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第三节二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将ryx),zr （则就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.zr200 sinryzz cosrx直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:常数常数 r坐标面分别为坐标面分别为圆柱面圆柱面常数半平面半平面常数z平面平面oz),(zyxMr)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 xz yM(r, , z)z rN cosrx xyz sinry (x, y, z) (r, , z)柱面坐标柱面坐标z = z.机动 目录 上页 下页 返回 结束 z动点动点M(r, , z)柱面柱面Sr =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：Mrz柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 动点动点M(r, , z)半平面半平面P柱面柱面S =常数常数:r =常数：常数：平面平面 z =常数：常数：zx0yzMr 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz.机动 目录 上页 下页 返回 结束 xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd ),( dV机动 目录 上页 下页 返回 结束 柱坐标计算适用范围柱坐标计算适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.机动 目录 上页 下页 返回 结束 仍然是仍然是“先一后二先一后二”化为三次积分。化为三次积分。二重积分用极坐标时二重积分用极坐标时方程和计算简单，方程和计算简单， 的二重积分即可。第二步：计算极坐标下标下的二重积分；极坐积分后将三重积分化为第一步：先一后二，对分成两个步骤：注：用柱坐标求zfdv3) 积分域为标准的积分域为标准的圆圆柱面时用柱面柱面时用柱面坐标化为累次积分的积分限都是常数。坐标化为累次积分的积分限都是常数。zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1zzyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上顶上顶z = 0用哪种坐标？用哪种坐标？.柱面坐标柱面坐标0 xz yDxyzzrrrddd2101020 例例1.1.计算计算I =1机动 目录 上页 下页 返回 结束 围成1, 0, 4:,sin2222zzyxzdvyxI)2cos22(sinsin21sin2sinsin10 ,),()2(20 ,20:4:) 1 (1020201020201022分部积分有：间的柱体：为解：rdrrrdrrzdzrdrrdzdzrrdrdIzDrrDyxPDrDrrrjXYxy限都是常数。则柱坐标下的累次积分是标准的圆柱体区域，注：在柱坐标下，如果zyxyxIddd1122 所所围围锥锥面面 , zzyx:0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1锥面化为锥面化为: r = z1.：下下底底：上顶上顶用哪种坐标？用哪种坐标？柱面坐标柱面坐标例例3. . 102)d111(2rrr.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中 为由为由例例4. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下:cos202drrdcos342032acos20r20az 0及平面及平面2axyzo20dazz0dzrrzddd2原式398a柱面柱面cos2r成成半圆柱体半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例5. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hrz42dhrdrhrr2022)4(124)41ln()41(4hhhhz hr2020hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面42r原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.0 xz y x yzM (r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.球面坐标球面坐标3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos ON2000rcos ONxOxN中在直角 sinrONONM中在直角 SrM yz x0r =常数常数: =常数常数:球面球面S动点动点M(r, , )球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面机动 目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数: 锥面锥面C.机动 目录 上页 下页 返回 结束 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV =机动 目录 上页 下页 返回 结束 rR 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求0 xz y机动 目录 上页 下页 返回 结束 .z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz yMr R对对 : 从从0 积分，积分，.例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求2.z ,y,xRzyx:所围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 R对对 : 从从0 积分，积分，扫遍球体扫遍球体 .例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求2得锥面得锥面0 xz y对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点对对 : 从从0 积分，积分，2机动 目录 上页 下页 返回 结束 .z ,y,xRzyx:所所围围成成的的区区域域在在第第一一卦卦限限 及及平平面面球球面面 000 2222 0 xz yR . 0I=V当当 f =1,.例例1. zyxzyxfIddd ),( 求求rrrrrfIRdsin)cos,sinsin,cossin(dd022020 .z ,y,xRzyx:所围成的区域所围成的区域在第一卦限在第一卦限 及平面及平面球面球面 000 2222 对对r: 从从0R积分积分,得半径得半径任取球体内一点任取球体内一点得锥面得锥面对对 : 从从0 积分，积分，2对对 : 从从0 积分，扫遍球体积分，扫遍球体2机动 目录 上页 下页 返回 结束 球系下确定积分限练习球系下确定积分限练习1 为全球体为全球体2 为空心球体为空心球体3 为上半球体为上半球体4 为右半球体为右半球体5 为球体的为球体的 第一、二卦限部分第一、二卦限部分rrfIRdsindd02 02 0 为洞为洞添加添加 Rzyx rrfIRRdsindd22 02 0 rrfIRdsindd022 02 0 rrfIRdsindd02 0 0 rrfIRdsindd022 0 0 . Rzyx.例例2. zyxzyxfIddd ),( 求求机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算计算已知已知 )( .zyx,aazyx: z 0 xyar=2a cos 4 .M. cos20:ar 20 40 r M例例3. zyxzyxfIddd ),( rrrrrfIsadsin )cos,sinsin,cossin(ddco2 024 02 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算三重积分计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体所围立体.40Rr 020其中其中 与球面与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 262020),sin,cos(rrdzzrrfrdrdI柱标系：2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中为三次积分，积分在三种坐标系下化三重22222264422),(yxyxxxdzzyxfdydxI解：由图知：直角系：226yxz22yxz2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中为三次积分，积分在三种坐标系下化三重的变化范围与下面求球标系：r,20:226yxz22yxz222222sin6cos)(6404sincosrryxzrryxz由由drrrrrfddIrrsin)cos,sinsin,cossin(), 0(sin2sin24coscos2sin2sin24coscos04020222222舍去例例6.求曲面求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,cos0:3ar 利用对称性利用对称性, 所求立体体积为所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面对称面对称, 并与并与xoy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xoz yzxar机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 一一 般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍 .奇偶性奇偶性机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 7 7. . 计计算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由抛抛物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,机动 目录 上页 下页 返回 结束 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzrrddddddsin2rr积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离变量可分离.围成围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将将. )(),(Czyxf用三次积分表示用三次积分表示, ,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中其中 由由所所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成 ,:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设设, 1:222zyx计算计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性利用对称性原式原式 = 122ddyxyx0奇函数奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zoxy23. 设设 由锥面由锥面22yxz和球面和球面4222zyx所围成所围成 , 计算计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析：分析：若用“先二后一”, 则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁计算较繁! 采用采用“三次积分三次积分”较好较好.1zxy1o1机动 目录 上页 下页 返回 结束 :4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所围所围, 故可故可 思考思考: 若被积函数为若被积函数为 f ( y ) 时时, 如何计算简便如何计算简便? 表为表为 解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220机动 目录 上页 下页 返回 结束
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