高中数学空间几何体知识点总结

空间几何体知识点总结一、空间几何体的结构特征1 .柱、锥、台、球的结构特征由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个 面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转 体的轴。(1)柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面 叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱注：相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系：斜棱柱楂柱-二 镇.宣于君磔品匚”一正棱柱 其他棱柱四棱柱底面为平行四边走平行六面体俱11棱垂百于底面直平行六面体底面为矩形棱柱的性质:长方体I下面为正方格,匹四棱柱I侧棱与庖面边长相肾 正方网侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都 叫做圆柱侧面的母线。圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。棱柱与圆柱统称为柱体;(2)锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做 正棱锥。注：棱锥的性质: 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形;正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构 成四个直角三角形。圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥 的侧面。圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；棱锥与圆锥统称为锥体。(3)台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分 别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；棱台经常补成棱锥研究。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分 别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台的性质: 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆;圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。圆台和棱台统称为台体。(4)球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心 叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。注：球的有关问题转化为圆的问题解决。(5)组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2 .空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。具体包括：(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3 .空间几何体的直观图OX OY建立直角坐标系;(1)斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的回出斜坐标系，在回直观图的纸上（平面上）回出对应的O X ,O Y，使 XOY =450 （或1350）,它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于 X轴的线段，在直观图中画成平行于 X,轴，且长度保持不变； 在已 . 知图形平行于 Y轴的线段，在直观图中回成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去 X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的二倍。4注：解决两种常见的题型时应注意1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图” 2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。4.知识归纳及拓展（1）几种常凸多面体间的关系姑庶贵若坨擢分集正 四 帽 料（2） 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形1定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多面体恻棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱恻愦平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多也形与底面全等的多边形与底面全等的正多也形名祢核镀正棱锥正植官图形a态宓O定义有一个面是多边形，其余各面 是有一个公共顶点的三角形 的多面体底面是正多边 形，且顶点在底 面的射影是底 面的射影是病 面相戳面之间 的部分用一个平行于 楂锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间 的部分由正J变锥截羯的棱台侧棱相交于一方但不一定相等相交于一点且相等延长线交于点U相笫且硅长线交于一点恻面的形状三角形全等的等腰三甭形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中，心1棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角 都相等两盛中心连线即高二侧横与底 面、侧面与底 面棺部两侧面 所成角都相等、空间几何体的表面积和体积1.多面体的面积和体积公式名称侧面积6ft）全面积（5妾）体积（V）棱柱核柱直截面周长K1SW+2SS * h=S查理野 h亶棱柱chSh横推棱辕各侧面和之和S 惆+5 *-S ? h 3正棱锭-chf 2棱台械台各解面面积之和S乜十S it-S y呜-h (S _kc+S t+ 3正棱台(c+c， )h 2表中S表示面积，c1 匚分别表不上、下底面周长，11表斜高，hf表不斜高，1表不恻棱长.2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球3 :2 5L rl兀nR (tl+e:：) 1S金2:死亡(ir)允工(l+r)x (rr+rJl+H tr+r)V加工，但-K工% 3；工出工二七工：41”二）-IR3 J表中L h分别表示母线、高,r表示圆柱卜图盖与球冠的底半径,口、处分别表示图台上、下底面半径F R表小半径.附注：（1）两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫 做两点的球面距离.两点的球面距离公式：（其中R为球半径，。为 A,B所对应的球心角的弧度数）（2）正四面体的性质设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的全面积：S牵= 73a2；体积：V a3；对棱中点连线段的12长：d a ；内切球半径：r a ；外接球半径 R a ；正四面体内任意一点到四个面的距离 2124之和为定值（等于正四面体的高）。（参考教材：人教版必修 2A版）