y)dxaccaD说明： 积分区域 D 有时可同时表示为以上( 1 )和( 2 )两种形式的不等式组，此时有b 2 (x)d2 ( y)f (x,y)d f(x,y)dydx f(x,y)dxdya 1 ( x)c 1 (y)D 有时需要将积分区域 D 划分为两个或以上(有限个)区域，每个区域分别表示为以上( 1)或中的不等式组，利用积分对区域的可加性计算； 计算二重积分时，有时还须考虑被积函数：同一个函数，选择两种不同的积分次序，有时会导致计算的繁简程度差别很大，有时会出现一种积分次序不能积出。综上所述，在计算二重积分时，既要考虑积分区域 D 的类型，还要考虑被积函数的特点，适当地选择积分次序.( 2)利用极坐标系计算一般地，当积分区域 D 为圆域、扇形域或是其中一部分时，其边界曲线用极坐标方程表示比较方便，可以考虑用极坐标计算。首先，若给出的积分为直角坐标形式，须将其化为极坐标形式：f (x, y)d f (r cos , r sin ) rdrdDD其次，根据积分区域D 的特点将二重积分化为二次积分，积分次序为先对极径r 后对极角 积分。 极点 O 在区域 D 之外区域 D 可表示为r1( ) rr2( )则有f (r cos ,rsin )rdrdDr2 ( )d f (r cos ,rsin )rdrr1 ( ) 极点 O 在区域 D 的边界上0 r r( ) 区域 D 可表示为则有f (r cos , rsin )rdrdDr( )d f(rcos , rsin )rdr 极点 O 在区域 D 的内部则有区域 D 可表示为0 r r( )02f(rcos , rsin )rdrdDr( )0f (r cos , rsin )rdr3.6 对坐标的曲线积分3.6.1 概念理解(1) “积分” (一元函数在闭区间上的定积分、二重积分、对坐标的曲线积分)是“和式”的极(2) “对坐标”指分别对坐标x 和对坐标 y函数 P(x, y) 在有向曲线弧L 上对坐标 x 的曲线积分：L P(x, y)dx lim0P( i i) xii1函数 Q（x, y） 在有向曲线弧L 上对坐标 y 的曲线积分：nL Q(x, y)dy lim0Q( i i) yiL0i1实际中，常用以上两个积分之和；（ 3 ）对坐标的曲线积分的性质 积分弧段反向，积分值变号（原来积分的相反数） ，即L P(x, y)dx LP(x,y)dxLQ（x, y）dy LQ（x,y）dy其中 L 表示与有向曲线弧L 为同一曲线弧且方向相反的有向曲线弧注：计算曲线积分时，一定要注意积分弧段的方向。 （对积分弧段的可加性） 如果将 L 分成L1 和 L2 ，即 L L1 L2 ，则Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx QdyLL1L2注：性质 2 可推广到将L 分成两个以上（有限个）弧段的情形。4）对坐标的曲线积分的力学意义：L P(x, y)dx Q(x, y)dy在力学上表示质点在变力F(x, y) P(x, y)i Q(x, y)j的作用下,沿着光滑的平面曲线 L 从起点到终点，力对质点所做的功。3.6.2 对坐标的曲线积分运算化为定积分（依据积分弧段的方程形式）1 ） 若曲线 L 由方程 y f （x） 给出，x a,x b 分别对应 L 的起点和终点，则有bP(x, y)dx Q(x,y)dy Px, f(x) Qx, f(x)f (x) dxLa2 )若曲线L 由方程 x ( y) 给出， y c, y d 分别对应 L 的起点和终点，则有dLP(x, y)dx Q(x, y)dy P (y), y (y) Q (y), y dyLc( 3)若曲线L 由参数方程(t)y (t)给出，t , t分别对应L的起点和终点，则有LP(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t) dt3.6.3格林公式(1)格林公式设平面闭区域 D由分段光滑曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有Q P()d? Pdx Qdyd x y,L其中L是D的取正向的边界曲线.注： 边界曲线L的正向：当观察者沿着L的这个方向行走时，区域 D内距他较近的部分总 是在他的左侧。 对于复连通区域，格林公式右端是包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界曲线的方向对D来说都是正向.