初中几何辅助线大全(潜心整理)

初中几何辅助线口诀 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 四边形 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形里面作高线 平移一腰试试看 平行移动对角线 补成三角形常见 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 圆 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内接圆 内角平分线梦圆 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 要作等角添个圆 证明题目少困难 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 假如图形较分散 对称旋转去实验 基本作图很关键 平时掌握要熟练 解题还要多心眼 经常总结方法显 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 分析综合方法选 困难再多也会减 虚心勤学加苦练 成绩上升成直线 作辅助线的方法 一 中点 中位线 延线 平行线 如遇条件中有中点 中线 中位线等 那么过中点 延长中线或中位线作辅助线 使 延长的某一段等于中线或中位线 另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线 以达 到应用某个定理或造成全等的目的 二 垂线 分角线 翻转全等连 如遇条件中 有垂线或角的平分线 可以把图形按轴对称的方法 并借助其他条件 而旋转 180 度 得到全等形 这时辅助线的做法就会应运而生 其对称轴往往是垂线或角 的平分线 三 边边若相等 旋转做实验 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 有时边角互相配合 然后把图形旋转一 定的角度 就可以得到全等形 这时辅助线的做法仍会应运而生 其对称中心 因题而异 有时没有中心 故可分 有心 和 无心 旋转两种 四 造角 平 相似 和 差 积 商见 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 欲证线段或角的和差积商 往往与相似 形有关 在制造两个三角形相似时 一般地 有两种方法 第一 造一个辅助角等于已知 角 第二 是把三角形中的某一线段进行平移 故作歌诀 造角 平 相似 和差积商 见 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表 五 两圆若相交 连心公共弦 如果条件中出现两圆相交 那么辅助线往往是连心线或公共弦 六 两圆相切 离 连心 公切线 如条件中出现两圆相切 外切 内切 或相离 内含 外离 那么 辅助线往往是连 心线或内外公切线 七 切线连直径 直角与半圆 如果条件中出现圆的切线 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角 相反 条 件中是圆的直径 半径 那么辅助线是过直径 或半径 端点的切线 即切线与直径互为 辅助线 如果条件中有直角三角形 那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆 或半圆 相反 条件中有半圆 那么在直径上找圆周角 直角为辅助线 即直角与半圆互为辅助线 八 弧 弦 弦心距 平行 等距 弦 如遇弧 则弧上的弦是辅助线 如遇弦 则弦心距为辅助线 如遇平行线 则平行线间的距离相等 距离为辅助线 反之 亦成立 如遇平行弦 则平行线间的距离相等 所夹的弦亦相等 距离和所夹的弦都可视为辅 助线 反之 亦成立 有时 圆周角 弦切角 圆心角 圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线 九 面积找底高 多边变三边 如遇求面积 在条件和结论中出现线段的平方 乘积 仍可视为求面积 往往作底 或高为辅助线 而两三角形的等底或等高是思考的关键 如遇多边形 想法割补成三角形 反之 亦成立 另外 我国明清数学家用面积证明勾股定理 其辅助线的做法 即 割补 有二百多 种 大多数为 面积找底高 多边变三边 具体技巧与辅助线添加 等腰三角形 1 作底边上的高 构成两个全等的直角三角形 这是用得最多的一种方法 2 作一腰上的高 3 过底边的一个端点作底边的垂线 与另一腰的延长线相交 构成直角三角形 梯形 1 垂直于平行边 2 垂直于下底 延长上底作一腰的平行线 3 平行于两条斜边 4 作两条垂直于下底的垂线 5 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1 连接两对角 2 做高 平行四边形 1 垂直于平行边 2 作对角线 把一个平行四边形分成两个三角形 3 做高 形内形外都要注意 矩形 1 对角线 2 作垂线 很简单 无论什么题目 第一位应该考虑到题目要求 比如 AB AC BD 这类的就是想办 法作出另一条 AB 等长的线段 再证全等说明 AC BD 另一条 AB 就好了 还有一些关于平方 的考虑勾股 A 字形等 解几何题时如何画辅助线 见中点引中位线 见中线延长一倍 在几何题中 如果给出中点或中线 可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相 关问题 在比例线段证明中 常作平行线 作平行线时往往是保留结论中的一个比 然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起 来 对于梯形问题 常用的添加辅助线的方法有 1 过上底的两端点向下底作垂线 2 过上底的一个端点作一腰的平行线 3 过上底的一个端点作一对角线的平行线 4 过一腰的中点作另一腰的平行线 5 过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6 作梯形的中位线 7 延长两腰使之相交 初 中 数 学 辅 助 线 的 添 加 浅 谈 人 们 从 来 就 是 用 自 己 的 聪 明 才 智 创 造 条 件 解 决 问 题 的 当 问 题 的 条 件 不 够 时 添 加 辅 助 线 构 成 新 图 形 形 成 新 关 系 使 分 散 的 条 件 集 中 建 立 已 知 与 未 知 的 桥 梁 把 问 题 转 化 为 自 己 能 解 决 的 问 题 这 是 解 决 问 题 常 用 的 策 略 一 添辅助线有二种情况 1 按定义添辅助线 