专题复习_“隐形圆”问题

1 2 隐形圆 问题 江苏省通州高级中学 一 问题概述 江苏省 高考 考试 说明 中圆 的方程 是 C 级 知识 点 每 年都考 但 有些 时候 在 条件中 没 有直接 给 出 圆方 面的 信息 而是隐 藏在 题目 中的 要通 过分析 和转 化 发 现圆 或 圆的方 程 从而最 终 可 以利 用圆 的知 识来求 解 我们 称这 类问 题为 隐形 圆 问题 二 求解策略 如何发 现隐 形圆 或 圆的 方程 是关 键 常见 的有 以下策 略 策略一 利 用圆 的定 义 到定点 的距 离等 于定 长的 点的轨 迹 确定 隐形 圆 例 1 1 如果 圆 x 2a 2 y a 3 2 4 上总 存在 两 个点 到 原点 的距 离 为 1 则实 数 a 的 取 值范围 是 6 a 0 5 略解 到原 点的 距离 为 1 的点的 轨迹 是以 原点 为圆 心的单 位圆 转 化到 此单 位圆与 已知 圆相交 求解 2 20 16 年 南京 二模 已知 圆 O x2 y2 1 圆 M x a 2 y a 4 2 1 若圆 M 上 存在 点 P 过 点 P 作 圆 O 的两 条 切线 切点 为 A B 使 得 APB 6 0 则 a 的取值 范 围为 解 由题 意得 OP 2 所 以 P 在 以 O 为 圆心 2 为 半径的 圆 上 即 此圆 与 圆 M 有 公共 点 因 此有 2 1 OM 2 1 1 a2 a 4 2 9 2 2 a 2 2 2 2 3 201 7 年 苏北 四市 一模 已知 A B 是圆 C x2 y2 1 上的 动点 AB 3 P 是圆 C x 3 2 y 4 2 1 上的动 点 则 PA PB 的取 值 范围 是 7 13 1略解 取 AB 的中 点 M 则 C 1M 2 1 所 以 M 在以 C 1 圆心 半径 为 2 的圆上 且 PA PB 2PM 转化 为两 圆上 动点 的距 离的最 值 4 若 对 任意 R 直 线 l xcos ysi n 2s in 4 与圆 C x m 2 y 3 m 26 1 均 无公 共点 则 实数 m 的 取值 范围 是 1 5 2 2 略解 直 线 l 的方 程为 x 1 cos y 3 sin 4 M 1 3 到 l 距 离为 4 所 以 l 是 以 M 为 圆心 半径 为 4 的定 圆的切 线系 转 化为 圆 M 与圆 C 内 含 0 0 O 2 注 直 线 l x x0 cos y y0 sin R 为圆 M x x 2 x y 2 R2 的切 线系 例 2 20 17 年南 通市 一模 在平 面直 角坐 标 系 xOy 中 已 知 B C 为 圆 x2 y2 4 上两 点 点 A 1 1 且 AB AC 则 线段 BC 的 长的 取值 范围 为 解 法 一 标解 设 BC 的中 点为 M x y 因为 OB2 OM 2 BM 2 OM 2 AM 2 y 所以 4 x2 y2 x 1 2 y 1 2 B M C 2 2 化简得 x 1 y 1 3 A 2 2 2 x 所以点 M 的轨 迹是 以 1 1 为圆心 3 2 为半 径的 2 6 圆 所 以 AM 的取值范 围是 2 2 6 2 所 2 2 例 2 以 BC 的取 值范 围是 6 2 6 2 法二 以 AB A C 为 邻边 作矩 形 BACN 则 BC A N 由矩形 的几 何性 质 矩 形所 在 平面 上的 任意 一点 到其 对角线 上的 两个 顶点 的距 离的平 方 和相等 有 OB2 OC2 OA2 ON 2 所以 ON 6 故 N 在以 O 为圆 心 半径 为 6 的圆 上 所以 BC 的取 值范 围是 6 2 6 2 变式 1 2014 年 常州 