全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编

智浪教育 普惠英才文库 1 全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 力学 第 16 届预赛题 1 15 分 一质量为 的平顶小车 以速度 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动 现M0v 将一质量为 的小物块无初速地放置在车顶前缘 已知物块和车顶之间的动摩擦系数为m 1 若要求物块不会从车顶后缘掉下 则该车顶最少要多长 2 若车顶长度符合 1 问中的要求 整个过程中摩擦力共做了多少功 参考解答 1 物块放到小车上以后 由于摩擦力的作用 当以地面为参考系时 物块将从静止 开始加速运动 而小车将做减速运动 若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此 时的速度 则物块就刚好不脱落 令 表示此时的速度 在这个过程中 若以物块和小v 车为系统 因为水平方向未受外力 所以此方向上动量守恒 即 1 0 Mvm 从能量来看 在上述过程中 物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功 即 2 211vgs 其中 为物块移动的距离 小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功 即1s 3 2021Mvms 其中 为小车移动的距离 用 表示车顶的最小长度 则2sl 4 21ls 由以上四式 可解得 5 20 Mvlgm 即车顶的长度至少应为 20 l 2 由功能关系可知 摩擦力所做的功等于系统动量的增量 即 6 201 WmMv 智浪教育 普惠英才文库 2 由 1 6 式可得 7 20 mMvW 2 20 分 一个大容器中装有互不相溶的两种液体 它们的密度分别为 和 1 2 现让一长为 密度为 的均匀木棍 竖直地放在上面的液体内 12 L12 其下端离两液体分界面的距离为 由静止开始下落 试计算木棍到达最低处所需的34 时间 假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计 且两液体都足够深 保证木 棍始终都在液体内部运动 未露出液面 也未与容器相碰 参考解答 1 用 表示木棍的横截面积 从静止开始到其下端到达两液体交界面为止 在这过S 程中 木棍受向下的重力 和向上的浮力 由牛顿第二定律可知 12 LSg 1LSg 其下落的加速度 1 211ag 用 表示所需的时间 则1t 2 2134Lat 由此解得 3 1213 tg 2 木棍下端开始进入下面液体后 用 表示木棍在上面液体中的长度 这时木棍 L 所受重力不变 仍为 但浮力变为 当 时 12 S 12 SgLSg L 浮力小于重力 当 时 浮力大于重力 可见有一个合力为零的平衡位置 用 表 0L 0 示在此平衡位置时 木棍在上面液体中的长度 则此时有 4 121020 SgLLSg 由此可得 5 02L 智浪教育 普惠英才文库 3 即木棍的中点处于两液体交界处时 木棍处于平衡状态 取一坐标系 其原点位于交界 面上 竖直方向为 轴 向上为正 则当木棍中点的坐标 时 木棍所受合力为z 0z 零 当中点坐标为 时 所受合力为 1212211 2LSgzSgLzSgSgzk 式中 6 k 这时木棍的运动方程为 12 zkzLSa 为沿 方向加速度 za 212 zgz 7 212 L 由此可知为简谐振动 其周期 8 12 LTg 为了求同时在两种液体中运动的时间 先求振动的振幅 木棍下端刚进入下面液A 体时 其速度 9 1vat 由机械能守恒可知 10 2211 2SLvkzA 式中 为此时木棍中心距坐标原点的距离 由 1 3 9 式可求得 zL v 再将 和 6 式中的 代人 10 式得vk 11 AL 由此可知 从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到 达坐标原点所走的距离是振幅的一半 从参考圆 如图预 解16 9 上可知 对应的 为 30 对应的时间为 12T 因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所 智浪教育 普惠英才文库 4 用的时间 即棍中心从 