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课时作业(五十六)一、选择题1定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：()1()An Bn1Cn1 Dn2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*1212已知a13，a26，且an2an1an，则a2011()A3 B3C6 D6答案A解析a13，a26，a33，a43，a56，a63，a73an是以6为周期的周期数列又201163351，a2011a13.选A.3因为对数函数ylogax(a0，且a1)是增函数，而ylogx是对数函数，所以ylogx是增函数，上面的推理错误的是()A大前提B小前提C推理形式 D以上都是答案A解析ylogax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误选A4(2011南京质检)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a428.若aij2009，则i与j的和为()124357681012911131517141618202224A.105 B106C107 D108答案C解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009210051，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i63，因为第63行的第一个数为296211923,200919232(m1)，所以m44，即j44，所以ij107.5设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1，2，则f2009(x)等于()A BxC. D.答案D解析计算：f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)x，f5(x)f1(x)，归纳得f4k1(x)，kN*，从而f2009(x).6(2011皖南八校)已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，则第60个数对是()A(3,8) B(4,7)C(4,8) D(5,7)答案D解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由60n(n1)120，nZ，n10时，55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，第60个数对是(5,7)7(2011苏北四市调研)某纺织厂的一个车间技术工人m名(mN*)，编号分别为1,2,3，m，有n台(nN*)织布机，编号分别为1,2,3，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij1，否则aij0，则等式a41a42a43a4n3的实际意义是()A第4名工人操作了3台织布机B第4名工人操作了n台织布机C第3名工人操作了4台织布机D第3名工人操作了n台织布机答案A解析a41a42a43a4n3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，n表示第1号织布机，第2号织布机，第n号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机二、填空题8已知11,14(12)，149123,14916(1234)，则第5个等式为_，推广到第n个等式为_(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)答案149162512345；1223242(1)n1n2(1)n1(123n)解析根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果9(2011湖北八校)已知扇形的圆心角为2(定值)，半径为R(定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为R2tan ，则按图2作出的矩形的面积的最大值为_答案R2tan解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S2R2tan R2tan ，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R2tan.10(2011衡水潍坊)已知2， 3，4，若6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_.答案41解析根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n，所以当n6时a6，t35，at41.11设P是边长为a的正三角形ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则h1h2h3a；类比到空间，设P是棱长为a的正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1h2h3h4_.答案a解析如图，连接AP，BP，CP，DP，则正四面体ABCD可分成四个小三棱锥，根据体积相等可得，正四面体的体积为a2aa2(h1h2h3h4)，所以h1h2h3h4a.12(2010福建卷，文)观察下列等式：cos 22cos21；cos 48cos48cos21；cos 632cos648cos418cos21；cos 8128cos8256cos6160cos432cos21；cos 10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.答案962解析观察等式可知，cos 的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m1284512；取0，则cos 1，cos 101，代入等式，得1m12801120np1，即np350(1)；取，则cos ，cos 10，代入等式，得m()101280()81120()6n()4p()21，即n4p200(2)由(1)，(2)可得n400，p50，mnp926.13(09浙江)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而T4，的公比为q16，因此T4，成等比数列三、解答题14已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，则KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值试写出双曲线1(a0，b0)具有的类似的性质，并加以证明解析双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值下面给出证明：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(m，n)，且1.又设点P的坐标为(x，y)，由KPM，KPN得KPMKPN，将y2x2b2，n2m2b2代入式，得KPMKPN(定值)15已知函数f(x)(axax)，其中a0，且a1.(1)判断函数f(x)在(，)上的单调性，并加以证明；(2)判断f(2)2与f(1)1，f(3)3与f(2)2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明；解析(1)由已知得f(x)(axax)0，f(x)在(，)上是增函数(2)f(2)2f(1)1，f(3)3f(2)2.一般的结论为：f(n1)(n1)f(n)n(nN*)证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f(n1)f(n)11(an11)(an1)0，在a0且a1的条件下，(an11)(an1)0显然成立，故f(n1)(n1)f(n)n(nN*)成立1观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_个小正方形答案28解析设第n个图中小正方形个数为an，则a13，a2a136，a3a2410，a4a3515，a5a4621，a6a5728.2给出下列不等式：2353225252,2454235253,25225252，.请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为_答案amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)解析由“2353225252”，“2454235253”，“25225252”，可得推广形式的最基本的印象：应具有“”的形式再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“ababab”的形式再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)3半径为r的圆的面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看做(0，)上的变量，则(r2)2r.式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径R的球，若将R看做(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_；式可用语言叙述为_答案(R3)4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数4(2010浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行369那么位于表中的第n行第n1列的数是_答案n2n解析第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n1项为nnnn2n.
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