高 三期末 卷 在 平面直 角坐 标系 xOy 中 已知 圆 O x2 y2 16 点 P 1 2 M N 为圆 O 上两 个不 同的点 且 PM PN 0 若 PQ PM PN 则 PQ 的 最小值 为 3 3 5 y 2 2 2 2变式 2 已 知圆 C 1 x y 9 圆 C2 x y 4 定点 A P 1 0 动点 A B 分别 在圆 C1 和圆 C2 上 满 足 APB 90 则线段 AB 的取 值范 围 2 3 1 2 3 1 B O P x 变式 3 已 知向 量 a b c 满足 a 3 b 2 c 1 a c b c 0 则 a b 范围 为 2 3 1 2 3 1 0 策略二 动 点 P 对 两定 点 A B 张 角是 900 k PA kPB 1 或 PA PB 0 确 定 隐形 圆 例 3 1 2 014 年北 京 卷 已 知 圆 C x 3 2 y 4 2 1 和两点 A m 0 B m 0 若圆上 存在 点 P 使得 APB 90 则 m 的 取值 范围 是 4 6 略解 由已 知以 AB 为直 径的 圆与圆 C 有公 共点 2 海 安 2016 届 高三 上期末 在 平面 直角 坐标 系 x Oy 中 已 知点 P 1 0 Q 2 1 直线 l ax by c 0 其中 实 数 a b c 成 等差 数列 若点 P 在直 线 l 上 的射影 为 H 则 线段 QH 的取值 范围 是 2 3 2 解 由题 意 圆心 C 1 2 在 直 线 ax by c 0 上 可 得 a 2b c 0 即 c 2b a 直线 l 2a b x 2b c y 2c a 0 即 a 2x y 3 b 4 x 0 2x y 3 0 由 4 x 0 可 得 x 4 y 5 即直线 过定 点 M 4 5 由题意 H 在 以 PM 为 直 径的圆 上 圆心 为 A 5 2 方程 为 x 5 2 y 2 2 50 CA 4 2 CH 最 小 为 5 2 4 2 2 CH 最大 为 4 2 5 2 9 2 线 段 CH 长度 的取 值范 围是 2 9 2 3 通 州区 2017 届高 三下 开 学初 检测 设 m R 直 线 l1 x my 0 与直线 l2 mx y 2m 4 0 交于 点 P x0 y0 则 x0 2 y 2 2x0 的取 值范 围 是 12 4 10 12 4 10 略解 l1 过 定点 O 0 0 l2 过定 点 A 2 4 则 P 在 以 OA 为直 径的 圆上 除 去 一点 变式 20 17 年 南京 二模 在 平 面直 角坐 标 系 xOy 中 直 线 l1 k x y 2 0 与 直线 l2 x ky 2 0 相 交于 点 P 则 当实 数 k 变 化时 点 P 到 直线 x y 4 0 的距 离的最 大值 为 3 2 策略三 两 定点 A B 动 点 P 满足 PA PB 确定 隐形 圆 例 4 1 20 17 年南 通密 卷 3 已知 点 A 2 3 点 B 6 3 点 P 在 直线 3x 4 y 3 0 上 若满足 等式 AP BP 2 0 的 点 P 有两 个 则实 数 的取 值 范围 是 解 设 P x y 则 AP x 2 y 3 BP x 6 y 3 根据 AP BP 2 0 有 x 4 2 y 2 13 2 13 由题 意 2 心 圆 x 4 2 y 2 13 2 13 圆与直 线 3x 4 y 3 0 相交 2 3 4 4 0 3圆心到 直线 的距 离 d 3 32 42 13 2 所以 2 2 201 6 年 盐城 三 模 已知 线 段 AB 的 长为 2 动点 C 满 足 CA CB 为常 数 且点 C 总 不在 以点 B 为圆 12 为半 