如 证 明 二 直 线 垂 直 可 延 长 使 它 们 相 交 后 证 交 角 为 90 证 线 段 倍 半 关 系 可 倍 线 段 取 中 点 或 半 线 段 加 倍 证 角 的 倍 半 关 系 也 可 类 似 添 辅 助 线 2 按基本图形添辅助线 每 个 几 何 定 理 都 有 与 它 相 对 应 的 几 何 图 形 我 们 把 它 叫 做 基 本 图 形 添 辅 助 线 往 往 是 具 有 基 本 图 形 的 性 质 而 基 本 图 形 不 完 整 时 补 完 整 基 本 图 形 因 此 添 线 应 该 叫 做 补 图 这 样 可 防 止 乱 添 线 添 辅 助 线 也 有 规 律 可 循 举 例 如 下 1 平行线是个基本图形 当 几 何 中 出 现 平 行 线 时 添 辅 助 线 的 关 键 是 添 与 二 条 平 行 线 都 相 交 的 第 三 条 直 线 2 等腰三角形是个简单的基本图形 当 几 何 问 题 中 出 现 一 点 发 出 的 二 条 相 等 线 段 时 往 往 要 补 完 整 等 腰 三 角 形 出 现 角 平 分 线 与 平 行 线 组 合 时 可 延 长 平 行 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 3 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形 出 现 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点 添 底 边 上 的 中 线 出 现 角 平 分 线 与 垂 线 组 合 时 可 延 长 垂 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 的基本图形 4 直角三角形斜边上中线基本图形 出 现 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 点 往 往 添 斜 边 上 的 中 线 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 倍 线 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 边 则 要 添 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 得 直 角 三 角 形 斜 边 上 中 线 基 本 图 形 5 三角形中位线基本图形 几 何 问 题 中 出 现 多 个 中 点 时 往 往 添 加 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 进 行 证 明 当 有 中 点 没 有 中 位 线 时 则 添 中 位 线 当 有 中 位 线 三 角 形 不 完 整 时 则 需 补 完 整 三 角 形 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 倍 线 段 有 公 共 端 点 的 线 段 带 一 个 中 点 则 可 过 这 中 点 添 倍 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 半 线 段 的 端 点 是 某 线 段 的 中 点 则 可 过 带 中 点 线 段 的 端 点 添 半 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 6 全等三角形 全 等 三 角 形 有 轴 对 称 形 中 心 对 称 形 旋 转 形 与 平 移 形 等 如 果 出 现 两 条 相 等 线 段 或 两 个 档 相 等 角 关 于 某 一 直 线 成 轴 对 称 就 可 以 添 加 轴 对 称 形 全 等 三 角 形 或 添 对 称 轴 或 将 三 角 形 沿 对 称 轴 翻 转 当 几 何 问 题 中 出 现 一 组 或 两 组 相 等 线 段 位 于 一 组 对 顶 角 两 边 且 成 一 直 线 时 可 添 加 中 心 对 称 形 全 等 三 角 形 加 以 证 明 添 加 方 法 是 将 四 个 端 点 两 两 连 结 或 过 二 端 点 添 平 行 线 7 相似三角形 相 似 三 角 形 有 平 行 线 型 带 平 行 线 的 相 似 三 角 形 相 交 线 型 旋 转 型 当 出 现 相 比 线 段 重 叠 在 一 直 线 上 时 中 点 可 看 成 比 为 1 可 添 加 平 行 线 得 平 行 线 型 相 似 三 角 形 若 平 行 线 过 端 点 添 则 可 以 分 点 或 另 一 端 点 的 线 段 为 平 行 方 向 这 类 题 目 中 往 往 有 多 种 浅 线 方 法 8 特殊角直角三角形 当 出 现 30 45 60 135 150 度 特 殊 角 时 可 添 加 特 殊 角 直 角 三 角 形 利 用 45 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1 1 2 30 度 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1 2 3 进 行 证 明 9 半圆上的圆周角 出 现 直 径 与 半 圆 上 的 点 添 90 度 的 圆 周 角 出 现 90 度 的 圆 周 角 则 添 它 所 对 弦 直 径 平 面 几 何 中 总 共 只 有 二 十 多 个 基 本 图 形 就 像 房 子 不 外 有 一 砧 瓦 水 泥 石 灰 木 等 组 成 一 样 二 基本图形的辅助线的画法 1 三角形问题添加辅助线方法 方法 1 有关三角形中线的题目 常将中线加倍 含有中点的题目 常常 利用三角形的中位线 通过这种方法 把要证的结论恰当的转移 很容易地解 决了问题 方法 2 含有平分线的题目 常以角平分线为对称轴 利用角平分线的性 质和题中的条件 构造出全等三角形 从而利用全等三角形的知识解决问题 方法 3 结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形 或利用关 于平分线段的一些定理 方法 4 结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目 常 采用截长法或补短法 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分 证其中的一 部分等于第一条线段 而另一部分等于第二条线段 2 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形 