格林公式相当于一元函数定积分的牛顿一一莱布尼茨公式在一元函数积分学中，函数f (x)在区间a,b上的定积分可以用它的原函数F(x)在区间端点处的函数值来表示，即ba f (x)dx F(b) F(a)a在平面闭区域上的二重积分可以用沿该区域的边界曲线上的曲线积分来表示，这就是格林公式(2)格林公式的应用计算平面区域的面积1d 一？ xdy ydxd 2 :L将计算曲线积分转化为计算二重积分八QP? Pdx Qdy(一 一)d,Ld x y3.6.4曲线积分与路径无关的条件(1)曲线积分与路径无关的定义设D是一单连通区域，P(x, y),Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数，如果对于D内任意指定的两点A和B ,以及D内从点A到点B的任意两条不同的分段光滑曲线弧L,、L2 ,恒有Pdx Qdy Pdx QdyLiL2成立，则称曲线积分Pdx Qdy在D内与路径无关(2)曲线积分与路径无关的条件 在单连通区域 D内曲线积分与路径无关的 充分必要条件是在D内沿任意闭曲线的曲线积 分为零.设D是一单连通区域，P(x, y),Q(x, y)在D内具有一阶连续偏导数，则在 D内曲线积分LPdx Qdy与路径无关(或在区域 D内沿任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件 是等式Q P x y 在D内恒成立.注：i )证明曲线积分在区域D内与路径无关常用上述充要条件；ii )如果曲线积分在区域 D内与路径无关，计算给定的曲线积分时，可以选择或改变积分 路径以使计算简便。二、例题解析1、空间解析几何例1指出下列平面的特点，并画出草图：(1) x y 2 0；(2)x y 0；(3) x 2y 4z 4 0；解：(1)方程中缺少z ,该平面过点(2,0,0)和0,2,0且平彳T于z轴，如图8-1 (1)(2)方程中缺少z和常数项，即C D 0,平面过z轴(过点(1,1,0),如图8-1 (2)(3)可求得该平面与 x,y,z轴的交点分别为(4,0,0),(0,2,0),(0,0,1),如图8-1 (3)另，该方程可化为 x - 1,称为平面的截距式方程，4、2、1分别叫做平面的横截距、纵截4 2 1距和竖截距。(D(2)图8-1例2.指出下列方程所表示的曲面，并画出草图:(1) z 44x y2 ；22(2) x y 2x 022(3) z 4 x y ；222(4) x y z 0；解：(1)该方程表示球心为坐标原点、半径为2的上半个球面，如图8-2 (1)的圆柱面,(3)该方程缺少如图 8-2此方程形如z,其图形是以xOy平面内的圆周x2 y2(2)22f (x y ,z) 0 ,表示yOz平面内的曲线2x 绕着z轴旋转而成的旋转抛物面，如图8-2 (3)2x0为准线、母线平行于 z轴2y或xOz平面内的曲线22(4)此万程形如 f(x y ,z) 0 ,表示yOz平面内的直线y ，或xOz平面内的直线0x 绕着z轴旋转而成的圆锥面，如图08-2(4)(i)(2)图8-22、偏导数和全微分例3求二元函数的定义域，并图示(1) z 7x2y21 ln(4 x2 y2)(2) z一一 xarcsin 一3arccos2(3) z解：(1)欲使函数有意义，须使22x y 1224 x y成立,故函数的定义域为D，、，22. 一一 一一一一(x, y)1 x y 4 ,如图8-3 (1)为圆环域;(2)欲使函数有意义，须使X3y2故函数的定义域为D1成立,1(x, y)|x 3, y 2 ,如图 8-3 (2)为矩形域;(3)欲使函数有意义，须使 x y 1 0成立,故函数的定义域为D (x, y)x y 1 0 ,如图8-3 (3)(1) (2)(3)图8-3例4求函数z exysin(x2 y2)的偏导数和全微分解法1按照多元函数求导法直接求偏导数注意：对某一个自变量求偏导数时，只需将其余的自变量看作常数，利用一元函数求导数的方 法即可. yexysin(x2 y2) exycos(x2 y2) 2xxexy ysin(x2 y2) 2x cos(x2 y2) xexy sin(x2 y2) exy cos(x2 y2) ( 2y) yexyxsin(x2 y2) 2y cos(x2 y2)全微分dz dx dy x yexyysin(x2 y2) 2xcos(x2 