空间解析几何与向量代数

高等数学（B）向量代数与空间解析几何练习题及解答1、 已知， ，的坐标式？与平行的单位向量？方向余弦？ 解：1） 2) 3） 4）与平行的单位向量为：。2、 设直线与直线平行，求。 解：，因为两直线平行，所以。3、 已知平面：与平面：垂直，求。 解：，因为两平面垂直，所以4、 已知平面与直线垂直，求B，m。 解：，因为垂直，所以有 。5、 求由为邻边组成的平行四边形的面积。 解：由两向量叉积的几何意义知：以，为邻边组成的平行四边行的面积 ，因为 故。6、 求以为顶点的三角形面积。 解：该三角形的面积即为以为邻边组成的平行四边行的面积的一半，即 ，因为 所以。7、 已知向量与轴夹角分别为，求A点坐标。解：由已知：，因为，故或因为，所以A点的坐标为或。8、 设，求，。解：1）=， 2）。9、 求过轴与点的平面方程。解1：设所求平面为，法向量为，因为平面过轴，故，又在上， 所以取，由平面的点法式知所求平面的方程为：。解2：由题意可设平面方程为，因为过，所以，故平面方程为。10、求过点且与平面都垂直的平面方程。解：设所求平面为，法向量为，由已知，可以取，其中， ，由平面的点法式知所求平面的方程为：。11、求过点且与直线垂直的平面方程。 解：设所求平面为，法向量为，由已知：直线的方向向量取为 ，因为平面与直线垂直，所以平面的法向量与直线的方向向量平行，故可以取，由平面的点法式知所求平面的方程为：。12、求点到平面距离。解：设点到平面的距离为则有。13、求与平面平行且相距为3的平面方程。解：设为平面上一点，它与已知平面的距离为3，由平面外一点到平面的距离公式知： ，故所求的平面方程为或。14、求过直线且与平面垂直的平面方程。 解：利用平面束方程来解，设过直线的平面束方程为： ，因为与平面垂直，故 ，所以所求的平面方程为： 。15、求平面与三坐标面围成的四面体的体积。 解：先将平面方程化为截距式：，其与三坐标轴的截距为 6、-3、2。所以所求的四面体体积为。16、求过点且与直线平行的直线方程。 解：设所求的直线为，其方向向量为，已知直线的方向向量取为，因为两直线平行，故取，由直线的对称式知所求的直线方程为。17、将直线方程化为对称式与参数式。解：1）先求平面上一点，令代入上面直线方程 2）由已知可以取直线的方向向量 3）直线的对称式方程为： 参数式方程为其中为参数。18、求直线与直线的夹角。解：直线的方向向量设为，则可以取为，两直线的夹角即为两直线方向向量之间的夹角，设其夹角为，因为，所以。19、求直线与平面的夹角。 解：设直线的方向向量为，则，设平面的法向量为，则， 设直线与平面的夹角为，而方向向量与法向量的夹角为，由直线与平面夹角知 ，故。20、将面上的曲线分别绕轴、轴旋转一周形成的旋转曲面方程。 解：1）绕轴旋转一周形成的旋转曲面方程为：； 2）绕轴旋转一周形成的旋转曲面方程为： 。 21、求曲线分别在平面上的投影曲线方程。 解：1）消去，故曲线在 上的投影方程为； 2）曲线在上的投影方程为。