包括矩形 正方形 菱形 的两组对边 对角和对角线都具 有某些相同性质 所以在添辅助线方法上也有共同之处 目的都是造就线段的 平行 垂直 构成三角形的全等 相似 把平行四边形问题转化成常见的三角 形 正方形等问题处理 其常用方法有下列几种 举例简解如下 1 连对角线或平移对角线 2 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 3 连接对角线交点与一边中点 或过对角线交点作一边的平行线 构造 线段平行或中位线 4 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段 构造三角形相似或等 积三角形 5 过顶点作对角线的垂线 构成线段平行或三角形全等 3 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形 它是平行四边形 三角形知识的综合 通过添 加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决 辅助 线的添加成为问题解决的桥梁 梯形中常用到的辅助线有 1 在梯形内部平移一腰 2 梯形外平移一腰 3 梯形内平移两腰 4 延长两腰 5 过梯形上底的两端点向下底作高 6 平移对角线 7 连接梯形一顶点及一腰的中点 8 过一腰的中点作另一腰的平行线 9 作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中 添加的辅助线并不一定是固定不变的 单一的 通过辅助线这座桥梁 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问 题来解决 这是解决问题的关键 4 圆中常用辅助线的添法 在平面几何中 解决与圆有关的问题时 常常需要添加适当的辅助线 架 起题设和结论间的桥梁 从而使问题化难为易 顺其自然地得到解决 因此 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法 对提高学生分析问题和解决问题的 能力是大有帮助的 1 见弦作弦心距 有关弦的问题 常作其弦心距 有时还须作出相应的半径 通过垂径平 分定理 来沟通题设与结论间的联系 2 见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径 一般是作直径所对的圆周角 利用 直径所对的 圆周角是直角 这一特征来证明问题 3 见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线 往往是连结过切点的半径 利用 切线与半径 垂直 这一性质来证明问题 4 两圆相切作公切线 对两圆相切的问题 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线 通过公切线可以找到与圆有关的角的关系 5 两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题 通常是作出公共弦 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来 又可 以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来 作辅助线的方法 一 中点 中位线 延线 平行线 如遇条件中有中点 中线 中位线等 那么过中点 延长中线或中位线作辅助线 使 延长的某一段等于中线或中位线 另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线 以达 到应用某个定理或造成全等的目的 二 垂线 分角线 翻转全等连 如遇条件中 有垂线或角的平分线 可以把图形按轴对称的方法 并借助其他条件 而旋转 180 度 得到全等形 这时辅助线的做法就会应运而生 其对称轴往往是垂线或角 的平分线 三 边边若相等 旋转做实验 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 有时边角互相配合 然后把图形旋转一 定的角度 就可以得到全等形 这时辅助线的做法仍会应运而生 其对称中心 因题而异 有时没有中心 故可分 有心 和 无心 旋转两种 四 造角 平 相似 和 差 积 商见 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等 欲证线段或角的和差积商 往往与相似 形有关 在制造两个三角形相似时 一般地 有两种方法 第一 造一个辅助角等于已知 角 第二 是把三角形中的某一线段进行平移 故作歌诀 造角 平 相似 和差积商 见 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表 五 两圆若相交 连心公共弦 如果条件中出现两圆相交 那么辅助线往往是连心线或公共弦 六 两圆相切 离 连心 公切线 如条件中出现两圆相切 外切 内切 或相离 内含 外离 那么 辅助线往往是 连心线或内外公切线 七 切线连直径 直角与半圆 如果条件中出现圆的切线 那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角 相反 条 件中是圆的直径 半径 那么辅助线是过直径 或半径 端点的切线 即切线与直径互为 辅助线 如果条件中有直角三角形 那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆 或半圆 相反 条件中有半圆 那么在直径上找圆周角 直角为辅助线 即直角与半圆互为辅助线 八 弧 弦 弦心距 平行 等距 弦 如遇弧 则弧上的弦是辅助线 如遇弦 则弦心距为辅助线 如遇平行线 则平行线间的距离相等 距离为辅助线 反之 亦成立 如遇平行弦 则平行线间的距离相等 所夹的弦亦相等 距离和所夹的弦都可视为辅 助线 反之 亦成立 有时 圆周角 弦切角 圆心角 圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线 九 面积找底高 多边变三边 如遇求面积 在条件和结论中出现线段的平方 乘积 仍可视为求面积 往往作底 或高为辅助线 而两三角形的等底或等高是思考的关键 如遇多边形 想法割补成三角形 反之 亦成立 另外 我国明清数学家用面积证明勾股定理 其辅助线的做法 即 割补 有二百多 种 大多数为 面积找底高 多边变三边 三角形中作辅助线的常用方法举例 一 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 