资源描述
因式分解及应用知识精讲: 一、因式分解的概念 因式分解的意义:把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。 注意: (1)因式分解的对象是“一个多项式”,掌握这一要点对判断、把握一种变形是否是因式分解提供一定的帮助。 (2)因式分解是一种恒等的变形 (3)因式分解的结果是“整式的积”的形式。 归纳:因式分解的要点 第一:因式分解要进行到底; 第二:不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原; 第三:注意解题技巧的运用,不要死算。 二. 因式分解方法(一)提公因式法 1、多项式各项都含有的因式,叫做这个多项式的公因式。 2、确定公因式的方法: (1)若多项式的各项系数都是整数,则取各项系数的最大公约数作为公因式的系数; (2)取各项相同的字母因式; (3)取相同字母因式的最低指数作为字母的指数。 3、提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 4、提公因式发分解因式的一般步骤: (1)找出公因式(关键); (2)提出这个公因式,并把原多项式除以公因式所得的商作为另一因式,写出分解结果; (3)提公因式时,注意符号的变化。 注意:(1)如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“”号,使括号内的第一项系数为正; (2)公因式的系数和字母应分别考虑:系数是各项系数的最大公约数;字母是各项共有的字母,并且各字母的指数取次数最低的。(二)公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b); (2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2; (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a3+b3(a+b)(a2-ab+b2) (8)a3b3(ab)(a2+ab+b2)(三)十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。(二)二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) (2) (3) 分解结果:=(三)二次项系数为1的齐次多项式(四)二次项系数不为1的齐次多项式(四)分组分解法.把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。注意:如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。(五)因式分解添项拆项配方法有的多项式由于“缺项”,或“并项”因此不能直接分解。但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了,那么添项和拆项有没有标准?一般来说,添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后,不能运用四种基本方法分解,添项拆项也是无用的。(六)因式分解待定系数法有些多项式不能直接分解因式,我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来,进而得出因式分解结果,这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。(七)换元法用换元法分解因式,它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换,从而使较复杂的数学问题得到简化。三、因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形,它与整式、分式联系极为密切,分式运算、解方程以及一些恒等变换,都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识,它还是一种重要的数学思想方法,在今后的数学学习中应用很广。典型例题:一、提取公因式例1、下列由左到右的变形中,哪些是分解因式?哪些不是?为什么?(1); (2);(3); (4);(5)变式练习:1、下列哪些是因式分解? (1) (2) (3) (4) (5)2、下列由左到右的变形是分解因式的是( ) A、axbxc B、 C、 D、3、由左到右的运算属因式分解的是( ) A、(3a+2)(a-3)=3a2-7a-6 B、3a2-7a-6=(3a+2)(a-3) C、3a2-7a-6=3(a-22)-7a D、m(a+b+c)=ma+mb+mc例2、找出下列各组式子中的公因式(1) ax和ay;_ ; (2)3a2和-9ab; ;(3)4a3,8a2b2,-3a2bc _ ;(4)4x(y1)2 和8x(y1)(y1)_ ;(5)2xny2n和4xny2n+1(n为大于1的整数) 。