到 所用的时间为2Lz 12 122 3Tt g 3 从木棍全部浸入下面液体开始 受力情况的分析和1中类似 只是浮力大于重力 所以做匀减速运动 加速度的数值与 一样 其过程和1 中情况相反地对称 所用时间a 13 31t 4 总时间为 14 12123 6Ltt g 第 17 届预赛题 1 20 分 如图预 17 8 所示 在水平桌面上放有长木板 上右端是固定挡板 CP 在 上左端和中点处各放有小物块 和 的尺寸以及 的厚度皆可忽略不计 CABP 之间和 之间的距离皆为 设木板 与桌面之间无摩擦 之间和ABPLAC 之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为 连同挡板 的质量 AB 相同 开始时 和 静止 以某一初速度向右运动 试问下列情况是否能发生 要C 求定量求出能发生这些情况时物块 的初速度 应满足的条件 或定量说明不能发生的A0v 理由 1 物块 与 发生碰撞 AB 2 物块 与 发生碰撞 设为弹性碰撞 后 物块 与挡板 发生碰撞 BP 3 物块 与挡板 发生碰撞 设为弹性碰撞 后 物块 与 在木板 上再发PAC 生碰撞 4 物块 从木板 上掉下来 AC 5 物块 从木板 上掉下来 B 参考解答 1 以 表示物块 和木板 的质量 当物块 以初速 向右运动时 物块mAA0v 受到木板 施加的大小为 的滑动摩擦力而减速 木板 则受到物块 施加的大ACg CA 小为 的滑动摩擦力和物块 施加的大小为 的摩擦力而做加速运动 物块则因受g Bf 智浪教育 普惠英才文库 5 木板 施加的摩擦力 作用而加速 设 三者的加速度分别为 和 CfABCAaBC 则由牛顿第二定律 有 Amga Cf Ba 事实上在此题中 即 之间无相对运动 这是因为当 时 由上式C BCa 可得 1 12fmg 它小于最大静摩擦力 可见静摩擦力使物块 木板 之间不发生相对运动 若BC 物块 刚好与物块 不发生碰撞 则物块 运动到物块 所在处时 与 的速度大小ABAAB 相等 因为物块 与木板 的速度相等 所以此时三者的速度均相同 设为 由动量C 1v 守恒定律得 2 013mv 在此过程中 设木板 运动的路程为 则C1s 物块 运动的路程为 如图预解17 8所A1sL 示 由动能定理有 3 2101 mvgs 4 或者说 在此过程中整个系统动能的改变等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数 和 3 与 4 式等号两边相加 即 5 210 3 mvgL 式中 就是物块 相对木板 运动的路程 解 2 5 式 得LAC 6 0vgL 即物块 的初速度 时 刚好不与 发生碰撞 若 03vgL 则 将与3 ABA 发生碰撞 故 与 发生碰撞的条件是BAB 智浪教育 普惠英才文库 6 03vgL 7 2 当物块 的初速度 满足 7 式时 与 将发生碰撞 设碰撞的瞬间 AABA 三者的速度分别为 和 则有BCAvBC 8 在物块 发生碰撞的极短时间内 木板 对它们的摩擦力的冲量非常小 可忽略不A 计 故在碰撞过程中 与 构成的系统的动量守恒 而木板 的速度保持不变 因为ABC 物块 间的碰撞是弹性的 系统的机械能守恒 又因为质量相等 由动量守恒和机B 械能守恒可以证明 证明从略 碰撞前后 交换速度 若碰撞刚结束时 AB 三者的速度分别为 和 则有ACAv BCv BAv 由 8 9 式可知 物块 与木板 速度相等 保持相对静止 而 相对于 BA 向右运动 以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续 由物块 替换 继续向右C 运动 若物块 刚好与挡板 不发生碰撞 则物块 以速度 从板 板的中点运动到挡BPBv C 板 所在处时 与 的速度相等 因 与 的速度大小是相等的 故 三PCACAB 者的速度相等 设此时三者的速度为 根据动量守恒定律有2v 10 023mv 以初速度 开始运动 接着与 发生完全弹性碰撞 碰撞后物块 相对木板 静ABAC 止 到达 所在处这一整个过程中 先是 相对 运动的路程为 接着是 相对BPACLB 运动的路程为 整个系统动能的改变 类似于上面第1问解答中 5 式的说法 等CL 于系统内部相互问的滑动摩擦力做功的代数和 即 11 20 3 2mvgL 解 10 11 两式得 12 06vgL 即物块 的初速度 时 与 碰撞 但 与 刚好不发生碰撞 