若直接证不出来 可连接两 点或延长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运 用三角形三边的不等关系证明 如 例 1 已知如图 1 1 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 如图 1 2 延长 BD 交 AC 于 F 延长 CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形两边之和大于第三边 1 GF FC GE CE 同上 2 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时 可 连接两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角的位置 上 小角处于这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 ABCDENM1 图 ABCDEFG21 图 例如 如图 2 1 已知 D 为 ABC 内的任一点 求证 BDC BAC 分析 因为 BDC 与 BAC 不在同一个三角形中 没有直接的联系 可适当添加辅助线构造新的三角形 使 BDC 处于在外角的位置 BAC 处于在内角的位置 证法一 延长 BD 交 AC 于点 E 这时 BDC 是 EDC 的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 证法二 连接 AD 并延长交 BC 于 F BDF 是 ABD 的外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理证明不等关系时 通常将大角放在某三角形的外角位置上 小 角放在这个三角形的内角位置上 再利用不等式性质证明 三 有角平分线时 通常在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 如 例如 如图 3 1 已知 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证 BE CF EF 可利用三角形三边关系定理证明 须 把 BE CF EF 移到同一个三角形中 而由已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利用三角 形全等对应边相等 把 EN FN EF 移到同一个三角形中 证明 在 DA 上截取 DN DB 连接 NE NF 则 DN DC 在 DBE 和 DNE 中 21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法EDBN DBE DNE SAS BE NE 全等三角形对应边相等 同理可得 CF NF 在 EFN 中 EN FN EF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF ABCDEFG12 图 A BCDEFN13 图 24 注意 当证题有角平分线时 常可考虑在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 然 后用全等三角形的性质得到对应元素相等 四 有以线段中点为端点的线段时 常延长加倍此线段 构造全等三角形 例如 如图 4 1 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 证明 延长 ED 至 M 使 DM DE 连接 CM MF 在 BDE 和 CDM 中 1辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等中 点 的 定 义DECB BDE CDM SAS 又 1 2 3 4 已知 1 2 3 4 180 平角的定义 3 2 90 即 EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF 和 MDF 中 公 共 边 已 证辅 助 线 的 作 法DFME EDF MDF SAS EF MF 全等三角形对应边相等 在 CMF 中 CF CM MF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF 注 上题也可加倍 FD 证法同上 注意 当涉及到有以线段中点为端点的线段时 可通过延长加倍此线段 构造全等三角形 使题中分散的条件集中 五 有三角形中线时 常延长加倍中线 构造全等三角形 例如 如图 5 1 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 分析 要证 AB AC 2AD 由图想到 ABCDE 14 图 ABCDEFM1234 AB BD AD AC CD AD 所以有 AB AC BD CD AD AD 2AD 左边比要证结论多 BD CD 故不能直接证出此题 而由 2AD 想到要构造 2AD 即加倍中线 把所要证的线段 转移到同一个三角形中去 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE 则 AE 2AD AD 为 ABC 的中线 已知 BD CD 中线定义 在 ACD 和 EBD 中 辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等已 证EDABC ACD EBD SAS BE CA 全等三角形对应边相等 在 ABE 中有 AB BE AE 三角形两边之和大于第三 边 AB AC 2AD 常延长中线加倍 构造全等三角形 练习 已知 ABC AD 是 BC 边上的中线 分别以 AB 边 AC 边为直角边各向形外作等腰直 角三角形 如图 5 2 求证 EF 2AD 六 截长补短法作辅助线 例如 已知如图 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任一点 求证 AB AC PB PC 分析 要证 AB AC PB PC 想到利用三角形三边关系 定理证之 因为欲证的是线段之差 故用两边之差小于第 三边 从而想到构造第三边 AB AC 故可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再连接 PN 则 PC PN 又在 PNB 中 PB PN BN 即 AB AC PB PC 证明 截长法 在 AB 上截取 AN AC 连接 PN 在 APN 和 APC 中 15 图 ABCDEF25 图 A BCDNMP16 