y2)dx exyxsin(x2 y2) 2ycos(x2 y2)dy解法2引入中间变量，按照多元复合函数的链导法则求偏导数设 xy u, x2 y2 v,贝1J有 z eu sin vz zu z v u . u -e ysinv e cosv 2xexy y sin(x2 y2) exy cos(x2 y2) 2x exy y sin(x2 y2) 2xcos(x2 y2)z zu z v u . ue xsinv e cosv ( 2y)exy xsin(x2y2) 2ycos(x2 y2)2 x f(x,y)一cosxy求 fx(1，0)解法1偏导函数与函数在某一点的偏导数间的关系，先求fx(x,y)再求 fx(1,0)22、，.、2xcosxy (x y )( sin xy) yfx(x, y)2cos xy22、,2xcosxy y(x y )sin xy2cos xy解法21,y 0代入得 fx 1,02根据函数在某一点的偏导数定义，fx(1,0)即一元函数f(x,0)(先确定y 0)在x 1点的导数f(x,0)fx(x,0)2x1,代入得fx 1,0说明:般地，对于二元函数z f x, y ,计算该函数在点 x0,y0处的偏导数fx xo,yo(或fy x0,y0 )时，以上解法2较简便。ln(x2 y2),2z2x2和一zx解:2x22x y2 z2 x2(x2 y2) 2x22 2(x y )2x2(x2y2)22 2(x y )2z 2x ( 2y) 4xy；-22T2 y22T2x y (x y ) (x y )例7求偏导数(抽象函数)(1) z f(x3,xy, x y)(2) u f (-,-)x y思路分析：本题属于抽象的多元复合函数，求偏导数时，须清楚掌握多元复合函数的链导法则解：(1)设 x3 u, xy v, x y则有 z f (u,v,)z uz vz w2 zzz3x y u xv xw x uvwz wzx w yv22f1 3xf2 y f3 3x f1 yf2 ff1 0 f2 x f3 ( 1) xf2 f33其中fl, f2, f3分别表示所给函数对X, xy, x y的偏导数(2)设“s, t,x y则有 u f (s,t)uusutyuxs xtxxsuusut1uzuysytyxsytuusut1uzsztzyt或.u x u y u zfl ( g) f2 0 xfl 1 f2 ( 4)x y1f1 x_11 f1 0f2 f2y yf2其中f1，f2,分别表示所名函数对，且的偏导数 x yf(x,y) arctan -,而 y x求dz dx思路分析：该函数是以x为自变量的一元函数，导数为 全导数dz解法dz f fdxdy 1dx 1 (A2 x11 (-)2xdx2x2 Jx2解法(x2 y2),1 x2(2x2 1),1.12 一x代入得zarctanL2,利用一元函数求导法有dzdx2x-：x2x1 x22 x.1 x2(2x2 1)1 x2求偏导数(1)2y3z2 xyz0，求-z和-zx y(2)2z4z 0 ,求 一2 .x解：此问题为多元隐函数的偏导数问题，利用隐函数求导法(1)解法1 令 F(x,y,z) x 2y3z 2 xyzFxyz- , Fy 2-xyzxzFz 3xyFxFz.xyz yz3 . xyz xyFyFz2、xyz xz3、xyz xy解法2方程两边对x求偏导数(注意z是x,y的函数)，得解得3xy(zxyzxyz yz3 ,；xyz xy同理可得,2上竺_xz y 3 , xyz xy(2)设F(x, y,z) x2z2 4zFx2x, Fz 2zFxxFzr7z2z2 xx (-) x(2 z)2(2xx 2 z z)2(2 z)2x2(2z)3例10求二元函数的极值f (x, y)x3y33x23y2 1解：函数的定义域为(x, y)fx(x, y)解方程组fy (x, y)3x23y2求得函数的驻点为(0,0)、6x 3x(x6y 3y(y2)2)(0, 2)、(2,0)、(2,2)6yfxx(x, y) 6x 6, fxy(x,y) 0, fyy (x,y)列表讨论:驻点ABC_ 2ACB AC的符号结论(0,0)606f (0,0)不是极值(0, 2)606f (0, 2)5是极大值(2,0)606f (2,0)3是极小值(2, 2)606f(2, 2)不是极值所以，函数有极小值f (2,0)3,极大值f (0, 2) 5.