若A ABP06vgL 就能使 与 发生碰撞 故 与 碰撞后 物块 与挡板 发生碰撞的BPBP 智浪教育 普惠英才文库 7 条件是 06vgL 13 3 若物块 的初速度 满足条件 13 式 则在 发生碰撞后 将与挡板A0 ABB 发生碰撞 设在碰撞前瞬间 三者的速度分别为 和 则有PABCv Cv 14 Bvv 与 碰撞后的瞬间 三者的速度分别为 和 则仍类似于第B Av B Cv 2问解答中 9 的道理 有 15 BCv Bv Av 由 14 15 式可知 与 刚碰撞后 物块 与 的速度相等 都小于木板 的速P C 度 即 16 BCAvv 在以后的运动过程中 木板 以较大的加速度向右做减速运动 而物块 和 以相同的AB 较小的加速度向右做加速运动 加速度的大小分别为 17 2Cag BAag 加速过程将持续到或者 和 与 的速度相同 三者以相同速度 向右做匀速运动 013v 或者木块 从木板 上掉了下来 因此物块 与 在木板 上不可能再发生碰撞 A C 4 若 恰好没从木板 上掉下来 即 到达 的左端时的速度变为与 相同 这CAC 时三者的速度皆相同 以 表示 由动量守恒有3v 18 0m 从 以初速度 在木板 的左端开始运动 经过 与 相碰 直到 刚没从木板 的A0vCBPAC 左端掉下来 这一整个过程中 系统内部先是 相对 的路程为 接着 相对 运动ACLB 的路程也是 与 碰后直到 刚没从木板 上掉下来 与 相对 运动的路程LBP 也皆为 整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和 即 19 2301 4mvgL 由 18 19 两式 得 20 012vgL 智浪教育 普惠英才文库 8 即当物块 的初速度 时 刚好不会从木板 上掉下 若 A012vgL AC012vgL 则 将从木板 上掉下 故 从 上掉下的条件是CC 21 0v 5 若物块 的初速度 满足条件 21 式 则 将从木板 上掉下来 设 刚要A0ACA 从木板 上掉下来时 三者的速度分别为 和 则有CBCv B v 22 Avv 这时 18 式应改写为 23 02ACmvv 19 式应改写为 24 20211 4BCvmvgL 当物块 从木板 上掉下来后 若物块 刚好不会从木板 上掉下 即当 的左端赶ACC 上 时 与 的速度相等 设此速度为 则对 这一系统来说 由动量守恒B4vB 定律 有 25 42BCmvv 在此过程中 对这一系统来说 滑动摩擦力做功的代数和为 由动能定理可得mgL 26 242211 BCvmv 由 23 24 25 26 式可得 27 04vgL 即当 时 物块 刚好不能从木板 上掉下 若 则 将从木板 上掉下 04vgBCBC 故物块 从木板 上掉下来的条件是BC 28 04vgL 第 18 届预赛题 1 25 分 如图预 18 5 所示 一质量为 长为 带薄挡板 的木板 静止在水平MLP 的地面上 设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等 皆为 质量为 的人 m 智浪教育 普惠英才文库 9 从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端 到达另一端时便骤然抓 住挡板 而停在木板上 已知人与木板间的静摩擦系数足够大 人在木板上不滑动 问 P 在什么条件下 最后可使木板向前方移动的距离达到最大 其值等于多少 参考解答 在人从木板的一端向另一端运动的过程中 先讨论木板发生向后运动的情形 以 表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间 设以 表示木板向t 1x 后移动的距离 如图预解 18 5 所示 以 表示人与木板间的静摩擦力 以 表示地面f F 作用于木板的摩擦力 以 和 分别表示人和木板的加速度 则1a2 1fm 1 21Lxat 2 2fFM 3 4 21xat 解以上四式 得 5 2 LMmtfF 对人和木板组成的系统 人在木板另一端骤然停下后 两者的总动量等于从开始到 此时地面的摩擦力 的冲量 忽略人骤然停下那段极短的时间 则有 6 Ftmv 为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度 设人在木板另一端停下后两者一起v 向前移动的距离为 地面的滑动摩擦系数为 则有2x 7 221 