图 2 21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APCN APN APC SAS PC PN 全等三角形对应边相等 在 BPN 中 有 PB PN BN 三角形两边之差小于第三边 BP PC AB AC 证明 补短法 延长 AC 至 M 使 AM AB 连接 PM 在 ABP 和 AMP 中 21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APB ABP AMP SAS PB PM 全等三角形对应边相等 又 在 PCM 中有 CM PM PC 三角形两边之差小于第三边 AB AC PB PC 七 延长已知边构造三角形 例如 如图 7 1 已知 AC BD AD AC 于 A BC BD 于 B 求证 AD BC 分析 欲证 AD BC 先证分别含有 AD BC 的三角形全等 有几种方案 ADC 与 BCD AOD 与 BOC ABD 与 BAC 但根据现有条件 均无法证全等 差角的相等 因 此可设法作出新的角 且让此角作为两个三角形的公共角 证明 分别延长 DA CB 它们的延长交于 E 点 AD AC BC BD 已知 CAE DBE 90 垂直的定义 在 DBE 与 CAE 中 已 知 已 证公 共 角ACBDE DBE CAE AAS ABCDE17 图O ED EC EB EA 全等三角形对应边相等 ED EA EC EB 即 AD BC 当条件不足时 可通过添加辅助线得出新的条件 为证题创造条件 八 连接四边形的对角线 把四边形的问题转化成为三角形来解决 例如 如图 8 1 AB CD AD BC 求证 AB CD 分析 图为四边形 我们只学了三角形的有关知识 必须把它转化为三角形来解决 证明 连接 AC 或 BD AB CD AD BC 已知 1 2 3 4 两直线平行 内错角相等 在 ABC 与 CDA 中 4321已 证公 共 边已 证CA ABC CDA ASA AB CD 全等三角形对应边相等 九 有和角平分线垂直的线段时 通常把这条线段延长 例如 如图 9 1 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 1 2 CE BD 的延长于 E 求证 BD 2CE 分析 要证 BD 2CE 想到要构造线段 2CE 同时 CE 与 ABC 的平分线垂直 想到要将其延长 证明 分别延长 BA CE 交于点 F BE CF 已知 BEF BEC 90 垂直的定义 在 BEF 与 BEC 中 21已 证公 共 边已 知BECF19 图 DCBAEF2 ABCD18 图 234 BEF BEC ASA CE FE CF 全等三角形对应边相等 21 BAC 90 BE CF 已知 BAC CAF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD 与 ACF 中 已 知 已 证已 证ACBFD ABD ACF AAS BD CF 全等三角形对应边相等 BD 2CE 十 连接已知点 构造全等三角形 例如 已知 如图 10 1 AC BD 相交于 O 点 且 AB DC AC BD 求证 A D 分析 要证 A D 可证它们所在的三角形 ABO 和 DCO 全等 而只有 AB DC 和对顶 角两个条件 差一个条件 难以证其全等 只有另寻其它的三角形全等 由 AB DC AC BD 若连接 BC 则 ABC 和 DCB 全等 所以 证得 A D 证明 连接 BC 在 ABC 和 DCB 中 公 共 边已 知已 知CBDA ABC DCB SSS A D 全等三角形对应边相等 十一 取线段中点构造全等三有形 例如 如图 11 1 AB DC A D 求证 ABC DCB 分析 由 AB DC A D 想到如取 AD 的中点 N 连接 NB NC 再由 SAS 公理有 ABN DCN 故 BN CN ABN DCN 下面只需证 NBC NCB 再取 BC 的中点 M 连 接 MN 则由 SSS 公理有 NBM NCM 所以 NBC NCB 问题得证 证明 取 AD BC 的中点 N M 连接 NB NM NC 则 AN DN BM CM 在 ABN 和 DCN 中 已 知已 知辅 助 线 的 作 法DCAB DCBA10 图 O1 图 DCBAMN ABN DCN SAS ABN DCN NB NC 全等三角形对应边 角相等 在 NBM 与 NCM 中 公 共 边 辅 助 线 的 作 法 已 证 NMCB NMB NCM SSS NBC NCB 全等三角形对应角相等 NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 巧求三角形中线段的比值 例 1 如图 1 在 ABC 中 BD DC 1 3 AE ED 2 3 求 AF FC 解 过点 D 作 DG AC 交 BF 于点 G 所以 DG FC BD BC 因为 BD DC 1 3 所以 BD BC 1 4 即 DG FC 1 4 FC 4DG 因为 DG AF DE AE 又因为 AE ED 2 3 所以 DG AF 3 2 即 所以 AF FC 4DG 1 6 例 2 如图 2 BC CD AF FC 求 EF FD 解 过点 C 作 CG DE 交 AB 于点 G 则有 EF GC AF AC 因为 AF FC 所以 AF AC 1 2 即 EF GC 1 2 因为 CG DE BC BD 又因为 BC CD 所以 BC BD 1 2 CG DE 1 2 即 DE 2GC 因为 FD ED EF 所以 EF FD 小结 以上两例中 辅助线都作在了 已知 条件中出现的两条已知线段的交 点处 且所作的辅助线与结论中出现的线段平行 请再看两例 让我们感受其 中的奥妙 例 3 如图 3 BD DC 1 3 AE EB 2 3 求 AF FD 解 过点 B 作 BG AD 交 CE 延长线于点 G 所以 DF BG CD CB 因为 BD DC 1 3 所以 CD CB 3 4 即 DF BG 3 4 因为 AF BG AE EB 又因为 AE EB 2 3 所以 AF BG 2 3 即 所以 AF DF 例 4 如图 4 BD DC 1 3 AF FD 求 EF FC 解 过点 D 作 DG CE 交 AB 于点 G 所以 EF DG AF AD 因为 AF FD 所以 AF AD 1 2 图 4 即 EF DG 1 2 因为 DG CE BD BC 又因为 BD CD 1 3 所以 BD BC 1 4 即 DG CE 1 4 CE 4DG 因为 