变式练习:1、对下列多项式进行因式分解:(1)3a3b3(_); (2)a2a _;(3)4ab2a2b_; (4)2(x-y)2-4(x-y)_ _;(5)24m2x16n2x _ ; (6)a2-ab+3a_ 。2、(2010年广东省广州市)分解因式:3ab2a2b_3、(2011浙江绍兴) 分解因式: . 4、分解因式a2(bc)bc_例3、把多项式8a2b316a2b2c224a3bc3分解因式,应提的公因式是( ),A、8a2bc B、2a2b2c3 C、4abc D、24a3b3c3变式练习:1、多项式的公因式是( ) A、a、 B、 C、 D、2、单项式与的公因式是 。3、用提公因式法分解因式5a(xy)10b(xy),提出的公因式应当为( )A、5a10b B、5a10b C 、5(xy) D、yx4、在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时,提出公因式-(3a-2b)2后,另一个因式是( ) A、5x3 B、5x3+1 C、5x3-1 D、-5x3例4、将下列多项式进行分解因式: (1)(3) (2) (3)8a3b212ab3c+ab (4)24x312x2+28x (5)x(a+b)+y(a+b) (6)6(p+q)212(q+p) (7)a(x3)+2b(x3) (8)mn(mn)m(nm)2变式练习: 将下列多项式分解因式:(1)a2b2ab2+ab (2)48mn24m2n3 (3)2x2y+4xy22xy (4)3a(xy)(xy) (5)a(m2)+b(2m) (6)3(mn)36(nm)2(7) (8)二、公式法例1分解因式:(1)4a2-9b2 (2)-25a2y4+16b16 (3)(2m-n)2-121(m+n)2 (4)-4(m+n)2+25(m-2n)2变式:(1)36b4x8-9c6y10 (2)(x+2y)2-(x-2y)2 (3)81x8-y8 (4)(3a+2b)2-(2a+3b)2 例2.分解因式: (1) a5b-ab (2)a4(m+n)-b4(m+n) (3)- 例3、把-a2-b2+2ab+4分解因式。 例4、分解因式(a+b)n+2-2(a+b)n+1+(a+b)n 例5、分解因式:x48x2+16 例6、分解因式:(1)x2+6ax+9a2 (2)-x2-4y2+4xy (3)9(a-b)2+6(a-b)+1 变式练习:分解因式:(1)a4x2-4a2x2y+4x2y2 (2)(x+y)2-12(x+y)z+36z2 (3)(x2+4x)2+8(x2+4x)+16 (4)(x2-2y2)2-2(x2-2y2)y2+2y4 例7、分解因式:(1)9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2 (2)3a4-6a2+3 变式练习:(3)an+1+an-1-2an (4)(m2+n2+1)2-4m2n2 中考例析:1(贵阳市)因式分解:x2-4y2= . 2(长沙市)分解因式:ma2+2ma+m= . 3(河北省)分解因式:=_。 4(北京市东城区)分解因式:2a3b+8a2b2+8ab3=_; 5.(辽宁)方程2x(x-3)=5(x-3)的根为( )A、x=; B、x=3; C、x1=3,x2=; D、x=- 6(苏州市)分解因式:ma2-4ma+4m= 。 7(扬州市)分解因式: 。 8(石家庄市)等式成立的条件是 。 9(昆明)x2-x+_=(x-)2。 10(石家庄)分解因式:a2+4b2-4ab-c2=_. 11(河北省)选择题:分解因式x4-1的结果为( ) A、(x2-1)(x2+1) B、(x+1)2(x-1)2 C、(x-1)(x+1)(x2+1) D、(x-1)(x+1)3 12(安徽)分解因式:x2-4= 13(福州)分解因式:x2-4y2= 例8:分解因式(1)x3+8 (2)27-8a3 变式练习:分解因式(1)a3+1 (2)(3)1-27y3 (4)-m3-8例9、分解因式(1) (2) 变式练习:1、x4-x 2、 3、34、 5、 6、 7、 8、 9、例10、分解因式1、x6-1 2、a6-b6变式练习:1、x6-64 2、a9-b9 3、x6+16x3y3+64y6 4、27x6-8y6 三、十字相乘法例1、分解因式(1) (2)变式练习:(1) (2) (3)(4) (5) (6)例2、分解因式:变式:(1) (2) (3) (4)例3、分解因式:变式:(1) (2) (3)例4、(1) (2)变式:(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9)(10) (11)(12) (13)四、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式:例2、分解因式:练习:分解因式(1) (2)(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:(1) (2)变式:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)五、添项拆项配方法例、分解因式(1) (2)变式:分解因式(1) (2)(3) (4)(5) (6)六、待定系数法例1、若x2axb可以分解成(x1)(x2),则a_,b 变式练习: 1、若则=_ 2、则=_=_例2、 分解因式:6x2+7xy+2y2-8x-5y+2变式:用待定系数法分解 x2+2xy-8y2+2x+14y-3 的因式例3、已知多项式 x4+x3+6x2+5x+5能被x2+x+1整除,请分解前者的因式。