Fourier级数习题

第十一章 Fourier级数习题课一、 主要内容1、正交三角函数系2、Fourier级数的定义、系数的计算公式3、Fourier级数展开的条件4、Fourier级数的收敛定理5、Fourier级数的一致收敛性6、Fourier级数的逐项求积和求导定理7、Fourier级数的系数特征及关系8、函数的Fourier级数的具体展开应掌握在各种形式下的展开，如一个周期区间（，或等）的Fourier级数展开及半个周期区间（如或）上的正弦（余）展开。9、Fourier级数的运用数项级数的求和二、 典型例题1、设，将其展开为Fourier级数，并讨论其Fourier级数在上是否一致收敛。解、由于函数分段光滑，故可以展开成Fourier级数，又由于其为奇函数，因此，n0，1，2，且 ，n1，2，故， ，由于其Fourier级数的和函数在x0点不连续，因而，Fourier级数在非一致收敛。 2、设，将展成正弦级数，讨论该级数在内的一致收敛性。解、将奇延拓到，则，n0，1，2，n1，2，故，. 由于收敛于，而在点不连续，因而，利用函数项级数的连续性定理，在内非一致收敛，事实上，若在内一致收敛，由于其在端点处收敛，因而，其在上一致收敛，故，和函数必连续。注、可以证明在内是内闭一致收敛。3、将，展成Fourier系数，并由此计算，.解、直接计算得，n1，2，故，。又由于且，由收敛性定理，则，取得。为求，利用逐项求积定理，则对，即 ，再积分两次，则，取得。 4、证明：，.证明：令，则可以将在上展开成Fourier级数，计算得， ，n1，2，又由于，由Fourier级数的收敛定理，则 ，. 5、证明：，.分析 与上例类似，但是，要注意，展开式要求在两个端点处也成立，这就必然要求周期延拓后的函数在两个端点处连续，注意到左端的级数为余弦级数，因而，必须对函数左偶延拓。证明：记，,将其偶延拓至，再以为周期延拓至，则计算其Fourier系数得，故，又由于，因而，特别，时也成立，这就是要证明的等式。 6、将在上展开成Fourier级数，使得其Fourier级数在区间上收敛于。分析 题目相当于要求延拓后的函数在两个端点处连续，因此，必须先将函数偶延拓至，再以为周期延拓至整个数轴，然后再进行展开。解、先将偶延拓至，再为周期延拓至整个数轴，延拓后的函数是连续函数，计算其Fourier系数，则 ，n1，2， ，n1，2，因而， .7、设，且，其中，n1，2，计算。 分析 从题型看，正是正弦级数，因而，可以将的计算转化为的计算。解、将奇延拓至(1，0)，将其展开成Fourier级数，则 ，因而，。8、设，将 展开成Fourier级数，并计算函数项级数和（其中）和数项级数. 解、将视为以为周期的函数，利用公式计算得， ，n1，2， ，n1，2，故， .利用上述展开结果，则 ，因而，令，则 ，将变量t换为变量x，两式相减，左端偶次项抵消，则 ，再令，则 9 设是以为周期的阶Holder连续函数，即，证明：，.分析 证明的关键是利用系数的计算公式，通过适当的变化和变换，改变积分号下函数的变量形式，借此产生Holder连续所要求的函数差的结构，从结论形式看，差的形式应为，由此决定进行变量代换，在此变换下，对积分作进一步的研究，就决定了下述的证明方法。证明：利用周期函数在长度为周期的区间上的积分相等的性质，则 ，故，因而，故，.类似可得. 10 设是在上可积和绝对可积的以为在周期的周期函数，证明：1）、若在上单调递减，则其Fourier系数若在上单调递增，则其Fourier系数，n1，2，。2）、设在上可导，且可积和绝对可积，若在上单调递减，则其Fourier系数若在上单调递增，则其Fourier系数，n1，2，。分析 从系数的结构可知，要使得系数不变号，被积函数必须不变号，注意到被积函数中含有三角函数的因子，要保证这样的因子不变换，必须将其控制在特定的长度不超过的区间上，但是，由于n的变化，必须根据n将区间进行分割，如对1），在上，因此，要使得sinnx不变号，最终要使，即；或，即。