《阶线性方程》word版

3 一阶线性方程（2）求解线性微分方程（2.3.1）的另一个重要方法是常数变易法：将方程（2.3.2）的通解公式 中的常数“变易”为的一个待定函数，然后将这种形式的解代入方程（2.3.1），再去确定.设方程（2.3.1）有形如 （2.3.9）的解，其中为待定函数，把（2.3.9）式代入方程（2.3.1），得，即 （2.3.10）方程（2.3.10）是一个以为未知函数的可分离变量的方程，故可求出，其中为任意常数，代入（2.3.9），即得方程（2.3.1）的通解为。利用常数变易法求得的结果和前面用积分因子法求得的结果是一样的。常数变易法不但适用于一阶线性方程（2.3.1），而且也适用于高阶线性方程和线性方程组.我们将在以后的学习中再次用到它.例6 求解微分方程 。解 这是一阶线性非齐次微分方程，对应的齐次方程的通解为 ， 令原方程的通解为 ，代入原方程，得 ，即 ，解之得 ，所以原方程的通解为 +（其中为任意常数）。例7 求解微分方程。解 这是一阶线性非齐次微分方程，先求对应的线性齐次方程的通解，得。再利用常数变易法求非齐次线性方程的通解。为此，在上式中把C看成为的待定函数，即 ，则 ，代入原方程，并整理后得 ，即 ，积分得 因此，原方程的通解为 ，其中C为任意常数。例8 求微分方程 的通解。解 先求原方程对应的线性齐次方程的通解，对方程 分离变量后得 ，两端同时积分，得 。常数变易，设原方程的通解为，则代入原方程，得，即 积分得 。所以原方程的通解为。例9 设微分方程 （2.3.9）其中为常数，而是以为周期的连续函数，试求方程的周期解.解 利用（2.3.6）式，可求得方程的通解为 （2.3.10）现在选择常数，使成为周期函数，即 （2.3.11）成立.要使（2.3.11）对所有成立，只需对某一特定的（例如）成立，即 （2.3.12）事实上，因为是（2.3.9）的解，且，所以也是（2.3.9）的解.令，则是对应齐次方程的解.如果（2.3.12）成立.则满足初值条件.因此，由性质1可见，从而（2.3.11）成立.现将公式（2.3.10）代入（2.3.12），得到，即 （令）,所以 ，把它代回（2.3.10）式，注意到的周期性，就得到 （令）. 习题1求解下列微分方程：（1）；解 先解对应的齐次方程，通解为，即。 常数变易，设非齐次方程的解为，代入原方程，得，积分，求得 。因此，原方程的通解为。（2）；解 该方程的对应齐次方程为,其通解是常数变易：设是原方程的解，代入原方程，化简，得：，两边积分，得：。所以，原方程的通解为 （3）.解 原方程变形为： (*)把看作的函数，则对应的齐次方程为：，其通解是常数变易：设是方程(*)的解，代入方程(*)，化简，得：，两边积分得：，所以原方程的通解为：2设连续函数在区间上有界，证明：方程 在区间上有且只有一个有界解.试求出这个解，并进而证明：当还是以为周期的周期函数时，这个解也是一个以为周期的周期函数.证明 方程的通解为 现取（由假设知，此积分收敛），则 则由在区间上有界知，此解显然有界.当是以为周期的周期函数时，对中确定的解，当时，有.令，则 .故也是一个以为周期的周期函数.设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 取极限 =