例11实际问题中的最大(小)值(条件极值)求内接于半径为 R的球且体积最大的长方体解：设长方体的三棱长分别为 x,y,z,体积为V2则有 V xyz 且x2 2z 4R该问题是求函数V xyz在条件x2y2z24R2下的条件极值问题方法1化为无条件极值由x2z2 R2 解出 z J4R2y2 ,代入V xyz,得xy、4R2 x20,y 0,x2y2 4R2)_2-y(4 R 2xy2)解方程组、4R2 x2 y2x(4R2 x2 2y2),4R2 x22R,3函数 V xy.,R2 x2在其定义域内只有一个驻点（胃,胃），据实际问题长方体的最大体积一定存在，故当 x2R2R时,长方体的体积取大，此时 z 因此，半径为 R的球的内接体积最大的长方体是棱长为2R,3的正方体。方法2利用拉格朗日乘数法构造函数 L(x, y,z, ) xyz/ 2222、(x y z 4R )2 22、y z 4R )2L(x,y,z, ) xyz (xLxyz2x0解方程组 Lyxz2y0Lzxy2z02222xyz R2R.3这是函数唯一的可能极值点，而根据实际问题长方体的最大体积一定存在，故得结论。3、二重积分例12计算二重积分(1) x2ydxdy其中D是由xy 2,x y 3所围成的闭区域D(2) xd ,其中D是由抛物线y x2与直线y x 2轴所围成的闭区域D(3) x2 cosxyd ,其中D是顶点为(0,0),(1,0),(1,1)的三角形闭区域.D.2(4) eyd ，其中D是由直线y x,y 1及y轴所围成的闭区域.D解：计算二重积分的关键点：选择积分次序(1)积分区域D如图8-4方法1选择先对x后对y积分2x 3 y图8-4区域D可表示为 y1 y 22 .2.3 y 2 ,2.13 3 yx ydxdy ydy 2 x dx ydy - x 2/yd,；13，2231487M9y 9y2 3y3 - y4 Rdy -13 3y 20方法2选择先对y后对x积分2区域D可表示为-y 3 x x1 x 2x2 ydxdyD2x2dx13 x2 ydyx2 2 .12 3 x1 x dx 2 y 2/x72012432-1 (x4 6x3 9x2 4)dx说明：对于该积分，两种积分次序难易相当(2)积分区域 D如图8-5(1)2解方程组y x得两条线的交点(1,1), (2,4)y x 2方法1选择先对y后对x积分图8-5 (1)区域D可表示为2 x 2229xd xdx 2 dy x(x 2 x )dxd1 x14方法2选择先对X后对y积分用直线y 1将区域D划分为上下两部分 口和口2如图8-5 (2),利用积分对区域的可加性计算区域Di可表示为图 8-5 ( 2)区域D2可表示为xd xd xdDD1D21 y4 ydy xdx dy xdx0y1 y 21y -x2 了4dy 1x2炉20 1 4(5yy24)dy -o 7 2&1，2y 2214小结：此题方法1较简便，不必将区域分块。(3)分析：积分区域D如图8-6,此题对于积分区域来说，选择两种积分次序都较简便；对于被积函数来说，选择先对x积分较繁琐(要经过两次分部积分法)，而选择先对y积分较简便区域D可表示为x2 cosxydD2dxxcosxydy0x2dx - sin xyx图8-6xsin x2dx-(cosx2) 21-(1 cos1)(4)该题目只能选择先对x后对y积分,若先对y积分，属于“积不出来”的积分区域D可表示为 02y dyydx01ye02y dy12(e1 1)例13交换所给二次积分的积分次序12 y0dy y f(x, y)dx,(2)edx1ln x0 f (x,y)dy解：(1)由所给二次积分可知，积分区域D可表示为 y x 2 y0 y 1故可作出积分区域 D如图8-7要选择先对y积分，须用直线 x 1将区域D划分为左右两部分 D1和D2,区域Di可表不为图8-7区域D2可表不为因此有12 y0dy y f(x,y)dx1 x22 x0dx 0 f (x,y)dy 1dx 0 f(x,y)dy(2)由所给二次积分可知，积分区域D可表不为0 y In x1 x e可作出积分区域D如图8-8区域D还可表示为因此有e In x1dx 0 f (x, y)dy例14计算二重积分ey x e0 y 11 e0dy eyf (x, y)dx图8-8(1) arctan dxdy D ：1 x2 y24Dx(2) (4 x y)d ，其中D是圆域x2Dy2 