2第二章导数与微分1

第二章 导数与微分【考试要求】1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法4掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数5理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数6理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1函数在一点处的导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和 ；式中的即自变量的增量2导函数 上述定义是函数在一点处可导如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记作，或显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即3单侧导数（即左右导数）根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右极限 及 都存在且相等这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即，现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导4导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角如果在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：；法线方程：5函数可导性与连续性的关系 如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导（二）基本求导法则与导数公式1常数和基本初等函数的导数公式（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） ； （8） ；（9） ； （10） ；（11） ； （12） ；（13） ； （14） ；（15） ； （16） 2函数的和、差、积、商的求导法则设函数，都可导，则（1） ；（2）（是常数）；（3） ；（4） （）3复合函数的求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 （三）高阶导数1定义一般的，函数的导数仍然是的函数我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或 相应地，把的导数叫做函数的一阶导数类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作， 或 ， 函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式隐函数的求导方法主要有以下两种：1方程两边对求导，求导时要把看作中间变量例如：求由方程所确定的隐函数的导数解：方程两边分别对求导， ，得 ， 从而 2一元隐函数存在定理 例如：求由方程所确定的隐函数的导数解：设 ，则 （五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程 确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为 ，上式也可写成 其二阶导函数公式为 （六）幂指函数的导数一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函数对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1复合函数求导法将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式例如：求幂指函数的导数解：因 ，故2对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数例如：求幂指函数的导数解：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得 ，故 二、函数的微分1定义：可导函数在点处的微分为 ；可导函数在任意一点处的微分为2可导与可微的关系函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微必可导，可导必可微3基本初等函数的微分公式（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） ； （8） ；（9） ； （10） ；（11） ； （12） ；（13） ； （14） ；（15） ； （16） 4函数和、差、积、商的微分法则设函数，都可导，则（1） ；（2）（是常数）；（3） ；（4） （）5复合函数的微分法则设及都可导，则复合函数的微分为 由于，所以复合函数的微分公式也可写成 或 由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变这一性质称为微分形式的不变性该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么1解：根据导数的定义式，因时，故，即 2设，其中，且存在解：因，且存在，故，即3解：根据导数的定义式，因时，故，即 【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题1讨论函数 在处的可导性解：根据导数的定义式，故在处的左导数，右导数不存在，所以在处不可导2讨论函数 在处的可导性解：因 ， 故函数在处可导3已知函数 在处连续且可导，求常数和的值解：由连续性，因，从而再由可导性，而由可得，代入，得，再由可得，代入式得【例2-3】已知 ，求解：当时，当时，当时的导数需要用导数的定义来求，故 ，从而 【例2-4】求下列函数的导数1解： 2解： 3解： 4解： 【例2-5】求下列幂指函数的导数1 （）解： 说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得，故 2 （）解： 说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得 ，该式两边对求导，其中是的函数，得 ，故 【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数1 （）解：等式两边取对数，得，两边对求导，注意是的函数，得 ，整理得 ，则 2 解：等式两边取对数，得 ，即 ，也即 ，两边对求导，注意是的函数，得 ，故 【例2-7】求下列抽象函数的导数1已知函数可导，求函数的导数解： 2设函数和可导，且，试求函数的导数解： 【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数1解：方程两边分别对求导，得 ，整理得 ，故 说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，则 2解：方程两边分别对求导，得 ，整理的 ，故 说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，则 【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数1 解： 2 解： 【例2-10】求下列函数的微分1解：因 ，故 2解：因 ，故 3解：因 ，故 4解：因，故 【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程解：，故曲线在点处的切线方程为，即 ；法线方程为 即 【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有 ，即 ；由导数的几何意义，曲线在点处的斜率为 ，故曲线在点处的切线方程为 ，即 ；法线方程为 ，即 【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又，切线斜率为 ，故所求切线方程为 ，即 ；所求法线方程为 ，即 【历年真题】一、选择题1（2010年，1分）已知，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：根据导数的定义，选（D）2（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（ ）（A） （B）（C） （D）解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为，即 ，选（B）3（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（ ）（A）存在 （B）不存在（C）必存在 （D）在点处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B）正确4（2009年，1分）若，则（ ）（A） （B） （C） （D）解：，选项（B）正确5（2008年，3分）函数，在点处（ ）（A）可导 （B）间断 （C）连续不可导 （D）连续可导解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）正确说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得6（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（ ）（A） （B） （C） （D）解：根据导数的定义，选项（C）符合题意7（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（ ）（A）（B） （C）（D）解：选项（A），选项（C），选项（D），故选（B）8（2007年，3分）若可导，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）解：因，故选项（B）正确9（2006年，2分）设，为可导函数，则（ ）（A） （B）（C） （D）解：，选（B）10（2005年，3分）设，则（ ）（A） （B） （C） （D）解：当时，中除项外，其他全为零，故，选项（A）正确11（2005年，3分）设，则（ ）（A） （B）（C） （D）解：由可得，对比可知，选项（C）正确12（2005年，3分）（ ）（A） （B） （C） （D）解：，选项（D）正确二、填空题1（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则 解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故2（2010年，2分）设，则 解：3（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于 解：由导数的几何意义可知，切线斜率4（2008年，4分）由参数方程 确定的 解：5（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是 解：切线的斜率，故切线方程为，即 6（2006年，2分）函数不可导点的个数是 解： ，显然，当时，可导；当时，故 故函数的不可导点的个数为7（2006年，2分）设，则 解：因 ，故 三、计算题1（2010年，5分）设函数由方程所确定，求解：方程两边对求导，考虑到是的函数，得，整理得 ，故 当时，代入原方程可得，所以说明：当得到后，也可直接将，代入，得，故 2（2010年，5分）求函数（）的导数解：3（2009年，5分）设，求解：因 ，故 4（2006年，4分）设可导，且，求解： 5（2005年，5分）已知 （1）在处连续，求；（2）求解：（1）因 ，故由在处连续可得，即 （2）当时，；当时，故