径的 圆内 则 负数 的最大 值是 3 4 略解 动 点 C 满足 方程 x2 y2 1 策略四 两定 点 A B 动点 P 满 足 PA2 PB2 是定值 确 定 隐 形圆 例 5 1 在 平面 直角 坐 标系 xOy 中 已知 圆 C x a 2 y a 2 2 1 点 A 0 2 若 圆 C 上存 在点 M 满足 MA2 MO2 10 则 实 数 a 的取值 范围 是 0 3 略解 M 满 足的 方程 为 x2 y 1 2 4 转化为 两圆 有公 共点 2 201 7 年 南京 盐 城一模 在 ABC 中 A B C 所对的 边分 别为 a b c 若 a2 b2 2c2 8 则 ABC 面积的 最大 值为 2 55 解 以 AB 的 中点 为原 点 A B 所 在直 线为 x 轴 建 系 设 A c 0 B c 0 C x y 则 由 a2 b2 2c2 8 2 2 得 x c 2 y2 x c y2 2c2 8 即 x2 y2 4 5 c2 2 2 所以 点 C 在此 圆上 S c r c 4 5 c2 1 4 4 5 c2 5 c2 2 52 2 4 5 4 4 5 策略五 两 定 点 A B 动 点 P 满足 PA 0 1 确 定 隐形 圆 阿 波罗尼 斯圆 PB 例 6 1 略解 点 P 满 足圆 的方 程 为 x2 y2 4 转 化到 直线 与圆 相交 2 201 6 届 常州 一模 在平 面直 角坐 标 系 xOy 中 已 知 圆 O x 2 y2 1 O1 x 4 2 y2 4 动点 P 在 直线 x 3 y b 0 上 过点 P 作 圆 O O1 的两 条切 线 y 2 3 切点分 别 为 A B 若 满足 PB 2PA 的点 P 有 且仅 有两 个 则 b 的取 值范 围 20 4 3 例 7 2017 年 南通 二模 一缉私 艇巡 航至 距领 海边 界线 l 一 条南 北方 向的 直 线 3 8 海里 的 A 处 发 现在 其北 偏东 30 方向相 距 4 海里 的 B 处 有 一走私 船正 欲逃 跑 缉 私 艇立即 追 击 已 知缉 私艇 的最 大航 速是 走 私船 最大 航速 的 3 倍 假 设缉 私艇 和走 私船 均按直 线 方 向以最 大航 速航 行 1 若 走 私 船 沿 正 东 方 向 逃 离 试 确 定 缉 私 艇 的 追 击 方 向 使 得 用 最 短 时 间 在 领 海 内 拦 截 成 功 参考数 据 sin17 3 33 5 7446 6 2 问 无论 走私 船沿 何 方向逃 跑 缉私 艇是 否总 能在领 海内 成功 拦截 并 说明理 由 北 l 领海 公海 B 30 A 解 1 略 例 7 2 如图 乙 以 A 为原点 正北方 向所 在的 直线 为 y 轴建立平 面直 角坐 标系 xOy 则 B 2 2 3 设缉 私艇 在 P x y 处 缉私艇 恰好 截住 走私 船的 位置 与走 私 船相 遇 则 PA 3 即 x 2 y2 3 lPB x 2 2 y 2 3 领海 公海 整理 得 9 9 3 9 2 2 x 4 y 4 4 B 所以 点 P x y 的轨迹 是以 点 9 9 3 为圆心 4 4 60 2 为半径 的圆 A x图乙 因 为圆 心 9 9 3 到领海 边界 线 l x 3 8 的距离 为 1 55 大于 圆半径 3 4 4 2 所 以缉 私艇 能在 领海 内截住 走私 船 策略六 由 圆周 角的 性质 确定隐 形圆 例 8 1 已 知 a b c 分别为 ABC 的 三个内 角 A B C 的对 边 a 2 a b sinA sinB c b sinC 则 ABC 面积 的最 大值 为 3 略解 cos A 1 A 6 0 设 