FC CE EF 所以 EF FC 1 7 练习 1 如图 5 BD DC AE ED 1 5 求 AF FB 2 如图 6 AD DB 1 3 AE EC 3 1 求 BF FC 答案 1 1 10 2 9 1 初中几何辅助线 一 初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难 难点就在辅助线 辅助线 如何添 把握定理和概念 还要刻苦加钻研 找出规律凭经验 三角形 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 四边形 平行四边形出现 对称中心等分点 梯形问题巧转换 变为 和 平移腰 移对角 两腰延长作出高 如果出现腰中点 细心连上中位线 上述方法不奏效 过腰中点全等造 证相似 比线段 添线平行成习惯 等积式子比例换 寻找线段很关键 直接证明有困难 等量代换少麻烦 斜边上面作高线 比例中项一大片 圆形 半径与弦长计算 弦心距来中间站 圆上若有一切线 切点圆心半径连 切线长度的计算 勾股定理最方便 要想证明是切线 半径垂线仔细辨 是直径 成半圆 想成直角径连弦 弧有中点圆心连 垂径定理要记全 圆周角边两条弦 直径和弦端点连 弦切角边切线弦 同弧对角等找完 要想作个外接圆 各边作出中垂线 还要作个内接圆 内角平分线梦圆 如果遇到相交圆 不要忘作公共弦 内外相切的两圆 经过切点公切线 若是添上连心线 切点肯定在上面 要作等角添个圆 证明题目少困难 注意点 辅助线 是虚线 画图注意勿改变 假如图形较分散 对称旋转去实验 基本作图很关键 平时掌握要熟练 解题还要多心眼 经常总结方法显 切勿盲目乱添线 方法灵活应多变 分析综合方法选 困难再多也会减 虚心勤学加苦练 成绩上升成直线 二 由角平分线想到的辅助线 口诀 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 角平分线具有两条性质 a 对称性 b 角平分线上的点到角两边的距离 相等 对于有角平分线的辅助线的作法 一般有两种 从角平分线上一点向两边作垂线 利用角平分线 构造对称图形 如作法是在一侧的长边上截取短边 通常情况下 出现了直角或是垂直等条件时 一般考虑作垂线 其它情况 下考虑构造对称图形 至于选取哪种方法 要结合题目图形和已知条件 与角有关的辅助线 一 截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试 但这种尝试与 猜想是在一定的规律基本之上的 希望同学们能 掌握相关的几何规律 在解决几何问题中大胆地 去猜想 按一定的规律去尝试 下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作 以介绍 如图 1 1 AOC BOC 如取 OE OF 并连接 DE DF 则有 OED OFD 从而为我们证明线段 角相等创造了条件 例 1 如图 1 2 AB CD BE 平分 BCD CE 平分 BCD 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 图 1 1 O A B D E F C 图 1 2 A D B C E F 分析 此题中就涉及到角平分线 可以利用角平分线来构造全等三角形 即利用解平分线来构造轴对称图形 同时此题也是证明线段的和差倍分问题 在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明 延长短 的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段 但无论延长还是截取都 要证明线段的相等 延长要证明延长后的线段与某条线段相等 截取要证明截 取后剩下的线段与某条线段相等 进而达到所证明的目的 简证 在此题中可在长线段 BC 上截取 BF AB 再证明 CF CD 从而达到证 明的目的 这里面用到了角平分线来构造全等三角形 另外一个全等自已证明 此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明 自已试一试 例 2 已知 如图 1 3 AB 2AC BAD CAD DA DB 求证 DC AC 分析 此题还是利用角平分线来构造全等三角形 构造的方法还是截取线 段相等 其它问题自已证明 例 3 已知 如图 1 4 在 ABC 中 C 2 B AD 平分 BAC 求证 AB AC CD 分析 此题的条件中还有角的平分线 在证 明中还要用到构造全等三角形 此题还是证明线 段的和差倍分问题 用到的是截取法来证明的 在长的线段上截取短的线段 来证明 试试看可 否把短的延长来证明呢 练习 1 已知在 ABC 中 AD 平分 BAC B 2 C 求证 AB BD AC 2 已知 在 ABC 中 CAB 2 B AE 平分 CAB 交 BC 于 E AB 2AC 求证 AE 2CE 图 1 3 A B C D E 图 1 4 A B CD E 3 已知 在 ABC 中 AB AC AD 为 BAC 的平分线 M 为 AD 上任一点 求证 BM CM AB AC 4 已知 D 是 ABC 的 BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点 连接 DB DC 求证 BD CD AB AC 二 角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证 明问题 例 1 如图 2 1 已知 AB AD BAC FAC CD BC 求证 ADC B 180 分析 可由 C 向 BAD 的两边作垂线 近而证 ADC 与 B 之和为平角 例 2 如图 2 2 在 ABC 中 A 90 AB AC ABD CBD 求证 BC AB AD 分析 过 D 作 DE BC 于 E 则 AD DE CE 则构造出 全等三角形 从而得证 此题是证明线段的和差倍分问题 从中利用了相当于截取的方法 例 3 已知如图 2 3 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 求证 BAC 的平分线也经过点 P 分析 连接 AP 证 AP 平分 BAC 即可 也就是证 P 到 A B AC 的距离相等 练习 1 如图 2 4 AOP BOP 15 PC OA PD O A 图 2 1 A B C DE F 图 2 2 A B C D E 图 2 3 P A B C MND F 图 2 4 B O A P D C 如果 PC 4 则 PD A 4 B 3 C 2 D 1 2 已知在 