反比例函数题型的综合提优题

第三讲 反比例函数典型题、常考题复习2学习目标：能够将反比例函数与其它知识进展联系、综合分析解决相关问题，能够用反比例函数来解决实际问题重点难点：综合运用所学知识解决反比例函数中的综合问题，分析此类问题的切入点，积累解题经验合作探究：典型例题讲解一、反比例函数的实际应用问题例12010达州近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答以下问题：1求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值围；2当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？3矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L与以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?图11【答案】.解：1因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为由图象知过点0，4与7，46.解得,此时自变量的取值围是07.(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中) 因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为.由图象知过点7,46，. ,，此时自变量的取值围是7. 2当=34时，由得,6+4=34，=5 .撤离的最长时间为7-5=2(小时).撤离的最小速度为32=1.5(km/h). (3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.例2、反比例函数新颖题某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，那么自动开始加热，每分钟水温上升10C，待加热到100C，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(0C)和通电时间x (min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程设某温和室温为20C，接通电源后，水温和时间的关系如以下图所示，回答以下问题：1分别求出当0x8和8xa时，y和x之间的关系式；2求出图中a的值；3下表是该小学的作息时间，假设同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40C的开水，第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源不可以用上课时间接通饮水机电源时间节次上午7:20到校7:458:20第一节8:309:05第二节二、 反比例函数与翻折结合问题例1如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数yx0的图象经过点B1求k的值；2将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC、NABC设线段MC、NA分别与函数yx0的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式例2如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为4，3，反比例函数yk0的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上1求证：AOE与BOF的面积相等；2求反比例函数的解析式；3如图2，P点坐标为2，3，在反比例函数y的图象上是否存在点M、NM在N的左侧，使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求出点M、N的坐标；假设不存在，请说明理由三、反比例函数中的探究性问题例12010 省探究(1) 在图1中，线段AB，CD，其中点分别为E，F第1题图1OxyDBAC假设A (-1，0)， B (3，0)，那么E点坐标为_；假设C (-2，2)， D (-2，-1)，那么F点坐标为_；(2)在图2中，线段AB的端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，求出图中AB中点D的坐标用含a，b，c，d的代数式表示，并给出求解过程OxyDB第1题图2A归纳无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，x=_，y=_不必证明运用在图2中，一次函数与反比例函数xyy=y=x-2ABO第1题图3的图象交点为A，B求出交点A，B的坐标；假设以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标【答案】解：探究 (1)(1，0)；(-2，)；(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为ADBOxyDBA， ，那么D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得=O=xyy=y=x-2ABOOP即D点的横坐标是同理可得D点的纵坐标是AB中点D的坐标为(，)归纳：，运用由题意得解得或即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) 以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) 平行四边形对角线互相平分，OM=OP，即M为OP的中点P点坐标为(2，-2) 同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) 满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) 例21探究新知：如图1，ABC与ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由2结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y=k0的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F，试证明：MNEF；假设中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN与EF是否平行【答案】1证明：分别过点C，D，作CGAB，DHAB，垂足为G，H，那么CGADHB90 CGDHABC与ABD的面积相等， CGDH 四边形CGHD为平行四边形 ABCD 2证明：连结MF，NE 设点M的坐标为x1，y1，点N的坐标为x2，y2点M，N在反比例函数k0的图象上， MEy轴，NFx轴， OEy1，OFx2 SEFM，SEFNSEFM SEF N由1中的结论可知：MNEF MNEF 课堂练习达标训练1、假设一次函数y2x1和反比例函数y的图象都经过点1，11求反比例函数的解析式；2点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；3利用2的结果，假设点B的坐标为2，0，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标2、：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,2) 1试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；2根据图象信息回答以下问题：在第一象限，当x取何值时，反比例函数的值大于该正比例函数的值？3M(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3过点M作直线MNx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点C，交直线MB于点D当四边形OADM的面积为6时，求过点M、A的一次函数解析式和求出线段MA的长能力提升1、育才二模“三等分角是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角. 但对于特定度数的角，如90角、45角等，是可以用尺规进展三等分的. 如图a，AOB90，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向AOB部作等边OCD，作射线OD，再用尺规作出DOB的角平分线OE，那么射线OD、OE将AOB三等分. 仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的MON三等分MON45. 不需写作法，但需保存作图痕迹，允许适当添加文字的说明图b图a数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角的方法如图c：将给定的锐角AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R. 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到MOB，那么MOBAOB. 要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：设、，求直线OM对应的函数关系式用含a、b的代数式表示. 图c分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q. 请说明Q点在直线OM上，并据此证明MOBAOB. 2. 2011在平面直角坐标系XOY中，直线l1过点A1，0且与y轴平行，直线l2过点B0，2且与x轴平行，直线l1与直线l2相交于点P点E为直线l2上一点，反比例函数yk0的图象过点E与直线l1相交于点F1假设点E与点P重合，求k的值；2连接OEOFEF假设k2，且OEF的面积为PEF的面积的2倍，求E点的坐标；3是否存在点E与y轴上的点M，使得以点MEF为顶点的三角形与PEF全等？假设存在，求E点坐标；假设不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；反比例函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理专题：分类讨论分析：1根据反比例函数中k=xy进展解答即可；2当k2时，点EF分别在P点的右侧和上方，过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于点G，那么四边形OCGD为矩形，再求出SFPE=k2k+1，根据SOEF=S矩形OCGDSDOFSEGDSOCE即可求出k的值，进而求出E点坐标；3当k2时，只可能是MEFPEF，作FHy轴于H，由FHMMBE可求出BM的值，再在RtMBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标；当k2时，只可能是MFEPEF，作FQy轴于Q，FQMMBE得，可求出BM的值，再在RtMBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，进而可得出E点坐标课外练习1、如图，矩形OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在轴、轴上，连结OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A处，AB与轴交于点F。OA1，AB2。设CF，那么OF_；求BF的长；设过点B的双曲线为 ，试问双曲线上是否存在一点M，使得以OB为一边的OBM的面积等于1？假设存在，试求出点M的横坐标；假设不存在，试说明理由。2、12 / 12