2y分析：这两个积分的积分区域为圆域或圆域的一部分，利用极坐标计算较简便八一， 一，1 r 2 一解：(1)在极坐标平面，积分区域 D可表本为 2如图8-9yarctan - dxdy rdrdDxD22d rdr01图8-9(2)区域D的边界曲线方程x2y22y化为极坐标形式为r 2sin八一,0 r积分区域D可表不为 0(4 x y)d(4 r cos r sin )rdrd2sin0(4 rcosrsin )rdrd 4 gr2 (cos sin ) ；r30sm8 (sin234sin cos sin )d33例15重积分的简单应用(1)求平面 2x 3y 6z 60与三个坐标平面所围成的立体(2)求圆柱面x2 y24与平面y z 2,z 0所围成的立体(3)求由等速螺线r 2上的一段弧(02 )与极轴所围成的平面图形的面积分析：求几何体的体积或平面图形的面积，首先应作出图形(1)由已知作出图形如图 8-11方法1所求立体是底面以(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0)为顶点的三角形，高为 1的三棱锥1 1根据公式得所求体积 V - 3 2 1 1 (立方单位) 3 2方法2所求立体是曲顶柱体：xOy平面内的闭区域D(由直线2x 3y 6 0, x 0, y 0所围成)，曲顶即平面2x 3y 6z 6 0 由二重积分的几何意义，得所求体积x y 3;x 2 x yV (1 - -)dxdy dx 3 (1 - -)dyD 3 2003 2图 8-113_ x、。3)dx(12dx 1(立方单位)(2)由已知作出图形如图8-12图 8-12所求立体是底面为平面闭区域D: x2 y2 4,顶是平面y z 2的曲顶柱体，故体积为(2 y)dxdy (2 r sin )rdrd20(2rr2sin )dr27(4 -sin )d 8 (立方单位)03(3)由已知作出图形如图8-13图8-130 r 2所求图形为极坐标平面内的闭区域D:02故其面积为A d rdrdDD02 d 02 rdr 16 3(平方单位)4、对坐标的曲线积分例16计算Jx y)dx(y x)dy,其中L为下列几种情形:(1) 沿直线由点(0,0)到点(1,1)；(2)沿折线由点(0,0)经过点(1,0)到点(1,1);(3)抛物线y x2由点(0,0)到点(1,1)图 8-14(4)抛物线x y2由点(0,0)到点(1,1)解：(1)积分弧段L的方程为y *?从0到11故 L(x y)dx (y x)dy 0 2xdx 1(2)将积分弧段L分为两段L1L2Li： y 0,x从0到 1, L2： x 1, y从0到 1 ,故有L(x y)dx (y x)dy L (x y)dx (y x)dy L (x y)dx (y x)dy LL1L2110xdx 0(y 1)dy 0(3)积分弧段L的方程为y x2, xW0到1122L(x y)dx (y x)dy (x x )dx (x x)2xdx12 (x x 2x )dx 一 03(4)积分弧段L的方程为x 丫2,丫从0到1122.L(x y)dx (y x)dy 0 (yy)2ydy (y y )dy0(2 y3 y2 y)dy 43(2,0)、说明：本例被积函数是同一函数，四个积分弧段的起点相同，终点也相同，所不同的是积分路 径，所得结果不同，说明该曲线积分与积分路径有关。例17计算曲线积分 ?L(x2 xy3)dx (y2 2xy)dy ,其中L是顶点分别为(0,0)、(2, 2)、(0,2)的正方形区域的正向边界解：方法1利用曲线积分的计算法直接计算将积分弧段L分为四段Li L2 L3 L4,利用曲线积分对积分弧段的可加性L1：y0从0到2,L2：x2,y从082,L3：y2,必 2到 0,L4：x0,y从 2到 0?L(x2 xy3)dx (y2 2xy)dy2 2.2, 2,、，0,2c、，02, c0 x dx 0 (y 4y)dy 2 (x 8x)dx 2 y dy 8方法2利用格林公式计算232P(x, y) x xy , Q(x,y) y 2xyQ _Px y222y ( 3xy ) 3xy 2y由格林公式得Zbxy3)dx (y2 2xy)dy2(3xy 2y)dxdyD其中D是顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)、(0,2)的正方形闭区域故有？(