高等数学A(上)主要内容

高等数学A（上）的主要内容一、极限求极限的类型和方法利用极限四则运算法则和复合函数极限运算法则求极限；利用无穷小与无穷大的关系求极限；利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小求极限；利用等价无穷小代换求极限；利用两个重要极限求极限；利用极限与单侧极限的关系求极限；利用夹逼准则求极限；利用单调有界准则证明数列极限存在；利用初等函数的连续性求极限；利用洛必达法则求极限；利用导数定义和定积分定义求极限；利用微分中值定理（包括泰勒公式）和积分中值定理求极限。变相求极限的类型无穷小的比较。高阶无穷小，低价无穷小，同阶无穷小，等价无穷小等。求渐近线。水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线；并注意单侧渐近线。判断间断点的类型。第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点。判断函数在点处的可导性。特别是分段函数在分点处的可导性。判断反常积分的敛散性。包括无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。极限与连续性，可导性，可积性，反常积分敛散性的关系 连续性：。 可导性：。 可积性：。 反常积分敛散性：定积分+极限，如。二、连续性连续函数的基本性质连续函数的四则运算法则。连续函数的复合运算法则。连续函数的反函数运算法则。初等函数在其定义区间内均连续。有限闭区间上的连续函数的性质最值定理。结合导数的应用，会求最值。有界定理。介值定理。经常在证明题中运用，注意和最值定理及积分中值定理结合使用。零点定理。经常用于判断方程的根问题。判断方程的根惟一根的判断：存在性（零点定理和罗尔定理）和唯一性（单调性与反证法）。含参数的方程根讨论：与函数作图相结合。连续性与极限、可导、可积的关系在点处可导在点处连续存在。在上连续在上可积。若在上可积在上连续；若在上连续在上可导，且。分段函数在分点处的连续性：左连续且右连续。间断点及其分类第一类间断点和第二类间断点。初等函数的间断点往往产生于定义域之外的点处。三、导数与微分求导运算导数的定义。求导基本公式。运用求导四则运算法则：。特别地，。复合函数求导法则：。反函数求导法则：，。隐函数求导两种方法（一阶导数、二阶导数）。对数求导法或换底求导法：（适用于幂指函数）。参变量函数求导法则：，。不定积分的导数：。变限函数求导：。特别地，当被积函数中含有变量时，通常运用拆分或换元方法，先将被积函数变换为不再含有变量后，方可求导。高阶导数。掌握高阶导数运算法则和常见函数的高阶导数公式，并会将函数变形。分段函数在分点处的求导方法：利用导数定义。：利用单侧导数。注意：分点处的可导性一定要单独讨论。不可简单地认为 或微分微分的概念。如果（），微分，其中，。对于一元函数而言，可导可微。微分法则：；。微分形式不变性：（不论是自变量还是函数均成立）。导函数的奇偶性和周期性如果为奇函数（偶函数），则为偶函数（奇函数）。如果是以为周期的函数，则仍是以为周期的函数。单调性与极值利用导数的符号判断单调性。了解极值的必要条件。进而知驻点和不可导点为可能的极值点，需进一步判断。会利用极值的两个充分条件求极值。凹凸性与拐点利用二阶导数的符号判断凹凸性。了解凹凸曲线与其弦、切线的位置关系；以及导函数的单调性。二阶导数为零的点和不可导点处为可能产生拐点。会用两侧二阶导数的符号判断该点是否为拐点。如果，则为的拐点微分中值定理及中值等式证明罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒公式。掌握中和的变化，令，并对其运用罗尔中值定理。一般情况下，由联想到拉格朗日中值定理。出现高阶导数时，联想到泰勒公式。不等式证明单调性。关注有等号与不含等号的区别。