因式分解(初二组).doc

因式分解及应用知识精讲: 一、因式分解的概念 因式分解的意义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 注意： （1）因式分解的对象是“一个多项式”，掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。 （2）因式分解是一种恒等的变形 （3）因式分解的结果是“整式的积”的形式。 归纳：因式分解的要点 第一：因式分解要进行到底； 第二：不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原； 第三：注意解题技巧的运用，不要死算。 二. 因式分解方法（一）提公因式法 1、多项式各项都含有的因式，叫做这个多项式的公因式。 2、确定公因式的方法： （1）若多项式的各项系数都是整数，则取各项系数的最大公约数作为公因式的系数； （2）取各项相同的字母因式； （3）取相同字母因式的最低指数作为字母的指数。 3、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 4、提公因式发分解因式的一般步骤： （1）找出公因式（关键）； （2）提出这个公因式，并把原多项式除以公因式所得的商作为另一因式，写出分解结果； （3）提公因式时，注意符号的变化。 注意：（1）如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号，使括号内的第一项系数为正； （2）公因式的系数和字母应分别考虑：系数是各项系数的最大公约数；字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。（二）公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； （6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； （7）a3+b3(a+b)(a2-ab+b2) （8）a3b3(ab)(a2+ab+b2)（三）十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=（三）二次项系数为1的齐次多项式（四）二次项系数不为1的齐次多项式（四）分组分解法.把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。（五）因式分解添项拆项配方法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和拆项有没有标准？一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。（六）因式分解待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。（七）换元法用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化。三、因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。典型例题：一、提取公因式例1、下列由左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是？为什么？（1）； （2）；（3）； （4）；（5）变式练习：1、下列哪些是因式分解？ （1） （2） （3） （4） （5）2、下列由左到右的变形是分解因式的是（ ） A、axbxc B、 C、 D、3、由左到右的运算属因式分解的是（ ） A、（3a+2）(a-3)=3a2-7a-6 B、3a2-7a-6=（3a+2）(a-3) C、3a2-7a-6=3(a-22)-7a D、m(a+b+c)=ma+mb+mc例2、找出下列各组式子中的公因式（1） ax和ay；_ ； （2）3a2和-9ab； ；（3）4a3，8a2b2，-3a2bc _ ；（4）4x（y1）2 和8x（y1）（y1）_ ；（5）2xny2n和4xny2n+1（n为大于1的整数） 。变式练习：1、对下列多项式进行因式分解：（1）3a3b3（_）； （2）a2a _；（3）4ab2a2b_； （4）2(x-y)2-4(x-y)_ _；（5）24m2x16n2x _ ； （6）a2-ab+3a_ 。2、（2010年广东省广州市）分解因式：3ab2a2b_3、(2011浙江绍兴) 分解因式： . 4、分解因式a2（bc）bc_例3、把多项式8a2b316a2b2c224a3bc3分解因式，应提的公因式是( )，A、8a2bc B、2a2b2c3 C、4abc D、24a3b3c3变式练习：1、多项式的公因式是（ ） A、a、 B、 C、 D、2、单项式与的公因式是 。3、用提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy)，提出的公因式应当为（ ）A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx4、在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（ ） A、5x3 B、5x3+1 C、5x3-1 D、-5x3例4、将下列多项式进行分解因式： （1）（3） （2） （3）8a3b212ab3c+ab （4）24x312x2+28x （5）x（a+b）+y（a+b） （6）6（p+q）212（q+p） （7）a（x3）+2b（x3） （8）mn（mn）m（nm）2变式练习： 将下列多项式分解因式：（1）a2b2ab2+ab （2）48mn24m2n3 （3）2x2y+4xy22xy （4）3a（xy）（xy） （5）a（m2）+b（2m） （6）3（mn）36（nm）2（7) (8)二、公式法例1分解因式：(1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16 （3）(2m-n)2-121(m+n)2 （4）-4(m+n)2+25(m-2n)2变式：(1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x-2y)2 (3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2 例2.分解因式: (1) a5b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n) (3)- 例3、把-a2-b2+2ab+4分解因式。 例4、分解因式（a+b）n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n 例5、分解因式：x48x2+16 例6、分解因式：(1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1 变式练习：分解因式：(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2 (2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16 (4)(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4 例7、分解因式：(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2 (2)3a4-6a2+3 变式练习：(3)an+1+an-1-2an (4)(m2+n2+1)2-4m2n2 中考例析：1（贵阳市）因式分解：x2-4y2= . 