ABC 的外接 圆的 圆心 为 O 外 接圆 的半 径为 2 3 则2 3 O 到 BC 的 距离 为 3 则边 BC 上 的高 h 的 最大 值为 3 2 3 3 则面 积的 最大 值3 3 3 为 3 2 20 17 年 常州 一模 在 ABC 中 C 45 o O 是 ABC 的外 心 若 OC mOA nOB m n R 则 m n 的取 值范 围是 2 1 略解 AOB 2 C 90 点 C 在以 O 为圆 心 半径 OA 的 圆上 在 优弧 AB 上 三 同步练习 1 已知直 线 l x 2 y m 0 上存在 点 M 满足与 两点 A 2 0 B 2 0 连线的 斜率 之 积为 1 则实 数 m 的 取值 范围是 2 5 2 5 2 2016 年泰 州一 模 已 知 实数 a b c 满 足 a2 b2 c2 c 0 则 b a 2c 的取值 范围 为 3 3 3 3 3 已 知 t R 则 cos t 2 2 sin t 2 2 的取 值范 围是 2 2 1 2 2 1 4 已知 圆 C x 3 2 y 4 2 1 和两点 A m 0 B m 0 m 0 若圆 C 上 存在 点 P 使 得 PA PB 1 则 m 的 取值 范围是 15 35 7 201 6 年 无锡 一模 已 知圆 C x 2 2 y2 4 线 段 EF 在 直线 l y x 1 上运 动 点 P 为线 段 EF 上 任意 一点 若圆 C 上 存在 两点 A B 使得 PA PB 0 则线 段 EF 长度 的最大 值是 14 8 如图 已 知点 A 1 0 与点 B 1 0 C 是圆 x2 y 2 1 上 的 动点 与 点 A B 不重 合 连 接 BC 并 延长 至 D 使得 CD 1 BC 则线段 PD 的取 值 范围 2 2 3 9 在平 面直 角坐 标系 xOy 中 已 知点 A t 0 t 0 B t 0 点 C 满 足 AC BC 8 且点 C 到 直线 l 3x 4y 24 0 的最小 距 离为 9 则实 数 t 的 值是 15 10 201 3 年 江苏 卷第 17 题改编 在 平面 直角 坐标 系 xOy 中 已知 点 O 0 0 A 0 3 如果 圆 C x a 2 y 2a 4 2 1 上总 存在 点 M 使得 MA 2MO 则 圆心 C 的横坐 标 a 的 取值范 围是 0 12 5 11 已知 向量 a b c 满 足 a 2 b a b 3 若 c 2a 2 b 3c 0 则 b c 的最 大 值是 1 2 12 设点 A B 是圆 x2 y2 4 上的 两点 点 C 1 0 如果 ACB 90 则 线段 AB 长度 的 取 值范围 为 7 1 7 1 13 在 ABC 中 BC 2 AC 1 以 AB 为 边作等 腰直 角三 角形 ABD B 为 直角 顶点 C D 两 点在 直 线 AB 的 两侧 当 C 变化 时 线段 CD 长 的最 大值 为 3 14 2 016 年南 通三 模 在平面 直角 坐标 系 xOy 中 圆 C x 1 2 y2 2 圆 C x m 2 y m 2 m2 若 圆 C 上存 在点 P 满足 过点 P 向圆 作两条 切线1 2 C1 PA P B 切点 为 A B ABP 的面积 为 1 则 正数 m 的取 值范围 是 解 设 P x y 设 PA PB 的夹 角为 2 A BP 的面 积 S 1 PA2 sin 2 PA2 2 PA 1 2 PC 1 PC1 由 3 2 22PA PC1 PA 2 解 得 PA 2 所以 PC1 2 所以 点 P 在 圆 x 1 2 y2 4 上 所以 m 2 m 1 2 m 2 m 2 解得 1 m 3 2 3