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB CD 1 5 DB 2 5 求 AC 3 已知 如图 2 5 BAC CAD AB AD CE AB AE AB AD 求证 D B 180 2 1 4 已知 如图 2 6 在正方形 ABCD 中 E 为 CD 的中点 F 为 BC 上的点 FAE DAE 求证 AF AD CF 5 已知 如图 2 7 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 垂足为 D A E 平分 CAB 交 CD 于 F 过 F 作 FH AB 交 BC 于 H 求证 CF BH 三 作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线 使之与角的两边相交 则截得一个等腰三角 形 垂足为底边上的中点 该角平分线又成为底边上的中线和高 以利用中位线的性质与 等腰三角形的三线合一的性质 如果题目中有垂直于角平分线的线段 则延长该线段与角 的另一边相交 例 1 已知 如图 3 1 BAD DAC AB AC CD AD 于 D H 是 BC 中点 求证 DH AB AC 2 分析 延长 CD 交 AB 于点 E 则可得全等三角形 问题可证 图 2 5 A B D C E 图 2 6 E A B C D F 图 2 7 F D C BA E H 图 示 3 1 A B CD HE 图 3 2 D A B E F C 例 2 已知 如图 3 2 AB AC BAC 90 AD 为 ABC 的平分线 CE B E 求证 BD 2CE 分析 给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线 可延长此垂 线与另外一边相交 近而构造出等腰三角形 例 3 已知 如图 3 3 在 ABC 中 AD AE 分别 BAC 的内 外角平分线 过顶点 B 作 BFAD 交 AD 的延长线于 F 连结 FC 并延 长交 AE 于 M 求证 AM ME 分析 由 AD AE 是 BAC 内外角平分线 可得 EA AF 从而有 BF AE 所以想到利用比例线段证相等 例 4 已知 如图 3 4 在 ABC 中 AD 平分 BAC AD AB CM AD 交 AD 延长线于 M 求证 AM AB AC 2 1 分析 题设中给出了角平分线 AD 自然想到以 AD 为轴作对称变换 作 A BD 关于 AD 的对称 AED 然后只需证 DM EC 另2 1 外由求证的结果 AM AB AC 即 2AM AB AC 也2 1 可尝试作 ACM 关于 CM 的对称 FCM 然后只需证 D F CF 即可 练习 1 已知 在 ABC 中 AB 5 AC 3 D 是 BC 中点 AE 是 BAC 的平分 线 且 CE AE 于 E 连接 DE 求 DE 2 已知 BE BF 分别是 ABC 的 ABC 的内角与外角的平分线 AF BF 于 F AE BE 于 E 连接 EF 分别交 AB AC 于 M N 求证 MN BC2 1 图 3 3 DB E F N A C M 图 3 4 n E B A D C M F 四 以角分线上一点做角的另一边的平行线 有角平分线时 常过角平分线上的一点作角的一边的平行线 从而构造等 腰三角形 或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相 交 从而也构造等腰三角形 如图 4 1 和图 4 2 所示 图 4 2图 4 1 C A B CB A F I E D H G 例 4 如图 AB AC 1 2 求证 AB AC BD CD 例 5 如图 BC BA BD 平分 ABC 且 AD CD 求证 A C 180 例 6 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 1 2A C D B B D C A A B E CD 练习 1 已知 如图 C 2 A AC 2BC 求证 ABC 是直角三角形 2 已知 如图 AB 2AC 1 2 DA DB 求证 DC AC 3 已知 CE AD 是 ABC 的角平分线 B 60 求证 AC AE CD 4 已知 如图在 ABC 中 A 90 AB AC BD 是 ABC 的平分线 求 证 BC AB AD C A B A B C D A E B D C A B D C 1 2 三 由线段和差想到的辅助线 口诀 线段和差及倍半 延长缩短可试验 线段和差不等式 移到同一三角去 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时 一般方法是截长补短法 1 截长 在长线段中截取一段等于另两条中的一条 然后证明剩下部分等 于另一条 2 补短 将一条短线段延长 延长部分等于另一条短线段 然后证明新线 段等于长线段 对于证明有关线段和差的不等式 通常会联系到三角形中两线段之和大于 第三边 之差小于第三边 故可想办法放在一个三角形中证明 一 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如直接证不出来 可 连接两点或廷长某边构成三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再运用三角形三边的不等关系证明 如 例 1 已知如图 1 1 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 证明 法一 将 DE 两边延长分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 1 在 BDM 中 MB MD BD 2 在 CEN 中 CN NE CE 3 由 1 2 3 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE EC 法二 图 1 2 延长 BD 交 AC 于 F 廷长 CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF 三角形两边之和大于第三边 1 GF FC GE CE 同上 2 ABCDENM1 图 ABCDEFG21 图 A BCDEFG12 图 DG GE DE 同上 3 由 1 2 3 得 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE EC 二 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来 