Mvgx 木板向前移动的净距离为 8 21Xx 智浪教育 普惠英才文库 10 由以上各式得 21 FLMmLmXfFgfFMfF 由此式可知 欲使木板向前移动的距离 为最大 应有X 9 f 即 10 max Fg 即木板向前移动的距离为最大的条件是 人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板 的滑动摩擦力 移动的最大距离 11 maxXLM 由上可见 在设木板发生向后运动 即 的情况下 时 有极大值 也就fF fF X 是说 在时间0 内 木板刚刚不动的条件下 有极大值 t X 再来讨论木板不动即 f 的情况 那时 因为 f 所以人积累的动能和碰后 的总动能都将变小 从而前进的距离 也变小 即小于上述的 xmax 评分标准 本题25分 1 2 3 4 式各1分 6 式5 分 7 式2 分 8 式3分 9 式2 分 10 式3分 11 式5 分 说明 fF 时木板向前移动的距离小于 时fF 的给1分 2 1 8 分 在用铀 235 作燃料的核反应堆中 铀 235 核吸收一个动能约为 0 025 的热中子 慢中子 后 可发生裂变反应 放出能量和 2 3 个快中子 而快中子不eV 利于铀 235 的裂变 为了能使裂变反应继续下去 需要将反应中放出的快中子减速 有 一种减速的方法是使用石墨 碳 12 作减速剂 设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞 问一个动能为 的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次 才能减速成为01 75MeVE 0 025 的热中子 eV 参考解答 设中子和碳核的质量分别为 和 碰撞前中子的速度为 碰撞后中子和碳核mM0v 智浪教育 普惠英才文库 11 的速度分别为 和 因为碰撞是弹性碰撞 所以在碰撞前后 动量和机械能均守恒 v 又因 和 沿同一直线 故有0 1 0mvMv 2 2211 解上两式得 3 0vm 因 12M 代入 3 式得 4 013v 负号表示 的方向与 方向相反 即与碳核碰撞后中子被反弹 因此 经过一次碰撞后 中子的能量为 221013Emvv 于是 2103 5 经过 2 3 次碰撞后 中子的能量依次为 有n2E34nE 24103E 630 6 21003nnnEE 因此 7 lg 2 已知 760 5107nE 智浪教育 普惠英才文库 12 代入 7 式即得 8 71lg 0 lg7 84512 03n 故初能量 的快中子经过近 54 次碰撞后 才成为能量为 0 025 的热中01 75MeVE eV 子 评分标准 本题 18 分 1 2 4 6 式各 3 分 5 7 8 式各 2 分 第 19 届预赛 15 分 今年 3 月我国北方地区遭遇了近 10 年来最严重的沙尘暴天气 现把沙尘上扬 后的情况简化为如下情景 为竖直向上的风速 沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中 不动 v 这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度 竖直向下运动时所受的阻v 力 此阻力可用下式表达 2fAv 其中 为一系数 为沙尘颗粒的截面积 为空气密度 A 1 若沙粒的密度 沙尘颗粒为球形 半径 33S2 810kgm 42 510mr 地球表面处空气密度 试估算在地面附近 上述 的最小0 5 45 v 值 1v 2 假定空气密度 随高度 的变化关系为 其中 为 处的空气 h0 1 Ch 0 h 密度 为一常量 试估算当 时扬沙的最大高C411 80m 19 msv 度 不考虑重力加速度随高度的变化 参考解答 1 在地面附近 沙尘扬起要能悬浮在空中 则空气阻力至少应与重力平衡 即 201Avmg 式中 为沙尘颗粒的质量 而m 2r 智浪教育 普惠英才文库 13 3s4mr 得 10gv 代入数据得 114 msv 2 用 分别表示 时扬沙到达的最高处的空气密度和高度 则有h 9 0sv h 1 C 此时式 应为 2hAvmg 由 可解得 20s413rCv 代入数据得 36 81mh 评分标准 本题 15 分 1 第一小题 8 分 其中 式 3 分 式 1 分 式 1 分 式 2 分 式 1 分 2 第二小题 7 分 其中 式 1 分 式 1 分 式 3 分 式 2 分