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复习: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.1.什么叫推理?2.合情推理的主要形式有 和 .归纳类比第1页/共38页第2页/共38页第1个第2个第3个第3页/共38页(1)(2)6n nn第4页/共38页设第n堆由上到下,第n层有an个乒乓球,则(1)1232nn nan 22nn 2221122222nnnS222(12)(12)2nn 1(1)(21)(1)262n nnn n(1)(2)6n nn 第5页/共38页通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质 中 推 出 一 个 明 确 表 达 的 一 般 性 命 题 （ 猜 想 ） .第6页/共38页第7页/共38页类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即 观察、比较联想、类推猜想新结论第8页/共38页(06广东,10)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d；运算“ ”为：运算“ ”为： 设p,qR，若 ，则 ( ) A.(4，0) B.(2，0) C. (0，2) D.(0，-4) a bc dacbd bcad ( , )( , )(,); a bc dac b d ( , )( , )(,),p q (1,2)( , )(5,0)(1,2)( , )p q (1,2)( , )(5,0)p q 由得251202pqppqq (1,2)( , )(1,2)(1, 2)(2,0)p q 第9页/共38页根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象. 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.第10页/共38页在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列bn中，若b9=1，则有等式 成立.第11页/共38页 b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由题设可知，如果am=0，则有a1+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则有bmbn=bpbq，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，在本题中m=9.)第12页/共38页归纳推理：类比推理：实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类推猜测新的结论简言之：归纳: 特殊 一般类比: 特殊 特殊简言之：合情推理第13页/共38页 从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想第14页/共38页从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理注：演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断 演绎推理第15页/共38页三段论的基本格式MP（M是P）SM（S是M）SP（S是P）（大前提）（小前提）（结论）第16页/共38页 演绎推理（练习）（大前提）形是直角三角形两条边的平方和的三角一条边的平方等于其它）（1（小前提），而，的三边长依次为222345543ABC（结论）是直角三角形ABC（大前提）的图象是一条直线一次函数）（)0(2kbkxy（小前提）是一次函数函数52xy（结论）的图象是一条直线函数52xy第17页/共38页在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.解答本题需要利用直角三角形斜边上的中 线性质作为大前提.第18页/共38页（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形 大前提在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提所以ABD是直角三角形 结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.2 21 12 21 1第19页/共38页演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.第20页/共38页直接证明分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念第21页/共38页直接证明综合法和分析法的推证过程如下：综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 第22页/共38页综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。条件结论推理论证条件定理公理定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q(顺推证法、由因导果法)第23页/共38页b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c证为数例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c + + +. .a ab bc c为数证.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一.综合法第24页/共38页1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc ca aa ab b + + +2 22 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11 11 1 a a + + b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b证为数.111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 0,故只要证已知a0,求证:所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.2 2. .- -a a1 1+ +a a2 2- -a a1 1+ +a a2 22 22 2, ,- -a a1 1+ +a a2 2- -a a1 1+ +a a2 22 2. .2 2a a1 1+ +a a2 2a a1 1+ +a a2 22 2+. .) )2 2a a1 1+ +a a2 2) )a a1 1+ +a a( (2 22 22 22 2+(第31页/共38页从而只要证只要证 即 ,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.2 2a a1 1+ +a a2 22 22 2) )1 1( (2 22 2a a1 12 2a a4 4a a1 1+ +a a4 4a a1 1+ +a a2 22 22 22 22 22 2+a aa a) )1 1( (2 2a a1 1+ +a a2 22 22 2a aa a+) )1 12 2( (2 2a a1 1+ +( (a a4 42 22 22 22 2a aa a+)即第32页/共38页分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.第33页/共38页反证法 证明过程否定结论推出矛盾肯定结论，即分三个步骤：反设归谬存真用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件否定结论导 致逻辑矛盾反设 不成立结论成立第34页/共38页本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.若x,y都是正实数，且x+y2,求证： 或 中至少有一个成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+第35页/共38页假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 这与已知条件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一个成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+第36页/共38页（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.第37页/共38页感谢您的观看。第38页/共38页
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