变式:已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式,则a+b= 七、在实数范围内分解因式例、在实数范围内分解因式(1)3-2 (2)3+- (3) x2-(+) x + (4)4x23 (5) x-2 变式训练(在实数范围内分解因式):(1)7+2 (2)9-2 (3)x2-(+)x+ (4) -+ (5)a4-6a2+8八、换元法例1、(1) (2)变式练习:(1) (2) (3) (4)例2、分解因式(1) (2)变式练习:(1) (2)九、因式分解的应用(一)利用因式分解判断整除性例1、求证:32000-431999+1031998能被7整除变式练习: (1)证明72000-71999-71998能被41整除。 (2)求证:14+1能被197整除(3)求证:若为正整数,则能被24整除例2、设4xy为3的倍数,求证:4x+7xy2y能被9整除变式练习:证明x+y+z3xyz能被(x+y+z)整除例3、2n1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),证明这两个连续奇数的平方差能被8整除变式练习:求证:连续两个整数的积,再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。(二)因式分解解计算题例4、利用分解因式进行简便运算: (1)5998+10 (2)54.915.1 (3)变式练习: 利用分解因式进行简便运算:(1) (2)7.6200.1+4.3200.1-1.9200.1(3) (4)2022-542+256352(5)计算 (6)计算999999991999(7)积的整数部分为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(三)利用因式分解化简求值例5、先化简,再求值: 已知2x-y=, xy=2, 求2x4y3-x3y4的值。变式练习: 先分解因式,再求值:(1)4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3 (2)已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值。(3) 例6、已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。(1)a2+b2 (2) a2-ab+b2 (3) a3+b3变式练习:2、已知,求:的值3、 已知x2+y2=6,xy=2,求x6+y6的值例7、若,则=_变式练习:1、已知ab2005,ab,则a2bab2的值为 。2、已知m+n=5,mn=3,则m2n+mn2=_3、已知x+y=6,xy=-3,则x2y+xy2=_4、当a=3,a-b=1时,代数式a2-ab的值是_5、不解方程组,求代数式的值。(四)利用因式分解解方程例8解方程:(1)(65x+63)2-(65x-63)2=260; (2)(78x+77)(77x-78)=(78x+77)(77x+78). (3)(x24x)22(x24x)15=0 变式练习:1. 求方程4x24xy3y2=5的整数解。2. 已知=7,求整数x、y的值3. 求出方程的全部正整数解(五)利用因式分解证明等式(不等式)例9、已知三角形的三边a、b、c满足等式,证明这个三角形是等边三角形。例10. 已知三角形的三边a、b、c满足,试判断此三角形的形状。变式练习:1. 设a、b、c为ABC的三边,求证AC,(2)若BC=83.25,MD=12,求2 如题图,在ABC中,ABCACB,ADBC于D,P是AD上任一点,求证:AC+BPAB+PC培优提升:1、若x23x20,求2x36x24x的值。2满足等式的正整数对(x,y)的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、43、已知,求的值4. 已知是不全相等的实数,且,试求(1)的值;(2)的值。5、若均为正整数,且。求的值。6、求满足的整数对。7、(1)求方程的整数解; (2)设x、y为正整数,且,求的值8、(1)求证:8l7一279913能被45整除; (2)证明:当n为自然数时,2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差; (3)计算:10已知b、c是整数,二次三项式x2+bxc既是x4+6x2+25的一个因式,也是x3+4x2+28x+5的一个因式,求x1时,x2+bxc的值
展开阅读全文