时 可连接两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形的外角 的位置上 小角处于这个三角形的内角位置上 再利用外角定理 例如 如图 2 1 已知 D 为 ABC 内的任一点 求证 BDC BAC 分析 因为 BDC 与 BAC 不在同个三角形中 没有直接的联系 可适 当添加辅助线构造新的三角形 使 BDC 处于在外角的位置 BAC 处于在 内角的位置 证法一 延长 BD 交 AC 于点 E 这时 BDC 是 EDC 的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 证法二 连接 AD 并廷长交 BC 于 F 这时 BDF 是 ABD 的 外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 注意 利用三角形外角定理证明不等关系时 通常将大角放在某三角形的 外角位置上 小角放在这个三角形的内角位置上 再利用不等式性质证明 三 有角平分线时 通常在角的两边截取相等的线段 构造全等三角形 如 例如 如图 3 1 已知 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 分析 要证 BE CF EF 可利用三角形三边关系定 理证明 须把 BE CF EF 移到同一个三角形中 而由 已知 1 2 3 4 可在角的两边截取相等的线段 利用三角形全等对应边相等 把 EN FN EF 移到同个三角形中 证明 在 DN 上截取 DN DB 连接 NE NF 则 DN DC ABCDEFN13 图 24 在 DBE 和 NDE 中 DN DB 辅助线作法 1 2 已知 ED ED 公共边 DBE NDE SAS BE NE 全等三角形对应边相等 同理可得 CF NF 在 EFN 中 EN FN EF 三角形两边之和大于第三边 BE CF EF 注意 当证题有角平分线时 常可考虑在角的两边截取相等的线段 构造 全等三角形 然后用全等三角形的对应性质得到相等元素 四 截长补短法作辅助线 例如 已知如图 6 1 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任一点 求证 AB AC PB PC 分析 要证 AB AC PB PC 想到利用三角形三边关系 定理证之 因为 欲证的线段之差 故用两边之差小于第三边 从而想到构造第三边 AB AC 故 可在 AB 上截取 AN 等于 AC 得 AB AC BN 再连接 PN 则 PC PN 又在 PNB 中 PB PNPB PC 证明 截长法 在 AB 上截取 AN AC 连接 PN 在 APN 和 APC 中 AN AC 辅助线作法 1 2 已知 AP AP 公共边 APN APC SAS PC PN 全等三角形对应边相等 在 BPN 中 有 PB PN BN 三角形两边之差小于第三边 BP PCPM PC 三角形两边之差小于第三边 AB AC PB PC 例 1 如图 AC 平分 BAD CE AB 且 B D 180 求证 AE AD BE 例 2 如图 在四边形 ABCD 中 AC 平分 BAD CE AB 于 E AD AB 2AE 求证 ADC B 180 DA E C B A E B CD ABCDNMP16 图 2 例 3 已知 如图 等腰三角形 ABC 中 AB AC A 108 BD 平分 ABC 求证 BC AB DC 例 4 如图 已知 Rt ABC 中 ACB 90 AD 是 CAB 的平分线 DM AB 于 M 且 AM MB 求证 CD DB 2 1 1 如图 AB CD AE DE 分别平分 BAD 各 ADE 求证 AD AB CD 2 如图 ABC 中 BAC 90 AB AC AE 是过 A 的一条直线 且 B C 在 AE 的异侧 BD AE 于 D CE AE 于 E 求证 BD DE CE 四 由中点想到的辅助线 口诀 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 在三角形中 如果已知一点是三角形某一边上的中点 那么首先应该联想 到三角形的中线 中位线 加倍延长中线及其相关性质 直角三角形斜边中线 性质 等腰三角形底边中线性质 然后通过探索 找到解决问题的方法 D CB A M BDC A E D C BA 一 中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1 AD 是 ABC 的中线 则 S ABD S ACD S ABC 因为 ABD 与 A CD 是等底同高的 例 1 如图 2 ABC 中 AD 是中线 延长 AD 到 E 使 DE AD DF 是 DCE 的中线 已知 ABC 的面积为 2 求 CDF 的面积 解 因为 AD 是 ABC 的中线 所以 S ACD S ABC 2 1 又因 CD 是 ACE 的中线 故 S CDE S ACD 1 因 DF 是 CDE 的中线 所以 S CDF S CDE 1 CDF 的面积为 二 由中点应想到利用三角形的中位线 例 2 如图 3 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 BA CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G H 求证 BGE CHE 证明 连结 BD 并取 BD 的中点为 M 连结 ME MF ME 是 BCD 的中位线 ME CD MEF CHE MF 是 ABD 的中位线 MF AB MFE BGE AB CD ME MF MEF MFE 从而 BGE CHE 三 由中线应想到延长中线 例 3 图 4 已知 ABC 中 AB 5 AC 3 连 BC 上的中线 AD 2 求 BC 的 长 解 延长 AD 到 E 使 DE AD 则 AE 2AD 2 2 4 在 ACD 和 EBD 中 AD ED ADC EDB CD BD ACD EBD AC BE 从而 BE AC 3 在 ABE 中 因 AE2 BE2 42 32 25 AB2 故 E 90 BD 故 BC 2BD 2 例 4 如图 5 已知 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AD 又是 BC 边上的中 线 求证 ABC 是等腰三角形 证明 延长 AD 到 E 使 DE AD 仿例 3 可证 BED CAD 故 EB AC E 2 又 1 2 1 E AB EB 从而 AB AC 即 ABC 是等腰三角