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线 性 代 数 综 合练 习 题（二）2、设则存在可逆阵 P，使 P-1AP=B，其中P=。一、填空题 1、四阶方阵A的特征值为1、3、4、5，。；3、已知四阶行列式D的第三行 元素分别为-1，3，2，0，第 二行元素的余子式依次为 5，-2，4，则 =。解：因为行列式第三行元素与第二行元素对应的代数余子式乘积之和为零，所以有解得则 的秩为 。4、已知 是满秩方阵，且解：因为A为满秩矩阵，所以A可以写成有限个初等矩阵的乘积，用有限个初等矩阵左乘矩阵B，相当于对矩阵B进行了有限次初等行变换，而初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵B的秩等于AB的秩。而AB的秩为1，所以B的秩为1。5、设1是实对称阵 的一个特征值，且 ，=则。解：又因为1是实对称矩阵A的一个特征值，二、选择题1、设 线性无关，则下列向量组线性相关的是（）；解；设一组数 使 线性无关，所以解得令则有一组不全为零的数使所以选（A）2、设A是n阶矩阵，且A的行列式则A中 ；（A）必有一列元素为零；（B）必有两列元素对应成比例；（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量是其余列向量的线性组合。解：由 可知，A的列向量组是线性相关的，所以其中至少有一个列向量可由其余列向量线性表示，因此选（C）。3、设A,B均是n阶正交阵,若 则 A+B必为()(A)、初等阵；(B)、正交阵；(C)、对称阵；(D)、奇异阵。解：解：选（D）4、已知则 =()解：解：选（C）5、设能由 线性表示，但不能由 线性表示，则()；(A)、不能由 线性表示，但能由，线性表示；(D)、能由 线性表示，也能由，线性表示。(C)、能由 线性表示，但不能由，线性表示；(B)、不能由 线性表示，也不能由，线性表示；与已知矛盾，所以选（A）。即 可由线性表示，时有解：若若 能由能由 线性表示线性表示 ，因，因为为 能由能由 ，线性表示，则线性表示，则 能由能由 线性表示，与已知矛盾，线性表示，与已知矛盾，所以不能选（所以不能选（C）（）（D）；即）；即 不能不能由由 线性表示，线性表示，1、解矩阵方程 三、计算题解：由已知得对矩阵施行初等行变换 2、设 求解解：对矩阵（A E）施行初等行变换 3、验证 的一个基，并求 在这组基下的坐标。解：为的一个基令求就是解方程组对矩阵施行初等行变换所以 在这组基下的坐标为2，3，-1。4、设 求矩阵A的秩及 A的列向量组的极大无关组。解：对矩阵A施行初等行变换 所以矩阵A的秩为3，第一列、第二列、第三列;第一列、第二列、第四列为A的列向量组的极大无关组。四、证明题 的一个特征值，且 0。1、若n阶可逆阵A的任意行元素之和都等于 ，证明：为矩阵A证：由已知所以为矩阵A的一个特征值。2、矩阵 A 满足 A2+6A+8E=0，且A=AT ，证明：A+3E是正交阵。证：由所以A+3E为正交矩阵。3、知向量组 是齐次线性方程组AX=0的基础解系，且证明：向量组 也是AX=0的一个基础解系。解：为齐次线性方程组的基础解系，故为齐次线性方程组的解，所以只需证 线性无关,解得所以线性无关，所以亦是齐次线性方程组的基础解系。(1)、的值。(2)、求一个可逆阵 ，使五、设 已知A有3个线性无关的特征向量，=2是 的二重特征值，求：解：由题意可知，A可对角化，必有R（A-2E）=1，于是六、已知 (1)、取什么值时，能由 唯一的线性表示，并写出表达式；(2)、取什么值时，不能由 线性表示；(3)、取什么值时，能由 多种线性表示，并写出表达式。解：对矩阵施行初等行变换表示式为七、设A是正定阵，试证存在正定阵B，使得A=B2。证：设是A的特征值，因A是正定矩阵，且存在正交矩阵P，使其中显然B为正定阵，且有完完解解：一、1、2、A经过第一行与第二行交换，再进行第一列与第二列交换，然后第二行与第三行交换，再进行第二列与第三列交换即得B。而每次初等行变换相当于用一个初等矩阵左乘矩阵A，每次列变换相当于用一个初等矩阵右乘矩阵A。所用的初等矩阵为因为，所以
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