阶常系数线性微分方程

9.3 二阶常系数线性微分方程（一）【教学目的与要求】 1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；2. 掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构.【教学重点与难点】1.二阶线性微分方程解的结构 2.二阶齐次线性微分方程通解的求法 复习:1. 一阶线性微分方程及其解法； 2.三类可降阶的高阶微分方程，及其解法 授新课一、二阶常系数线性微分方程的定义 二阶常系数线性微分方程的一般形式是 （1）其中是常数；是的已知函数.如果则方程（1）变为 （2）称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程如果则称方程（1）为二阶常系数非齐次线性微分方程 下面对（1）、（2）的解法分别进行讨论二、二阶常系数齐次线性微分方程1. 解的性质 定义 设是两个函数，如果（为常数）；则称函数与线性无关 定理1 （齐次线性微分方程解的结构定理）如果是二阶齐次线性方程（2）的两个线性无关的特解，则 （3）是方程（2）的通解，其中是任意常数证 首先证明满足方程（2）由于都是方程（2）的解，所以将代入方程（2）的左端，得 这说明（3）是方程（2）的解. 下证它是方程（2）的通解. 因为，由于线性无关，所以不能合并成为一个任意常数，这说明含有两个独立的任意常数，所以它是方程（2）的通解2. 解的求出在方程（2）中，和都是常数，因此对于某一函数，若它与其一阶导数、二阶导数之间仅相差一常数因子，则它有可能是该方程的解，什么样的函数具有这样的特点呢？我们自然会想到函数.令 ， 则 ， 将它们代入方程（2），便得到 由于，故 (4) 这是关于的二次代数方程. 显然，如果满足方程（4），则就是齐次方程（2）的解；反之，若是方程（2）的解，则一定是（4）的根我们把方程（4）叫方程（2）的特征方程，它的根称为特征根于是，方程（2）的求解问题，就转化为求代数方程（4）的根的问题 （1）当 时，特征方程有两个不相等的实根，这时， 是微分方程（2）的两个特解；且常数.所以微分方程（2）的通解是 （2）当时，特征方程有两个相等的实根这时， 是微分方程（2）的一个特解为了得到通解，还必须找出一个与线性无关的特解可以证明，也是微分方程（2）的一个解，且与线性无关，因此微分方程（2）的通解为： （3）当时， ，是一对共轭复数根是方程（2）的两个解，为得出实数解，利用欧拉公式：可知：；由定理1知，是（2）的解，它们分别乘上常数后相加所得的和仍是（2）的解，所以 ，也是方程（2）的解，且常数，因此，方程（2）的通解为例1 求微分方程的通解解 所给微分方程的特征方程为 ，即 其特征根为 因此所求微分方程的通解为 例2 求微分方程 的通解解 所给微分方程的特征方程为 ，它有相同的实根因此所求微分方程的通解为 例3 求方程的通解解 所给微分方程的特征方程为 ，它有一对共轭复根 因此所求微分方程的通解为 例4 求方程 满足初始条件的特解 解 特征方程为 ，特征根为 ，于是方程的通解为因 故将初始条件代入以上两式，得从而 于是原方程的特解为三、二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构现在讨论二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解 定理2 （非齐次线性微分方程通解的结构定理） 设是非齐次线性方程（1）的一个特解，而是对应齐次方程 的通解，则 是非齐次方程（1）的通解 证 由已知条件知 下面证明是方程（1）的解事实上，这表明是方程（1）的解又因为对应齐次方程（2）的通解中含有两个任意常数，所以中也含有两个任意常数，因而它是二阶非齐方程的通解四、小结1. 二阶常系数齐次线性微分方程；2. 二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构.五、作业作业: p244 习题 9: 23（2）（4），24（1），（2）预习： 第九章9.3（2）.