由于还要借助于函数或者其导数的单调性确定系数的符号，这就需要上例中的技巧，先将积分分段，然后通过变量代换，利用周期性质转化同一积分段上的积分，从而产生函数或导函数的差是形式，可以利用相应的单调性条件确定其符号。由此决定了整个Fourier系数的符号。证明：1）、对进行n等分，则 ，通过分段，在每一段上，nx的变换幅度为2，再对每一段上的积分再进行分段并利用变量代换转化为长度为的积分区间上的积分，则 ，对和式后的第二项作变量代换，将其转化为同一个区间上的积分，则 ，将变量t换为变量x，则 ，由于当时，成立，因而，而，故，当在上单调递减时，其Fourier系数若在上单调递增，则其Fourier系数，n1，2，。 2）、记为的Fourier系数，则，利用1）的结论既得。11 设可积且绝对可积，证明：（1）如果在上满足，则；（2）如果在上满足，则.证明：（1）由系数计算公式并对相应的项作变换，则 故，类似。（2）类似于（1）.12 应当如何把内的可积函数延拓后，使之展开的Fourier级数的形式如下： 。分析 首先，从展开形式看为余弦级数，因而应是偶函数。其次，还要使，从上题知，只须，故只须将上的函数延拓至且满足上述两个条件。证明：第一步，偶延拓至上，即 第二步，再延拓至整个上满足，故，可令则满足上述要求，因而， 注、从几何上看，是先将在上的图像偶延拓至，再将上的图象平移个单位，得到上的图象，由此得到函数在的结构（也可以将在上的图像以为对称轴延拓至，由此得到函数在上的结构），再偶延拓至，然后再以为周期延拓至整个实数轴。13 设周期为的可积且绝对可积函数的Fourier系数，计算（1）的Fourier系数，（2）的Fourier系数，。假设相关换序运算可以进行。分析 主要用到周期函数的积分性质，即解、（1）利用系数计算公式，则 ,类似可得.（2）利用系数计算公式并利用积分的换序计算，则 ，类似可得. 14 设在上分段连续，当时连续且有单侧导数，证明：。分析 从所证的结论看，对左端积分分段处理，然后，利用变量代换转化为同一个区间上的积分，由此确定证明的思路。证明：由于 由此，只须证：。这与Riemann引理相似，为此，只须验证在上满足Riemann引理的要求。由于是分段连续的，而为的“奇”点，故只须讨论在附近的可积性。由于 故在可积且绝对可积。由Riemann引理 ，则 ，因而，结论成立。15 设，证明：（1） ，（2）.证明：（1）利用公式，则 ，n0，1，2，故 ，利用和差化积公式 ，则 ，故 .（2）直接计算得，故.16 设在单调增加，证明：（1）如果，则（2）如果，则分析 从形式看，要用Dirichlet引理证明结论，转化为Dirichlet引理的形式，运用相应的结论即可。证明：（1）直接用Dirichlet引理，则. （2）利用Dirichlet引理和（1）的结论，则. 最后讨论Bessel不等式和Parseval等式的应用 17 设在可积，给定三角多项式 ，确定三角多项式中的系数，使得 达到最小。解、利用三角函数系的正交性，则 因此，只有当时最小。 注、此时，也可以得到Bessel不等式。 18设和都是上的Riemann可积函数，和是的Fourier系数，和是的Fourier系数，证明：。证明：利用Fourier系数的公式，则和是的Fourier系数，因而，由Parseval等式，则 ， 相减既得。19 设在上可积，在上连续且分段光滑，且 ，证明：，即两端乘以后，可以逐项积分。证明：由于在上连续且分段光滑，记其Fourier级数的部分和为，则一致收敛于，因而 这就是要证明的结论。20 设在上可积，证明： 其中为的Fourier系数。证明：由于 ，直接利用上例的结论即可。 注、还可以利用乘积函数的Fourier系数表示公式。133