凹凸性。关注凹凸性的几种几何特征，如弦、切线等的位置关系。中值定理。常用拉格朗日中值定理和泰勒公式。最值方法。当不等式右端为常数时，较为常用。函数恒等式证明令左-右；验证，从而；取某点，计算得，故，所以，即得证。会求最大值和最小值有限闭区间上的连续函数的最大值和最小值。无穷区间上的连续函数的最大值和最小值。四、不定积分与定积分不定积分与原函数的关系如果连续，则为的一个原函数。如果为的一个原函数，即，则有。不定积分与导数或微分的关系，或 ；，或。不定积分的求法利用不定积分的性质求不定积分。利用不定积分的基本公式求不定积分。利用不定积分的换元法求不定积分。注意两部分变化。利用不定积分的分部积分法求不定积分。熟练掌握三个特殊类型积分： 有理函数积分。方法：将被积函数分解或拆分后，再逐项积分。 三角有理式积分。方法：利用三角函数变形直接计算，或通过变换（含万能公式）化为有理函数积分计算。 简单的无理根式积分。方法：直接计算，或通过变换去根号后计算。“积不出来”的不定积分：，等均存在，但“积不出来”。如果计算时出现，应该回避直接计算。定积分的概念和性质定积分的几何意义（曲边梯形的面积，含上正下负）与物理意义。定积分的性质（线性性、依区间可加性、几何度量性、保序性或保号性、积分正则性、积分绝对值不等式、估值定理和积分中值定理）。定积分与其积分变量的记号无关。如。并规定可积性：如果函数在上连续，或者在上仅有有限个第一类间断点，则在上可积积分上限函数掌握积分上限函数的连续和可导条件。会求变限函数的导数，特别是与洛必达法则（求极限）相结合。会构造积分上限函数证明积分等式或积分不等式。积分上限函数的奇偶性：设为连续函数，如果为奇函数，则为偶函数；如果为偶函数，则为奇函数。定积分的计算利用定积分定义计算定积分。利用定积分的几何意义计算定积分。利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。注意：并非所有定积分都能通过牛顿-莱布尼兹公式计算。利用定积分的换元法计算定积分。注意三部分变化，特别是上下限的变化。利用定积分的分部积分法计算定积分。利用定积分的奇偶对称性计算定积分。利用定积分的周期函数性质计算定积分。先证明定积分的有关等式（含递推公式），再利用其计算定积分。通过建立简单的方程（组），计算定积分。利用结论计算某些定积分。反常积分反常积分=定积分极限，极限存在则收敛，极限不存在则发散。了解单一型反常积分（四个类型）和综合型反常积分。一般地，将综合型反常积分分解为若干个单一型反常积分之和，当且仅当每个单一型反常积分都收敛时，对应的综合型反常积分才收敛换言之，只要其中有一个单一型反常积分发散（其它单一型反常积分的敛散性不论如何），对应的综合型反常积分一定发散特别地，反常积分、等均发散，并非为零。如果为奇函数，且反常积分或收敛，则有或。例如：，等。理解反常积分收敛时的两种情形：绝对收敛和条件收敛。积分：当时，收敛；当时，发散；积分：当时，收敛；当时，发散。会利用广义牛顿-莱布尼兹公式，广义换元法，广义分部积分法等计算反常积分。五、定积分应用平面图形的面积直坐标情形曲边梯形的面积为；当的参数方程为时，该曲边梯形的面积为。平面图形的面积为。平面图形的面积为。极坐标：曲边扇形的面积为。立体体积已知平行截面面积的立体体积：介于之间且平行截面面积为（）的立体体积为。旋转体的体积：曲边梯形分别绕轴和轴旋转的旋转体体积分别为，。曲边梯形绕轴旋转的旋转体体积为。平面曲线的弧长直角坐标：曲线段（）的长度为。参数方程：曲线段（）的长度为。极坐标方程：曲线段（）的长度为。旋转体的侧面积曲边梯形绕轴旋转的旋转体侧面积为。函数的平均值连续函数在上的平均值为。平面曲线的曲率或。了解曲率半径、曲率圆和曲率中心的概念。变力做功：设物体在连续变力作用下沿轴从移动到，力的方向与运动方向平行，则变力所做的功为。 其它物理应用。如引力、压力等。