2（长沙市）分解因式：ma2+2ma+m= . 3（河北省）分解因式：=_。 4（北京市东城区）分解因式：2a3b+8a2b2+8ab3=_; 5.（辽宁）方程2x(x-3)=5(x-3)的根为（ ）A、x=; B、x=3; C、x1=3,x2=; D、x=- 6（苏州市）分解因式：ma2-4ma+4m= 。 7（扬州市）分解因式： 。 8（石家庄市）等式成立的条件是 。 9（昆明）x2-x+_=(x-)2。 10（石家庄）分解因式：a2+4b2-4ab-c2=_. 11（河北省）选择题：分解因式x4-1的结果为（ ） A、(x2-1)(x2+1) B、(x+1)2(x-1)2 C、(x-1)(x+1)(x2+1) D、(x-1)(x+1)3 12（安徽）分解因式：x2-4= 13（福州）分解因式：x2-4y2= 例8：分解因式（1）x3+8 （2）27-8a3 变式练习：分解因式（1）a3+1 （2）（3）1-27y3 （4）-m3-8例9、分解因式（1） （2） 变式练习：1、x4-x 2、 3、34、 5、 6、 7、 8、 9、例10、分解因式1、x6-1 2、a6-b6变式练习：1、x6-64 2、a9-b9 3、x6+16x3y3+64y6 4、27x6-8y6 三、十字相乘法例1、分解因式（1） （2）变式练习：(1) (2) (3)（4） (5) (6)例2、分解因式：变式：（1） （2） （3） （4）例3、分解因式：变式：(1) (2) (3)例4、（1） （2）变式：（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）（12） （13）四、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：练习：分解因式（1） （2）（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：（1） （2）变式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）五、添项拆项配方法例、分解因式（1） （2）变式：分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）六、待定系数法例1、若x2axb可以分解成（x1）（x2），则a_，b 变式练习： 1、若则=_ 2、则=_=_例2、 分解因式：6x2+7xy+2y2-8x-5y+2变式：用待定系数法分解 x2+2xy-8y2+2x+14y-3 的因式例3、已知多项式 x4+x3+6x2+5x+5能被x2+x+1整除，请分解前者的因式。变式：已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，则a+b= 七、在实数范围内分解因式例、在实数范围内分解因式（1）3-2 （2）3+- （3） x2-(+) x + （4）4x23 (5) x-2 变式训练（在实数范围内分解因式）：(1)7+2 (2)9-2 (3)x2-(+)x+ （4） -+ (5)a4-6a2+8八、换元法例1、（1） （2）变式练习：（1） （2） （3） （4）例2、分解因式（1） （2）变式练习：（1） （2）九、因式分解的应用（一）利用因式分解判断整除性例1、求证：32000-431999+1031998能被7整除变式练习： （1）证明72000-71999-71998能被41整除。 （2）求证：14+1能被197整除（3）求证：若为正整数，则能被24整除例2、设4xy为3的倍数，求证：4x+7xy2y能被9整除变式练习：证明x+y+z3xyz能被(x+y+z)整除例3、2n1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除变式练习：求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。（二）因式分解解计算题例4、利用分解因式进行简便运算： （1）5998+10 （2）54.915.1 （3）变式练习： 利用分解因式进行简便运算：（1） （2）7.6200.1+4.3200.1-1.9200.1（3） （4）2022-542+256352（5）计算 （6）计算999999991999（7）积的整数部分为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4（三）利用因式分解化简求值例5、先化简，再求值: 已知2x-y=, xy=2, 求2x4y3-x3y4的值。变式练习： 先分解因式，再求值：（1）4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3 （2）已知4x2+7x+2=4，求-12x2-21x的值。（3） 例6、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。（1）a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) a3+b3变式练习：2、已知，求：的值3、 已知x2+y2=6，xy=2，求x6+y6的值例7、若，则=_变式练习：1、已知ab2005，ab，则a2bab2的值为 。2、已知m+n=5，mn=3，则m2n+mn2=_3、已知x+y=6，xy=-3，则x2y+xy2=_4、当a=3，a-b=1时，代数式a2-ab的值是_5、不解方程组，求代数式的值。（四）利用因式分解解方程例8解方程：(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78). （3）（x24x)22(x24x)15=0 变式练习：1. 求方程4x24xy3y2=5的整数解。2. 已知=7，求整数x、y的值3. 求出方程的全部正整数解（五）利用因式分解证明等式（不等式）例9、已知三角形的三边a、b、c满足等式，证明这个三角形是等边三角形。例10. 已知三角形的三边a、b、c满足，试判断此三角形的形状。变式练习：1. 设a、b、c为ABC的三边，求证AC,（2）若BC=83.25，MD=12,求2 如题图，在ABC中，ABCACB,ADBC于D，P是AD上任一点，求证：AC+BPAB+PC培优提升：1、若x23x20，求2x36x24x的值。2满足等式的正整数对（x,y）的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、43、已知，求的值4. 已知是不全相等的实数，且，试求（1）的值；（2）的值。5、若均为正整数，且。求的值。6、求满足的整数对。7、(1)求方程的整数解； (2)设x、y为正整数，且，求的值8、(1)求证：8l7一279913能被45整除； (2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差； （3）计算：10已知b、c是整数，二次三项式x2+bxc既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x1时，x2+bxc的值