圆和半平面上的迪利希莱(Dirichlet)问题-泊松积分公式

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题泊松积分公式在第一章的2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。在这一节中，我们将继续阐述这种联系。具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数T(r,)来描述的。若圆柱体表面的温度是已知的，是由sincos所给定的，由于T(r,)在0r1,02上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数T(r,)，使得T(1,)= sincos。这就是我们所要解的迪利希莱问题。图 2.8我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。这种方法将在以后讨论。在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。一圆的迪利希莱问题对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆（见图2.9）设f(z)是在圆周=R上及其内解析的函数。图2.9对这函数f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有f(z)=dw. (2-25)令z=，它位于过圆点和点z的射线上，且=R，因此，位于圆R的外部。于是，由柯西定理，我们有 0=dw =. (2-26)将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得f(z)= (2-27)令w=Re，z=re,于是。将它们代入(2-27)式，我们有f(z)= .将分子和分母同时乘以，则分子=R，分母=(Re，于是，最后我们有f(z)=。现将解析函数f(z)表示成其实部U和V，于是，f(re, f(Re,上述方程成为U(r,由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson）公式 U(r, (2-28)对V(r,与V(R,，我们也有类似的公式。泊松积分公式（2-28）是重要的。这个公式告诉我们：当U在圆周上的取值U(R,已知时，则调和函数U(r,在这圆内任意一点的值由公式(2-28)所给出。由于我们要求f(z)在这半径为R的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数U(R,是连续的。事实上，这条件可放宽成允许U(R,有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立。例2-6 如图2.10所示，设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半。上半管（R=1，0）保持1伏特的电位，下半管（R=1，）保持-1伏特的电位。求在管内任何一点（r，）的势。图 210解由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的。由公式（2-28），R=1，我们有U( . （2-29）在每个积分中，我们作变数变换x=,并利用下述积分公式 . (2-30)取 a=1+r，b=-2r，我们得到U(r, .由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得U(r,对一切r0的区域)上是调和的,而在实数轴=0上必须满足欲先给定的边界条件.设在上是解析的.考虑闭围道,它由半径为R的上半圆周和实数轴上的线段所组成。图2.11令z是C內任何一点，由柯西积分公式，我们有 . (2-32)由于z位于上半平面，则必位于下半平面，因此，它必在C的外部。于是，据柯西定理，有 . (2-33)将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得=，令z=x+iy，则。上式右端的第二个积分I等于 . （2-35）记（2-34）右端的第一个积分为I，在上，我们有。若在上半平面v上，则得。于是，对任意给定的点z，我们有 . (2-36)由于（2-34）式对任何C都是成立的，因此,我们有 .将f(z)和f(w)用它们的实部和虚部来表示，f(z)=，f(w)=，由（2-37）式，我们有=于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式: （2-38）关于与也有相似的公式。当在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数在上半平面内每一点的值。我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。若没有这个限制，还能找到其他的解。在我们的推导过程中，我们假定，是在闭上半平面上解析的函数f(u,v)的实部，这要求方程（2-38）中的函数对u0上，温度保持在0，而在边界v=0,u0，上，温度保持在。求整个导体的稳定的温度分布。图 2.12解 我们知道，温度是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的。我们有，又，于是第二个积分是零。在第一个积分中作变量变换p=x-u，则 . (2-39)由于，故。.